|
Dades generals de l'assignatura |
Nom de l'assignatura: Funcions Analítiques
Codi de l'assignatura: 132016
Curs acadèmic: 2007-2008
Coordinació: NURIA FAGELLA RABIONET
Departament: Dept. Matemàtica Aplicada i Anàlisi
Crèdits: 9
|
Recomanacions |
|
Requisits 132006 - Anàlisi Matemàtica I (Obligatòria) 132008 - Anàlisi Matemàtica III (Obligatòria) 132009 - Anàlisi Matemàtica IV (Obligatòria) 132807 - Anàlisi Matemàtica II (Obligatòria) |
|
Objectius d'aprenentatge de l'assignatura |
|
Referits a coneixements - Conèixer les propietats bàsiques dels nombres complexos.
- Comprendre el concepte de funció holomorfa en relació amb les funcions diferenciables de R ^ 2 (equacions de Cauchy-Riemann).
- Entendre els conceptes i la nomenclatura relacionats amb la integració de funcions complexes.
- Conèixer les diverses versions del teorema de Cauchy i entendre les diferències entre les seves hipòtesis.
- Conèixer les propietats de les funcions holomorfes que es deriven del teorema de Cauchy: principi del mòdul màxim, teorema de l’aplicació oberta, analiticitat de les funcions holomorfes, etc.
- Conèixer els tipus de singularitats de funcions holomorfes així com les seves caracteritzacions.
- Conèixer el teorema dels residus i les seves aplicacions.
- Entendre el concepte de representació conforme i conèixer les representacions conformes més senzilles.
Referits a habilitats, destreses - Saber resoldre equacions en variables complexes i treballar còmodament amb les diferents determinacions del logaritme i les arrels.
- Saber analitzar i sumar sèries de potències concretes així com calcular-ne a partir de la seva suma.
- Saber trobar el valor d’una integral de línia aplicant el teorema que convingui segons els casos. En particular saber calcular integrals per residus.
- Saber resoldre problemes diversos on s’hagi de decidir quins resultats cal fer servir (ppi mòdul màxim, teorema de Liouville, etc.).
- Identificar les singularitats dels diferents tipus i calcular els desenvolupaments en sèrie de Laurent al seu voltant.
- Saber trobar representacions conformes entre dominis senzills. Recíprocament, saber analitzar una representació conforme donada. |
|
Blocs temàtics de l'assignatura |
1. El cos dels nombres complexos
1.1. Representacions dels nombres complexos i propietats
1.2. Fórmula de Moivre i arrels enèsimes
1.3. Successions, límits, funcions, continuïtat, etc.
2. Funcions holomorfes
2.1. Derivabilitat de funcions de variable complexa
2.2. Sèries de potències: convergència i derivació
2.3. Funcions elementals: exponencial, logaritme i trigonomètriques. Determinacions
3. Integració complexa: teoria local
3.1. La integral de línia i el teorema fonamental del càlcul
3.2. Teorema de Cauchy per oberts convexos
3.3. Índex i fórmula integral de Cauchy
3.4. Desenvolupament d’una funció holomorfa en sèrie de potències
3.5. Fórmula integral de Cauchy per derivades i teorema de Morera
3.6. Zeros d'una funció holomorfa i principi de prolongació analítica
3.7. Desigualtats de Cauchy i teorema de Liouville
3.8. Teorema de l'aplicació oberta i principi del mòdul màxim
3.9. Principi de reflexió de Schwartz
4. Forma general del teorema de Cauchy
4.1. Cadenes i cicles
4.2. Teorema de Cauchy (versions homològica i homotòpica) i fórmula integral
4.3. Existència de primitives i determinacions del logaritme en oberts simplement connexos
5. Teoria de residus
5.1. Sèries de Laurent i caracterització de funcions holomorfes en una corona
5.2. Singularitats aïllades: definició i caracteritzacions
5.3. Teorema dels residus i aplicació al càlcul d'integrals
5.4. Principi de l’argument i teorema de Rouché
6. Representacions conformes
6.1. Transformacions conformes i enunciat del teorema de Riemann
6.2. Lema de Schwartz
6.3. Automorfismes de l'esfera de Riemann: transformacions de Möbius
6.4. Automorfismes del disc i del pla
6.5. Altres representacions conformes entre dominis senzills
|
Metodologia i organització general de l'assignatura |
|
L’assignatura tindrà tres hores setmanals de teoria que s’impartiran en forma de classes magistrals, en què es cobriran els coneixements que l’alumnat ha d’assolir, barrejats amb exemples pràctics quan escaigui. |
|
Avaluació acreditativa dels aprenentatges de l'assignatura |
|
Es faran dos exàmens parcials d’una hora cadascun. Un d’ells al final del bloc 2 i l’altre al final del bloc 4. Les notes respectives (P1, P2) comptaran un 30 % de la nota de l’examen final (F). Així doncs, la nota es calcularà segons la fórmula:
Avaluació única Els alumnes poden acollir-se a l’avaluació única en el termini d’un mes després de començar les classes. |
|
Fonts d'informació bàsiques de l'assignatura |
Llibre
Ahlfors, L.V. Complex analysis. 3th ed. New York: McGraw–Hill, 1979. 
Marsden, J. ; Hoffman, M. Basic Complex Analyisis. New York : Freeman, 1999.
| Aquest llibre conté molts exercicis resolts. |
Conway, J. Fuctions of one complex variable. 2nd ed. New York: Springer, 1984.
Rudin, W. Análisis real y complejo. México: McGraw-Hill/Interamericana, 1988.