Polsar la imatge per executar el programa amb Java WebStart
Polsar aquí per executar el programa en el navegador

Polarització de la llum i lleis de Fresnel

En aquesta aplicació s'estudia la polarització de la llum i la seva reflexió i refracció en medis isòtrops. La primera finestra mostra com aconseguir els diferents estats de polarització de la llum a partir de la superposició de dues ones planes amb certes característiques. Les finestres segona i tercera permeten veure el comportament de les ones reflectida i transmesa depenent de les propietats d'una ona incident sobre la superfície de separació de dos medis. El segon medi pot ser dielèctric o conductor. S'estudia tant la relació d'amplituds (coeficients de Fresnel) com la variació de l'el·lipse de polarització.

Finestra "Polarització"

En aquesta finestra s'estudia la superposició de dues ones planes amb els seus vectors elèctrics perpendiculars, que viatgen en la mateixa direcció, tenen la mateixa freqüència, i amplituds diferents i desfasades entre si.

Les barres de desplaçament permeten modificar les amplituds de les ones p (A_p) i s (A_s) i el desfasament δ entre elles. El gràfic situat a la part inferior representa les dues ones. Els camps elèctrics E_p i E_s associats poden expressar-se com:

El camp elèctric resultant genera, quan es propaga, una espiral de pas el·líptic, que es representa en el gràfic superior esquerre. També s'indiquen les característiques de l'el·lipse de polarització: les longituds dels semieixos major i menor, i l'angle de l'el·lipse respecte de l'eix p. També s'indica el vector de Stokes S que descriu l'estat de polarització de la llum. Els paràmetres de Stokes es calculen segons:

El signe del paràmetre S indica si la llum és dextrogira (S>0), és a dir, gira en el sentit de las agulles del rellotge, o levogira (S<0), quan gira en sentit antihorari. Això es mostra dins del requadre negre de l'el·lipse posant una D o una L, respectivament.

Finestra "Dielèctrics"

En aquesta finestra s'estudia la reflexió i refracció de la llum en medis dielèctrics isòtrops, tenint en compte les fórmules de Fresnel, que especifiquen els valors que pren l'amplitud del camp quan aquest canvia de medi o es reflecteix, en funció de l'amplitud incident. Se suposa a més que els medis no són absorbents per les longituds d'ona amb què es treballa.

Si una ona incideix sobre una superfície que separa dos medis d'índexs de refracció n i n' amb un angle φ (respecte a la normal a la superfície), aquesta es reflecteix amb un angle de reflexió igual a l'incident i es transmet al segon medi amb un angle refractat φ' que ve donat per la llei de Snell:

Les barres de desplaçament permeten modificar els índexs de refracció dels dos medis i l'angle d'incidència. L'aplicació calcula l'angle de refracció i mostra els raigs incident (vermell), reflectit (verd) i refractat (blau). També calcula els coeficients de Fresnel, que són els quocients de les amplituds reflectida (A') o refractada (A') respecte a la incident (A):

Els subíndexs p i s fan referència al camp que vibra paral·lelament (p) o perpendicular (s) al pla d'incidència. Aquest ve determinat pel raig incident i la normal a la superfície (en el dibuix correspon al pla de la pròpia pantalla). La component p es representa per un vector amb diferents orientacions dins d'aquest pla mentre que la component s es representa amb un vector que apunta cap a fora o cap a dins del pla de la pantalla.

En el cas d'incidència normal, les fórmules esdevenen:

Quan es polsa el botó "Coeficients de Fresnel" (opció activada per defecte en entrar al programa), es mostra amb diferents colors la variació dels coeficients de Fresnel amb l'angle d'incidència. Un punt groc superposat al gràfic indica l'angle d'incidència seleccionat. Hi ha alguns casos d'interès especial:

• En el cas que l'índex del primer medi sigui més gran que el del segon (n>n') pot produir-se el fenomen de reflexió total, per al qual no hi ha llum transmesa. Això es dóna per angles d'incidència més grans que l'angle límit φ_l (angle d'incidència per al qual φ'=π/2):



angle que es mostra en el gràfic. En aquest cas:



és a dir, els dos coeficients de reflexió tenen mòdul 1 i entre les dues components hi ha només un desfasament 2(β-α)-π  (l'angle π fa referència al signe negatiu de r_p), amb



on



• Quan la llum incideix amb l'angle de Brewster φ_B, r_p=0 i només hi ha llum reflectida en el pla perpendicular al d'incidència. L'angle de Brewster, que es mostra en el gràfic, es calcula segons:

Polsant el botó "Polarització" s'activa una nova finestra, en la qual es mostren les el·lipses de polarització de la llum incident, reflectida i transmesa, cadascuna de les quals apareix amb els mateixos colors que els raigs als quals corresponen. L'escala dels eixos va entre 0 i 1, en el cas que aquesta canviï s'indica la posició dels nous valors. Es mostren també les característiques de l'ona incident, que són les que s'han introduït a la finestra "Polarització" i que es poden modificar accedint a la finestra esmentada.

En el cas que hi hagi reflexió total, no es pinta l'el·lipse de polarització transmesa (blau), ja que no existeix. A més, es mostren els valors dels angles 2α (angp) i 2β (angs), i també el desfasament total entre les components s i p per la llum reflectida, que serà el que portava la llum incident més (angs-angp-π). Es pot veure com aquest varia amb l'angle d'incidència i els índexs, i com per reflexió total es pot obtenir llum polaritzada el·líptica a partir de llum incident polaritzada linealment.

D'altra banda, es pot observar com per un angle d'incidència igual al de Brewster, la llum reflectida està polaritzada linealment en la direcció perpendicular al pla d'incidència.

Finestra "Conductors"

En aquesta finestra s'estudia la reflexió quan la llum incideix sobre un medi isòtrop de conductivitat no nul·la. En aquest cas l'índex de refracció del segon medi és complex,

on n' i k (coeficient d'extinció) són constants reals i positives relacionades amb la constant dielèctrica i la conductivitat del medi. En el programa n' pot variar entre 0.1 i 3.5 i k pot variar entre 0 (cas "Dielèctrics") i 5.

Les fórmules de Fresnel anteriors continuen sent vàlides però considerant l'índex de refracció complex pel segon medi. Els coeficients de reflexió, després d'algunes operacions, esdevenen:

on totes les quantitats són reals excepte l'índex de refracció del segon medi i el producte

i s'ha tingut en compte que la llei de Snell segueix sent vàlida:

Aquí φ' té un sentit formal i la seva interpretació no és geomètrica.

Com que els coeficients de Fresnel anteriors són complexos, les ones reflectides poden patir canvis de fase (ξ_p i ξ_s per la component paral·lela i perpendicular, respectivament), que depenen tant dels índexs de refracció dels dos medis com de l'angle d'incidència. Aquests paràmetres es poden modificar amb les barres de desplaçament. Es mostra també el desfasament total entre les components s i p per la llum reflectida, que és el que portava la llum incident més (ξ_s-ξ_p). Cal notar com, en el cas que en la reflexió no s'introdueixi un desfasament addicional entre les dues components, les ones incident i reflectida giren en sentit oposat (si una és dextrogira, l'altra és levogira, i a l'inrevés). Això és només conseqüència del fet que quan descrivim l'estat de polarització d'aquestes ones les estem mirant des de costats oposats (sempre s'ha d'observar l'ona en el sentit en què avança).

En el cas d'incidència normal, es recuperen les fórmules que s'han vist pels dielèctrics però amb l'índex de refracció complex, és a dir:

El cas de la llum transmesa requereix una anàlisi més exhaustiva. Aquí només s'estudia el cas d'incidència normal, per al qual el factor de transmissió T, definit com el quocient entre l'energia per unitat d'àrea transmesa respecte a la incident, resulta:

(R és el factor de reflexió). L'ona transmesa es pot escriure com una ona plana que es propaga en el medi conductor en la direcció z (perpendicular a la superfície de separació) i amb un índex de refracció complex. El seu camp elèctric es pot escriure com:

Això correspon a una ona plana propagant-se en un medi d'índex n' però amb una amplitud que decau exponencialment amb la distància recorreguda dins del medi (s'ha considerat que z=0 correspon a la superfície de separació). Aquesta dependència es mostra en un gràfic, i també la distància que ha de recórrer l'ona dins del medi conductor per tal que la seva amplitud decaigui en un factor 1/e, que es coneix amb el nom de profunditat de penetració (z_p) i caracteritza el medi:

λ és la longitud d'ona de la llum i també es pot canviar amb una barra de desplaçament.