Sistema de generadores

Descripción: 

Un conjunto de vectores \( \left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \)  es un sistema de generadores de \( { \Re  }^{ n }\) si todos los vectores de \( { \Re  }^{ n }\) se pueden escribir como combinación lineal de los vectores del conjunto \( \left\{ { v }_{ 1 };{ v }_{ 2 };...;{ v }_{ m } \right\} \). 

Es decir: \(\forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \exists { \alpha  }_{ 1 };{ \alpha  }_{ 2 };..., { \alpha  }_{ m }\in \Re \) tal que \(u =\sum _{ i=1 }^{m }{ { \alpha  }_{ i }{ v }_{ i } } \)

Descriptores: 
Espacio vectorial
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Probar que el conjunto de vectores \(\left\{ (1,1),(-1,0),\quad (-1,1) \right\} \) de \({ \Re  }^{ 2 } \)  es un sistema de generadores del espacio. Es decir, \(\forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\exists \alpha ,\beta ,\gamma \in \Re /(x,y)=\alpha (1,1)+\beta (-1,0)+\gamma (-1,1)\)

Dada \((x,y)=\alpha (1,1)+\beta (-1,0)+\gamma (-1,1)\), se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:

\(x=\alpha -\beta -\gamma \\ y=\alpha +\gamma \)

las soluciones del mismo son: \(\beta =2\alpha -x-y\\ \gamma =y-\alpha \\ \forall \alpha \in \Re \)