Aplicación lineal

Descripción: 

Sean \({ \Re  }^{ n }\)y \({ \Re  }^{ m }\) dos espacios vectoriales sobre \(\Re \), la aplicación  \(f:{ \Re  }^{ n }\longrightarrow { \Re  }^{ m }\) que verifica: 

1. \(f(u+v)=f(u)+f(v)\quad \forall u,v\in { \Re  }^{ n }\)

2. \(f(\lambda ·u)=\lambda ·f(u)\quad \forall u\in { \Re  }^{ n }\quad \forall \lambda \in { \Re  }\)

la llamamos aplicación lineal.

 

Descriptores: 
Aplicaciones lineales
Descriptores: 
Álgebra
Ejemplo: 

Sean \({ \Re  }^{ 2 }\) y \({ \Re  }^{ 3 } \) espacios vectoriales sobre \({ \Re  }\),  la función  \(f:{ \Re  }^{ 2 }\longrightarrow { \Re  }^{ 3 } \) dada por \(f(x,y)=(x,x+y,x-y)\), es una aplicación lineal, es decir:

1. \(f\left[ ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 }) \right] =f({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 })=({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }+{ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 }-({ y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 }))=\\ =({ x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 }+({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 }),\quad ({ x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 }))=({ x }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 },\quad { x }_{ 1 }-{ y }_{ 1 })+({ x }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 },\quad { x }_{ 2 }-{ y }_{ 2 })=\\=f({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 })+f({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 });\quad \forall ({ x }_{ 1 },{ y }_{ 1 }),({ x }_{ 2 },{ y }_{ 2 })\in { \Re  }^{ 2 }\)

2. \(f\left[ \lambda (x,y) \right] =f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x,\quad \lambda x+\lambda y,\quad \lambda x-\lambda y)=\lambda (x,x+y,x-y)=\lambda·f(x,y);\quad \forall \lambda \in \Re ,\quad \forall (x,y)\in { \Re  }^{ 2 }\)