Teoría de modelos de los cuerpos algebraicamente cerrados y cuerpos pseudofinitos

Juan Fco Pons Universidad de Barcelona

1. Introducción

En los últimos años se ha visto un creciente interés en el uso de técnicas provenientes de lo que tradicionalmente se ha llamado teoría de modelos pura para la resolución de problemas planteados en otras áreas de las matemáticas tan alejadas (en principio) como la teoría de números o la geometría algebraica. Quizás el ejemplo más importante sea la demostración que E. Hrushovski ha dado de la conjetura de Mordell-Lang para cuerpos de funciones (ver [1] para más detalles).

Nuesto objetivo en este trabajo es presentar algunos de estos vínculos existentes entre la teoría de modelos y la teoría algebraica de cuerpos. En particular, se pretende mostrar como determinados conceptos algebraicos clásicos se pueden ver como casos particulares de técnicas más amplias de teoría de modelos, aplicables a cualquier teoría de primer orden (el grado de trascendencia de una extensión de cuerpos es capturado, por ejemplo, por la noción de rango de Morley de una clase definible).

En la sección 2 se presentan algunas técnicas de la teoría de modelos contemporánea. En particular, se define un rango aplicable tanto a clases definibles como tipo-definibles. Este rango cumple la propiedad de que, en teorías determinadas, equivale a invariantes de la teoría bien conocidos. Por ejemplo, veremos que en la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados, este rango captura la noción de grado de trascendencia. La sección 3 es dedicada al estudio de las propiedades modelo teóricas de la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados de característica determinada. También se encuentran vínculos con la geometría algebraica. En la sección 4, se estudia la teoría de los cuerpos pseudofinitos: se ve que es una teoría de primer orden, se explicitan sus completaciones y se demuestra que sus modelos son exactamente los modelos infinitos de la teoría de todos los cuerpos finitos. Por último, en la sección 5 se dan algunos resultados algebraicos utilizados a lo largo del trabajo.

El tipo de a sobre A, tp(a|A), es el conjunto de fórmulas con parámetros en A que realiza a. Diremos que a y b son equivalentes sobre A, a ≡_{A} b, si tp(a|A) = tp(b|A). S_{I}(A) será el conjunto de tipos completos con parámetros en A y variables (x_{i}|i ∈ I).

Utilizaremos la siguiente convención, ampliamente extendida: fijaremos un modelo saturado ℭ, el modelo monstruo, de cardinalidad superior a la de cualquier otro modelo en consideración. Los modelos de la teoría se supondran subestructuras elementales de ℭ. Los conjuntos de parámetros y las tuplas serán subconjuntos de ℭ. La siguiente propiedad será muy utilizada: dadas tuplas a, b (no necesariamente finitas) y un conjunto de parámetros A, se tiene que a ≡_{A} b si y sólo si existe un automorfismo f de ℭ que fija A y envía a a b. Aut_{A}(ℭ) serán los automorfismos de ℭ que fijan A elemento a elemento.

Diremos que a pertenece a la clausura algebraica de A, a ∈ acl(A), si existe una fórmula φ(x) con parámetros en A tal que a ⊧ φ y |φ(ℭ)| < ω. Igualmente, a pertenece a la clausura definible de A, a ∈ dcl(A), si existe una fórmula φ(x) con parámetros en A tal que φ(ℭ) = {a}. Estas dos nociones tienen una interpretación equivalente: a ∈ acl(A), (a ∈ dcl(A)) si y sólo si la órbita de a por los automorfismos de ℭ que fijan a A es finita (tiene un sólo punto).

Agradezco a Rafel Farré la atención que me ha prestado. Los errores presentes en este trabajo son exclusivamente míos.

2. Elementos de teoría de modelos

Vamos a asociar a cada clase defininible D = φ(ℭ) un ordinal (o −1, o ∞) llamado el rango de Morley (RM):

Definición 2.1 Dada una clase definible D decimos que:

RM(D) ≥ 0 si D es consistente.

RM(D) ≥ λ si RM(D) ≥ α para todo α < λ (en el caso λ límite).

RM(D) ≥ α + 1 si existe una familia infinita (D_{i}|i ∈ ω) de subclases disjuntas de D tales que RM(D_{i}) ≥ α para todo i.

Definiremos el rango de Morley de D como RM(D) = α si RM(D) ≥ α y RM(D) ≱ α + 1. (RM(∅) = −1 y RM(D) = ∞ si RM(D) ≥ α para todo α -en este caso diremos que D no tiene rango-).

Lema 2.1 Dadas clases definibles D_{1} y D_{2},

RM(D_{1} ∪ D_{2}) = max{RM(D_{1}), RM(D_{2})}

Prueba. La desigualdad RM(D_{1} ∪ D_{2}) ≥ max{RM(D_{1}), RM(D_{2})} es obvia. Para ver la otra demostremos que

RM(D_{1} ∪ D_{2}) ≥ α ⇒ RM(D_{1}) ≥ α o RM(D_{2}) ≥ α

por inducción sobre α: para α igual a 0 o límite es obvio. Supongamos RM(D_{1}∪D_{2}) ≥ α+1: existen (D_{i}|i ∈ ω) disjuntos tales que RM(D_{i}) ≥ α y D_{i} ⊆ D_{1} ∪ D_{2}. Por hipótesis de inducción, para todo i, RM(D_{i} ∩ D_{1}) ≥ α o RM(D_{i} ∩ D_{2}) ≥ α; como tiene que haber un conjunto infinito de i cumpliendo una de las dos condiciones, tenemos que RM(D_{1}) ≥ α+1 o RM(D_{2}) ≥ α + 1.

Definición 2.2 Una clase D de rango de Morley α no puede contener un número infinito de subclases disjuntas de rango α. Definimos el grado de Morley de D (gM(D)), como la longitud máxima n de una descomposición D = D_{1} ∪ … ∪ D_{n} en clases de rango α.

Definición 2.3 Una clase D de rango y grado 1 es una clase fuertemente minimal.

Observación 2.2 Una clase D fuertemente minimal es una clase infinita tal que toda subclase definible es finita o cofinita en D.

Lema 2.3 Sean D y E clases definibles disjuntas tales que RM(D) ≤ RM(E) < ∞. Entonces:

gM(D ∪ E) = gM(D) + gM(E), si RM(D) = RM(E).
gM(D ∪ E) = gM(E), en otro caso.

Prueba. Obvio.

Pasemos a definir el rango y el grado de Morley para tipos sobre un conjunto de parámetro A:

Definición 2.4 Sea p ∈ S(A). Si p no contiene ninguna fórmula con rango, entonces RM(p) = ∞. En caso contrario, elijamos φ_{p} ∈ p con rango y grado mínimo y definamos RM(p) = RM(φ_{p}) y gM(p) = gM(φ_{p}).

Al grado de Morley de un tipo p también se le llama la multiplicidad de p, Mult(p).

Observaciones 2.4 1. Dado un tipo p y dadas dos fórmulas φ_{p} y ψ_{p} en p de rango α y grado n mínimo, entonces RM(φ_{p} ∧ ¬ψ_{p}) < α y RM(¬φ_{p} ∧ ψ_{p}) < α.

2. Dado un tipo p ∈ S(A) y φ_{p} ∈ p de rango α y grado n mínimo, φ_{p} determina p como el único tipo que contiene a φ_{p} y tiene rango como mínimo α. De hecho, p se puede escribir como:

p = {ψ ∈ L(A)|RM(φ_{p} ∧ ¬ψ) < α}

3. Estas fórmulas φ_{p} tienen la propiedad de que no se pueden descomponer en dos clases A-definibles del mismo rango.

4. Dada una fórmula φ ∈ L(A), tenemos que

MR(φ) = max{MR(p)|p ∈ S(A), φ ∈ p}.
gM(φ) = ∑{gM(p)|p ∈ S(A), φ ∈ p, MR(p) = MR(φ)}.

Definición 2.5 Sea D una clase A-definible de rango α. Un elemento a ∈ D es un genérico sobre A si MR(tp(a|A)) = α. Un tipo genérico p de D sobre A es un tipo tal que a ⊧ p para a ∈ D genérico sobre A.

Veamos ahora en que situaciones toda clase definible tiene rango:

Definición 2.6 Una teoría T es totalmente trascendente si toda clase definible tiene rango de Morley.

Una teoría es ω-estable si |S_{1}(A)| ≤ ω para todo conjunto numerable de parámetros.

Lema 2.5 Una teoría es totalmente trascendente si y sólo si es ω-estable.

Prueba. ⇒). Supongamos que T es totalmente trascendente y sea |A| ≤ ω. En este caso, hemos visto (2.4) que a cada tipo p ∈ S(A) le podemos asociar de manera inyectiva una fórmula φ_{p} ∈ p. Por lo tanto,

|S_{1}(A)| ≤ |L(A)| ≤ |A| + ω.

⇐). En primer lugar observemos que dos clases definibles conjugadas tienen el mismo rango. Por lo tanto hay como máximo tantos valores posibles para el rango RM como tipos sobre el vacío y en particular la clase de los posibles rangos es un conjunto. De aquí se deduce que existe un ordinal α tal que para toda clase D, RM(D) ≥ α si y sólo si RM(D) = ∞. Con todo esto, si T no fuera totalmente trascendental, podríamos construir un árbol (D_{s})_{s∈2^{<ω}} de clases definibles tal que para todo s ∈ 2^{<ω}:

D_{s} ≠ ∅.
D_{s⌢i} ⊆ D_{s}.
D_{s⌢0} ∩ D_{s⌢1} = ∅.

Sea A el conjunto de parámetros que aparecen en las definiciones de las D_{s}. Entonces |A| = ω y |S_{1}(A)| = 2^{ω}.

Estudiemos ahora como la algebricidad afecta al rango de Morley:

Lema 2.6 Si b ∈ acl(Aa), entonces RM(b|A) ≤ RM(a|A).

Prueba. Para simplificar la notación supongamos que A = ∅. Veremos por inducción que RM(b) ≥ α implica que RM(a) ≥ α.

Para α = ∅ o α límite no hay nada que demostrar. Supongamos pues que RM(b) ≥ α = β + 1 y que RM(a) = β en busca de contradicción. Sea D = φ(ℭ) una clase de rango β tal que a ∈ D y sea ϕ(x, y) que testimonie la algebricidad de b sobre a (i.e., ⊧ ϕ(a, b) y |ϕ(a, ℭ)| = n < ω). Podemos imponer que para todo c ∈ D, |ϕ(c, ℭ)| = n < ω (sabemos que p = tp(a|∅) ⊧ ∃^{=n}yϕ(x, y); por lo tanto existe ψ ∈ p tal que ψ ⊧ ∃^{=n}yϕ(x, y). Se toma como D a la clase definida por φ ∧ ψ).

Consideremos la clase E definida por E(y) = ∃x(D(x) ∧ ϕ(x, y)). Como b ∈ E, tenemos que RM(E) ≥ β + 1; por lo tanto, existen (E_{i}|i ∈ ω) subclases definibles disjuntas de E de rango mayor o igual que β. Supongamos que estas clases estan definidas con parámetros e_{i} y sea b_{i} ∈ E_{i} tal que RM(b_{i}|e_{i}) ≥ β. Definimos las subclases D_{i} ⊆ D de la manera siguiente: D_{i}(x) = ∃y(D(x) ∧ ϕ(x, y) ∧ E_{i}(y)). Sea a_{i} ⊧ ϕ(x, b_{i}) tal que a_{i} ∈ D_{i}. Por hipótesis de inducción, RM(a_{i}|e_{i}) ≥ β. Por lo tanto, RM(D_{i}) ≥ β. Entonces si gM(D) = n y F_{1}, …, F_{n} es una descomposicion de D en componentes de grado de Morley 1, para todo D_{i} existe F_{j_{i}} tal que RM(F_{j_{i}} ∧¬D_{i}) < β (si no, D se podría descomponer en n+1 componentes de rango β: F_{1} ∧ ¬D_{i}, …, F_{n} ∧ ¬D_{i}, D_{i}). Por lo tanto, existe τ ⊆ ω infinito tal que ⋂_{i∈τ} D_{i} ≠ ∅. Pero entonces, si c ∈ ⋂_{i∈τ} D_{i}, tendríamos que |ϕ(c, ℭ)| ≥ ω. Contradicción.

Definición 2.7 Sea T una teoría ω-estable y D una clase fuertemente minimal definida sobre ∅. Definimos la siguiente aplicación en P (D):

\begin{matrix}cl : P (D) & ⟶ & P (D) \\ A & ⟼ & cl(A) = acl(A) ∩ D \end{matrix}

Esta aplicación cl tiene las siguientes propiedades:

1. A ⊆ cl(A).

2. cl(A) = ⋃{cl(A_{0}|A_{0} ⊆ A, |A_{0}| < ω}.

3. cl(cl(A)) = cl(A).

4. a ∈ cl(Ab)\cl(A) ⇒ b ∈ cl(Aa).

Observación 2.7 A un par (X, cl), donde X es un conjunto y cl una aplicación de P (X) en P (X) cumpliendo las anteriores propiedades se le conoce con el nombre de pregeometría.

Definición 2.8 Sea (X, cl) una pregeometría. Un conjunto A ⊆ X genera X si cl(A) = X y es independiente si para todo a ∈ A, a ∉ cl(A\{a}). Una base de X es un conjunto independiente que genera a X.

Lema 2.8 Toda pregeometría (X, cl) tiene una base. Todas las bases de X tienen la misma cardinalidad.

Prueba. La existencia de bases es una aplicación directa del lema de Zorn.

Dadas dos bases Y y Z de X, veamos que tienen la misma cardinalidad: en el caso que una de las dos sea finita, se aplica el argumento clásico de Steinitz para espacios vectoriales. Supongamos pues que Y y Z son infinitos: para cada a ∈ Y, existe un Z_{a} ⊆ Z finito tal que a ∈ cl(Z_{a}). Por lo tanto, X = cl(Y) ⊆ cl(⋃_{a∈Y} cl(Z_{a})) = cl(⋃_{a∈Y} Z_{a}). Así, ⋃_{a∈Y} Z_{a} también es una base de X. Al estar incluida en Z, deben coincidir. Luego: |Z| = | ⋃_{a∈Y} Z_{a}| ≤ |Y |ω = |Y |. Análogamente se demuestra que |Y | ≤ |Z|.

Definición 2.9 Dada una pregeometría (X, cl), la dimensión de X, dim(X) es el cardinal de una base.

Lema 2.9 Sea D una clase fuertemente minimal definida sin parámetros y sea p ∈ S(ℭ) su único tipo genérico global. Entonces para todo a ∈ ℭ, a ⊧ p ↾ A si y sólo si a ∈ D y a ∉ acl(A).

Prueba.⇒). Obvio.

⇐). Si a ∉ acl(A), tp(a|A) es un tipo genérico de D sobre A. Como también lo es p ↾ A, la unicidad nos da que tp(a|A) = p ↾ A.

Lema 2.10 Sea D una clase fuertemente minimal; para todo n ∈ ω, toda tupla de elementos a_{1}, …, a_{n} ∈ D independientes sobre A tiene el mismo tipo sobre A.

Prueba. Por inducción sobre n. Para n = 1, es el lema 2.9. Supongámoslo cierto para n − 1 y sean a_{1}, …, a_{n} ∈ D independientes sobre A; veamos que para cualquier otra tupla b_{1}, … b_{n} de elementos A-independientes tenemos que a_{1} … a_{n} ≡_{A} b_{1} … b_{n}:

Como b_{1}, … b_{n−1} son A-independientes, sabemos que a_{1} … a_{n−1} ≡_{A} b_{1} … b_{n−1}; por lo tanto existe un automorfismo f ∈ Aut_{A}(ℭ) tal que f(b_{i}) = a_{i} para todo i desde 1 hasta n − 1. Luego f(b_{n}) es independiente de Aa_{1} … a_{n−1}. Aplicando el resultado para n = 1, tenemos que f(b_{n}) ≡_{Aa_{1}...a_{n−1}} a_{n}. De aquí se obtiene el resultado deseado.

Lema 2.11 Si a_{1}, …, a_{n} ∈ D son independientes sobre A, el tipo tp(a_{1}, …, a_{n}|A) tiene rango n.

Corolario 2.12 Para cualesquiera elementos a_{1}, …, a_{n} ∈ D se tiene que

RM(a_{1}, …, a_{n}|A) = dim(a_{1}, …, a_{n}|A).

Prueba. Se sigue del lema anterior debido a que por 2.6, RM(a_{1}, …, a_{n}|A) = RM(a_{1}, …, a_{k}|A) si a_{k+1} … a_{n} son algebraicos sobre Aa_{1} … a_{k}.

Prueba(lema). Para n = 1 ya está demostrado. Supongamos como hipótesis de inducción que el lema y el corolario son verdaderos sobre tuplas de dimensión menor o igual que n − 1 y sean a_{1}, …, a_{n} una tupla A-independiente. Así, dim(a_{1} … a_{n}|Aa_{1}) = n − 1. Aplicando la hipótesis de inducción, el corolario nos da que RM(a_{1} … a_{n}|Aa_{1}) = n − 1. Como a_{1} ∉ acl(Aa_{2}, …, a_{n}), existe una familia infinita de Aa_{2} … a_{n}-conjugados (a_{1}^{j}|j ∈ ω). Entonces, por invariancia del rango bajo automorfismos, los tipos p_{j} = tp(a_{1}^{j}a_{2} … a_{n}|Aa_{1}^{j}) tienen rango n − 1. Así, como p_{j} ⊇ tp(a_{1} … a_{n}|A), tenemos que RM(a_{1} … a_{n}|A) ≥ n.

Veamos que RM(a_{1} … a_{n}|A) ≯ n: si lo fuera existirían dos clases E y F disjuntas de D^{n} de rango n: escojamos B sobre el cual E y F están definidos y tuplas e = e_{1} … e_{n} ∈ E y f = f_{1} … f_{n} ∈ F genéricos sobre B; por hipótesis de inducción, e y f son independientes sobre B. Por 2.10, e ≡_{B} f. Contradicción con el hecho de que E ∩ F = ∅.

3. Cuerpos algebraicamente cerrados

Pasemos a estudiar desde un punto de vista modelo-teórico, la teoría de los cuerpos algebraicamente cerrados. Nos situamos en el lenguaje L =< +, −, , 0, 1 >. Fijamos p un elemento primo o bien p = 0. ACF_{p} será la teoría engendrada por el conjunto de fórmulas que expresan el hecho de ser un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p (obviamente es expresable en primer orden). Fijaremos un cuerpo algebraicamente cerrado ℭ saturado de cardinalidad mayor que la de cualquier otro cuerpo en consideración. Cualquier otro cuerpo algebraicamente cerrado será una subestructura elemental de ℭ. Los conjuntos de parámetros serán subconjuntos de ℭ. En un lema posterior se verá que este cuerpo ℭ tiene grado de transcendencia |ℭ| sobre el cuerpo primo (ℚ o F_{p}).

Definición 3.1 Se dice que una teoría T tiene eliminación de cuantificadores si para toda fórmula φ(x) existe una ψ(x) sin cuantificadores tal que:

T ⊢ ∀x(φ(x) ↔ ψ(x))

Teorema 3.1 ACF_{p} es una teoría completa y tiene eliminación de cuantificadores.

Prueba. Para ver esto utilizaremos el siguinte criterio clásico de teoría de modelos:

Una teoría es completa y tiene eliminación de cuantificadores si y sólo si para cualesquiera modelos M y N ω-saturados se tiene que la familia I de isomorfismos parciales cuyo dominios son subestructuras finitamente generadas de M es no vacía y tiene la propiedad de la extensión: dado f ∈ I y a ∈ M, existe g ∈ I que extiende a f y que incluye a a en su dominio; e igualmente para b ∈ N.

Tomemos pues modelos ω-saturados M, N de ACF_{p}.

I ≠ ∅, pues tanto M como N tienen como subestructura generada por ∅ a ℤ (si p = 0) o a F_{p} (si p es un primo).

Sea f un isomorfismo entre las subestructuras finitamente generadas A y B de M y N. Obviamente, podemos suponer que este isomorfismo lo tenemos entre los cuerpos cociente R = Q(A) y S = Q(B). Sea a ∈ M. Tenemos dos opciones: i) a es algebraico sobre R: consideremos el polinomio mínimo P (X) ∈ R[X] que anula a a. Entonces f(P)(X) es un polinomio de S[X]. Tomando b ∈ N solución de este polinomio, f se extiende a un isomorfismo R(a) ≅ S(b).

ii) a es transcendente sobre R. Por ω-saturación, existe b ∈ N transcendente sobre S. Así, la aplicación g que extiende a f y envía a a b nos da: g : R(a) ≅ S(b).

Corolario 3.2 ACF_{p} es fuertemente minimal.

Prueba.Sea φ(x) una fórmula en una variable. Por 3.1, Sabemos que existe una ψ(x) que es equivalente a φ(x) y que es una combinación booleana de fórmulas de la forma ”P (x) = 0”. Como ésta última tiene un número finito de soluciones, entonces el conjunto definido por φ(x) es finito o cofinito.

Veamos ahora como relacionar las nociones de algebricidad en el sentido de teoría de modelos y en el sentido de la teoría de cuerpos:

Lema 3.3 Sea a ∈ ℭ, A ⊆ ℭ y k el cuerpo generado por A. Entonces a ∈ acl(A) si y sólo si a es algebraico sobre k en el sentido de la teoría de cuerpos. Además, si P (X) es el polinomio mínimo de k[X] que anula a a, entonces la fórmula ”P (X) = 0” aísla al tipo tp(a|A).

Prueba. ⇐). La fórmula ”P (X) = 0” es claramente equivalente a una fórmula con parámetros en A. Entonces, como ”P (X) = 0” tiene un número finito de realizaciones, si P (a) = 0, tenemos que a ∈ acl(A).

⇒). supongamos que a ∈ acl(A). Si a fuese trascendente sobre k, por la saturación de ℭ podríamos encontrar infinitos elementos trascendentes sobre k; pero cualquier elemento b de estos tendría el mismo tipo sobre k (ya que el isomorfismo k(a) ≅ k(b) se puede extender a un automorfismo de ℭ) y por tanto sobre A, contradiciendo que a ∈ acl(A). Para la segunda afirmación, si P (X) es el polinomio mínimo que anula a a, entonces si P (b) = 0, a y b tienen el mismo tipo atómico sobre k; al tener ACF_{p} eliminación de cuantificadores, tp(a|k) = tp(b|k) y por tanto tp(a|A) = tp(b|A).

Hemos visto que noción algébrica corresponde al concepto de clausura algebraica de teoría de modelos. Ahora buscaremos un análogo para la clausura definible.

Definición 3.2 Un cuerpo k es perfecto si estamos en característica 0 o si estamos en característica p y k = k^{p}.

Dado un cuerpo k, la clausura perfecta de k, k_{ins}, es el mínimo cuerpo perfecto que contiene a k. Explícitamente, k_{ins} es el conjunto de elementos de la clausura algebraica de k que satisfacen una ecuación de la forma X^{p^{n}} − a = 0, para algún a ∈ k.

Lema 3.4 Sea a ∈ ℭ, A ⊆ ℭ y k el cuerpo generado por A. Tenemos que a ∈ dcl(A) si y sólo si a ∈ k_{ins}.

Prueba. ⇒). Si a ∈ dcl(A) ⊆ dcl(k), por el lema anterior sabemos que ”P (X) = 0” aísla al tipo tp(a|k), donde P (X) es el polinomio mínimo que anula a k. Si este polinomio tuviese varias raíces, dos de ellas serían k-conjugadas, contradiciendo el hecho de que a ∈ dcl(A). Por lo tanto, la única opción es que P (X) sea de la forma X^{p^{n}} − c, con c ∈ k; es decir, a ∈ k_{ins} .

⇐). Obvio.

Lema 3.5 Dado k ⊧ ACF_{p} y λ un cardinal, k es λ-saturado si y sólo si el grado de transcendencia de k sobre el cuerpo primo (ℚ o F_{p}) es al menos λ.

Prueba.⇒). Supongamos que k es λ-saturado. Consideremos el tipo parcial en λ variables

p((x_{i}|i ∈ λ)) = {Q(x_{i_{1}}, …, x_{i_{n}}) ≠ 0|Q polinomios sobre el cuerpo primo}.

Una realización de p en k (existe por saturación) nos da un conjunto de cardinalidad λ algebraicamente independiente sobre el cuerpo primo.

⇐). Sea p ∈ S_{1}(A) un tipo completo tal que |A| < λ. Si existe en p una fórmula del tipo ”P (X) = 0”, al ser k algebraicamente cerrado p se realiza en k. En caso contrario, como |A| < λ podemos encontrar a ∈ k transcendente sobre A. Este a será una realización de p.

Definición 3.3 Dado un anillo conmutativo A, definimos el espectro de A como: Spec(A) = {I|I ideal primo de A}.

Lema 3.6 Dado un cuerpo algebraicamente cerrado k, para todo n existe una biyección entre S_{n}(k) y Spec(k[X_{1}, …, X_{n}])

Prueba. Definamos aplicaciones φ y ψ de la manera siguiente:

\begin{matrix}φ : S_{n}(k) & ⟶ & Spec(k[X_{1}, …, X_{n}]) \\ p & ⟼ & I_{p} =< f|”f(x) = 0” ∈ p > \\ ψ : Spec(k[X_{1}, …, X_{n}]) & ⟶ & S_{n}(k) \\ I & ⟼ & p_{I} = \{θ|\{f(x) = 0|f ∈ I\} ∪ \{f(x) ≠ 0|f ∉ I\} ⊢ θ\} \end{matrix}

Hemos de ver:

I_{p} es un ideal primo: sean f y g polinomios tales que f ∗ g ∈ I_{p}; consideremos una realización a ∈ ℭ de p. Entonces a ⊧ ”f ∗ g(x) = 0”. Por lo tanto a ⊧ ”f(x) = 0” (o a ⊧ ”g(x) = 0”) y obtenemos que f ∈ I_{p}.

p_{I} es consistente: demostrémoslo por compacidad. Sea V = {a ∈ k^{n}|f(a) = 0, para todo f ∈ I}. Veremos posteriormente que V ≠ ∅. Tomemos g_{1}, …, g_{n} ∉ I; al ser I un ideal primo, ∏_{i} g_{i} ∉ I. Por lo tanto, existe a ∈ V tal que ∏_{i} g_{i}(a) ≠ 0. Así,

a ⊧ {f(x) = 0|f ∈ I} ∪ {g_{i}(x) ≠ 0|1 ≤ i ≤ n}

p_{I} es un tipo completo: obvio por la eliminación de imaginarios.

φ y ψ son inversas mútuas: no presenta ninguna dificultad.

Corolario 3.7 La teoría ACF_{p} es ω-estable.

Prueba. Sea k ⊧ ACF_{p}. Por el teorema de la base de Hilbert, sabemos que todo ideal primo está finitamente generado. Por lo tanto, para todo n, |Spec(k[X_{1}, …, X_{n}])| = |k|. Del lema 3.6, deducimos que |S_{n}(k)| = ω.

Observaciones 3.8 1. El resultado anterior también se puede obtener recordando que una teoría κ-categórica para un κ no numerable debe ser ω-estable.

2. Por 2.5, toda clase definible de ℭ ⊧ ACF_{p} tiene rango de Morley.

En los siguientes lemas, estudiaremos una propiedad modelo-teorética de ACF_{p}. Para ello, es necesario definir la noción de imaginario: un imaginario es una clase de equivalencia a/E de una tupla a en una relación de equivalencia E definible sobre ∅. Los imaginarios conforman una estructura multivariada ℭ^{eq} en la que cada cociente asociado a una relación de equivalencia entre tuplas E definible sin parámetros es un nuevo universo. Se conserva la estructura de ℭ en el universo asociado a la igualdad y se añaden las proyecciones π_{E} : ℭ^{n} → ℭ^{n}/E definidas por π_{E}(a) = a/E. Todo automorfismo de ℭ es extiende de modo único a un automorfismo de ℭ^{eq}; acl^{eq}(A) es la clausura algebraica de A calculada en ℭ^{eq}.

Definición 3.4 Una teoría T tiene eliminación de imaginarios si para todo e ∈ ℭ^{eq} existe una tupla a ∈ ℭ^{n} tal que e ∈ dcl(a) y a ∈ dcl(e).

Una teoría T tiene eliminación débil de imaginarios si para todo e ∈ ℭ^{eq} existe una tupla a ∈ ℭ^{n} tal que e ∈ dcl(a) y a ∈ acl(e).

Dada una clase definible D, un parámetro canónico de D es una tupla e tal que f(e) = e si y sólo si f(D) = D para todo automorfismo f ∈ Aut(ℭ).

Lema 3.9 Sea T una teoría fuertemente minimal tal que acl(∅) es infinita. Entonces T elimina débilmente los imaginarios.

Prueba. Sea e ∈ ℭ^{eq} un imaginario, E la relación de equivalencia en ℭ^{n} de la cual e es una clase y a = a_{1} … a_{n} una tupla de ℭ^{n} tal que π_{E}(a) = e (π_{E} es la función proyección, que forma parte del lenguaje ampliado). Así, e ∈ dcl(a). Encontraremos, por inducción, elementos c_{1}, …, c_{n} ∈ ℭ tal que π_{E}(c_{1} … c_{n}) = e y c_{i} ∈ acl(e) para todo i.

Supongámoslo cierto para i−1: tenemos elementos c_{1}, …, c_{i−1} ∈ acl(e) tal que π_{E}(c_{1} … c_{i−1}a_{i} … a_{n}) = e. Consideremos la fórmula φ(x_{i}) = ∃x_{i+1} … ∃x_{n}(π_{E}(c_{1} … c_{i−1}x_{i} … x_{n}) = e). Al ser T fuertemente minimal, existen dos opciones:

|φ(ℭ)| < ω: se toma cualquier c_{i} ∈ φ; tendremos que c_{i} ∈ acl(c_{1}, …, c_{i−1}, e) = acl(e).

|¬φ(ℭ)| < ω: por lo tanto, acl(e) ⊈ ¬φ(ℭ) (ya que acl(e) es infinito, pues incluye

acl(∅)). En este caso tomamos c_{i} ∈ acl(e) ∩ φ(ℭ).

Corolario 3.10 ACF_{p} elimina débilmente los imaginarios.

Prueba. Se deduce del lema anterior, pues ACF_{p} es fuertemente minimal y acl(∅) es infinita (si p = 0, acl(∅) = ℚ̃; y si p ≠ 0, acl(∅) = F̃_{p}).

Pasemos a demostrar que ACF_{p} también tiene eliminación de imaginarios:

Lema 3.11 Sean c_{1}, …, c_{m} un conjunto finito de tuplas de longitud n de ℭ. Entonces existe una tupla d de ℭ tal que para todo automorfismo f ∈ Aut(ℭ), f(d) = d si y sólo si f permuta las c_{i} Prueba. Sean Z, X_{1}, …, X_{n} variables; escribamos explícitamente c_{i} = c_{i1} … c_{in}. Si consideramos el polinomio

P (Z, X_{1}, …, X_{n}) = ∏_{i=1}^{n}(Z + c_{i1}X_{1} + … + c_{in}X_{n})

veamos que la tupla d buscada es la formada por los coeficientes de este polinomio: es obvio que todo automorfismo f que permuta las c_{i} fija la tupla d. Para la otra dirección, supongamos que f(d) = d. Entonces:

P = P^{f} = ∏_{i=1}^{n}(Z + f(c_{i1})X_{1} + … + f(c_{in})X_{n})

Al estar en un dominio de factorización única, f debe permutar las c_{i}.

Corolario 3.12 ACF_{p} tiene eliminación de imaginarios.

Prueba. Sea e ∈ ℭ^{eq}. Por el corolario 3.10, existe una tupla c ∈ ℭ tal que e = c/E para una relación E ∅-definible (i.e., e ∈ dcl(c)) y c ∈ acl(e). Consideremos el conjunto finito {c_{1}, …, c_{m}} de e-conjugados de c y sea d la tupla obtenida por el lema 3.11. Veamos que e ∈ dcl(d) y d ∈ dcl(e):

d ∈ dcl(e): sea f ∈ Aut(ℭ) un automorfismo tal que f(e) = e; entonces f permuta las c_{i} y por lo tanto, por 3.11, f(d) = d.

e ∈ dcl(d): observemos primero que los c_{i} están en la misma clase de equivalencia de la relación E, pues si f es el automorfismo que fija e y transforma c en c_{i} se tiene: c/E = e = f(e) = f(c)/E = c_{i}/E. Sea pues f ∈ Aut(ℭ) tal que f(d) = d. Así, existe i tal que f(c) = c_{i}. Por lo tanto: f(e) = f(c)/E = c_{i}/E = e.

En lo que queda de sección, daremos una introducción al estudio de la geometría algebraica desde el punto de vista de teoría de modelos.

Consideremos el cuerpo monstruo ℭ y k un subcuerpo suyo. A cada ideal I ⊆ ℭ[\overline{X}] = ℭ[X_{1}, …, X_{n}] le hacemos corresponder el subconjunto de ℭ^{n}

V = V_{ℭ}(I) = V (I) = {a ∈ ℭ^{n}|f(a) = 0, para todo f ∈ I}.

A los conjuntos de la forma V (I) se les llama conjuntos algebraicos. Es fácil ver que la unión de dos conjuntos algebraicos es algebraicos. Utilizando el teorema de la base de Hilbert (que dice que todo ideal de ℭ[\overline{X}] es finitamente generado), también se demuestra que la intersección de un número arbitrario de conjuntos algebraicos es algebraico. Se tiene que V (∅) = ℭ^{n} y V ((1)) = ∅. Por lo tanto, los conjuntos algebraicos son los cerrados de una topología de ℭ^{n}, llamada la topología de Zarinski. Aplicando otra vez el teorema de la base de Hilbert, se ve que esta topología es compacta. Obviamente, los conjuntos algebraicos son definibles en el sentido de la teoría de modelos.

La aplicación V tiene una inversa: Dado A ⊆ ℭ^{n}, I(A) es el ideal de ℭ[\overline{X}] siguiente:

I = I(V) = I_{ℭ}(V) = \{f ∈ ℭ[\overline{X}]|f(a) = 0, para todo a ∈ A\}.

Es fácil ver que se cumplen las siguientes propiedades:

I ⊆ J implica que V (J) ⊆ V (I).

A ⊆ B implica que I(B) ⊆ I(A).

I(ℭ^{n}) = (0), I(∅) = ℭ[\overline{X}].

Dado un subconjunto A ⊆ ℭ^{n}, V I(A) = \overline{A} es la adherencia de A en la topología de Zarinski.

La eliminación de cuantificadores de ACF_{p} (y más concretamente la modelo completud) nos da una demostración muy sencilla del teorema de los ceros de Hilbert:

Teorema 3.13 Sea k ⊧ ACF_{p}, I ⊆ k[X_{1}, …, X_{n}] un ideal. Entonces I_{k}V_{k}(I) = \sqrt{I}(= {f| existe un k tal que f^{k} ∈ I}).

Prueba. Como I ⊆ I_{k}V_{k}(I), tenemos que \sqrt{I} ⊆ \sqrt{I_{k}V_{k}(I)} = I_{k}V_{k}(I). Veamos la otra inclusión:

Supongamos que f ∈ I_{k}V_{k}(I) y que no existe un k tal que f^{k} ∈ I. Sea J un ideal maximal extendiendo a I y con la propiedad de que ninguna potencia de f pertenece a J. Es inmediato comprobar que J debe ser primo: si tuvieramos g, h ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] tal que g∗h ∈ J pero g ∉ J y h ∉ J, habría naturales k y k′ tales que f^{k} ∈< J, g > y f^{k′} ∈< J, h >; entonces f^{k+k′} ∈< J, g > ∗ < J, h >⊆ J, contradiciendo la elección de J.

Así, R = k[X_{1}, …, X_{n}]/J es un dominio que incluye a k. Sea L el cuerpo engendrado por R. Si J está generado por g_{1}, …, g_{l}, entonces tenemos que L̃ ⊧ ∃x(⋀_{i} g_{i}(x) = 0∧f(x) ≠ 0). Por eliminación de cuantificadores tenemos que k ⪯ L̃, por lo que existe a = a_{1} … a_{n} ∈ k tal que g_{i}(a) = 0 y f(a) ≠ 0. Como J ⊆ I, g(a) = 0 para todo g ∈ I. Pero entonces f ∉ I_{k}V_{k}(I). Contradicción.

Corolario 3.14 Sea k ⊧ ACF_{p}, I ⊆ k[X_{1}, …, X_{n}] un ideal primo. Entonces V_{k}(I) ≠ ∅.

De todo ello se deduce lo siguiente:

Teorema 3.15 Las aplicaciones V e I establecen una biyección entre los cerrados de ℭ^{n} y los ideales radicales (\sqrt{I} = I) de ℭ[\overline{X}].

Un cerrado V de ℭ^{n} es irreducible si no se puede escribir como la reunión V = V_{1} ∪V_{2} de dos cerrados V_{i} ⊊ V. A un cerrado irreducible se le llama también una variedad. Otra vez por el teorema de la base de Hilbert se demuestra que todo cerrado V tiene una descomposición única en componentes irreducibles. De la biyección anterior se obtiene que un cerrado V es una variedad si y sólo si I(V) es un ideal primo.

Pasemos a estudiar la definibilidad de los cerrados V en subcuerpos k ⊆ ℭ.

Definición 3.5 Sea V ⊆ ℭ^{n} un cerrado y k un subcuerpo de ℭ. Se dice que V está definido sobre k (en el sentido de la teoría de cuerpos) si el ideal I(V) = \{f ∈ ℭ[\overline{X}]|f(a) = 0, ∀a ∈ V \} está generado por polinomios de k[\overline{X}].

V es un k-cerrado si es el conjunto de soluciones de un número finito de polinomios de k[\overline{X}] (es decir, V = V (f_{1}, …, f_{n}), con f_{i} ∈ k[\overline{X}]).

Definición 3.6 Dado un k-cerrado V ⊆ ℭ, V es k-irreducible si no es la reunión propia de dos k-cerrados.

Observaciones 3.16 1. Un k-cerrado V es k-irreducible si y sólo si I_{k}(V) = I(V)∩k[\overline{X}] es un ideal primo de k[\overline{X}].

2. Un k-cerrado V irreducible es obviamente k-irreducible. El recíproco no es cierto: un polinomio irreducible en k[X] descompone en factores lineales en k̃[X].

Teorema 3.17 Sea V ⊆ ℭ^{n} un cerrado. Entonces V tiene un mínimo cuerpo de definición k_{0}. Este cuerpo tiene la propiedad que para todo f ∈ Aut(ℭ), f(V) = V si y sólo si f fija todo elemento de k_{0}.

Prueba. Sea I = I(V) = \{f ∈ ℭ[\overline{X}]|f(a) = 0, para todo a ∈ V \} y sea R = ℭ[\overline{X}]/I. Denotemos por M al conjunto de todos los monomios de ℭ[\overline{X}] y sea B ⊆ M un conjunto ℭ-independiente módulo I y maximal con esta propiedad (es decir, B es una ℭ-base de R). A cada monomio m ∈ M le asociamos una combinación lineal única A_{m} de elementos de B tal que m − A_{m} ∈ I.

Sea f(X) = ∑_{m} a_{m} ∗ m ∈ I. Entonces:

f(X) = ∑_{m} a_{m} ∗ m = ∑_{m} a_{m} ∗ (m − A_{m}) + ∑_{m} a_{m} ∗ A_{m}

∑_{m} a_{m}∗A_{m} es una combinación de elementos de B que esta en I (pues f(X) y ∑_{m} a_{m}∗ (m−A_{m}) están en I). Por definición, ∑_{m} a_{m}∗A_{m} = 0. Hemos visto pues que I esta generado por los polinomios m − A_{m}, con m ∈ M. Se toma entonces como k_{0} el cuerpo generado por los coeficientes de los A_{m}. Este cuerpo es un cuerpo de definición que cumple que para todo f ∈ Aut(ℭ), f(V) = V si y sólo si f(I) = I si y sólo si f fija todo elemento de k_{0}.

Queda por demostrar que k_{0} es el mínimo: consideremos k otro cuerpo de definición de V y sean f_{1}, …, f_{n} ∈ k[\overline{X}] generadores de I. Sea m_{0} ∈ M\B. Como m_{0} − A_{m_{0}} ∈ I, existen g_{1}, …, g_{n} ∈ ℭ[X] tales que

m_{0} − A_{m_{0}} = f_{1}g_{1} + … + f_{n}g_{n}

Escribamos explícitamente f_{i} = ∑_{m} a_{im}m y g_{i} = ∑_{m} b_{im}m y sea S = {m ∈ M| existe i, tal que b_{im} ≠ 0}. De este modo, el coeficiente de m en la suma f_{1}g_{1} + … + f_{n}g_{n} es de la forma c_{m}(b) con b = (b_{im})_{m∈S,1≤i≤n} y c_{m}(Y) una k-combinación lineal de variables Y = (Y_{im})_{m∈S,1≤i≤n}. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:

c_{m_{0}}(Y) = 1.

c_{m}(Y) = 0, para m ∈ M\B, m ≠ m_{0}.

Este sistema tiene una solución en ℭ (los b_{im}), por lo tanto tiene una solución d_{im} en k. Si escribimos h_{i} = ∑_{m∈S} d_{im}m, por la elección de los d_{im} tenemos que

f_{1}h_{1} + … + f_{n}h_{n} = m_{0} + ∑_{m∈B} e_{m}m

con e_{i} ∈ k; como B es una base módulo I tenemos que A_{m_{0}} = − ∑_{m∈B} e_{m}m y por lo tanto m_{0} − A_{m_{0}} ∈ k[X], es decir k_{0} ⊆ k.

Corolario 3.18 Sea V ⊆ ℭ un cerrado y k un subcuerpo de ℭ. Entonces V está definido sobre k en el sentido de teoría de modelos si y sólo si V está definido sobre k_{ins} = dcl(k) en el sentido de teoría de cuerpos.

Prueba. ⇐). Si V está definido sobre dcl(k) en el sentido de teoría de cuerpos, podemos escribir V = φ(ℭ), estando los parámetros de φ en dcl(k). Por lo tanto, si f ∈ Aut_{k}(ℭ), f(V) = f(φ(ℭ)) = φ(ℭ) = V. Así, V es definible y k-invariante; por consiguiente, V es definible sobre k.

⇒). Sea k_{0} el mínimo cuerpo de definición. Si V está definido sobre k en el sentido de teoría de modelos, tenemos que para todo f ∈ Aut_{k}(ℭ), f(V) = V; por 3.17, f(a) = a para todo a ∈ k_{0}. Esto nos está diciendo que k_{0} ⊆ dcl(k).

Lema 3.19 Sea V un cerrado, k un cuerpo. Entonces V es un k-cerrado si y sólo si V está definido sobre k en el sentido de la teoría de modelos.

Prueba.⇒). Obvio.

⇐). Si V está definido sobre k en el sentido de la teoría de modelos, por el corolario 3.18 V está definido sobre k_{ins} en el sentido de la teoría de cuerpos , i.e., existen f_{1}, …, f_{n} ∈ k_{ins}[\overline{X}] tal que I(V) =< f_{1}, …, f_{n} >_{ℭ[\overline{X}]}. Si f_{i} se escribe como f_{i} = ∑_{α} a_{iα}\overline{X}^{α}, con a_{iα} ∈ k_{ins},

existen n_{iα} tales que a_{iα}^{p^{n_{iα}}} ∈ k. Si tomamos n_{0} = max{n_{iα}|i, α}, entonces a_{iα}^{p^{n_{0}}} ∈ k, para todo a_{iα}. Así:

f_{i}^{p^{n_{0}}} = (∑_{α} a_{iα}\overline{X}^{α})^{p^{n_{0}}} = ∑_{α} a_{iα}^{p^{n_{0}}} \overline{X}^{αp^{n_{0}}} ∈ k[\overline{X}]

Como obviamente tenemos que f_{i}^{p^{n_{0}}} (a) = 0 si y sólo si f_{i}(a) = 0, entonces V se puede escribir como V = V ({f_{i}^{p^{n_{0}}} |1 ≤ i ≤ n}), es decir, V es un k-cerrado.

Lema 3.20 Sea k un cuerpo, b = b_{1} … b_{r} ∈ ℭ^{r}, s ≤ r tal que dim(b_{1} … b_{s}|k) = dim(b_{1} … b_{r}|k) = s. Entonces existe un conjunto finito de polinomios \overline{P} en k[X_{1}, …, X_{r}] tales que para todo c ∈ ℭ^{r}, si dim(c_{1} … c_{s}|k) = s y P (c) = 0 para todo P ∈ \overline{P}, entonces c ≡_{k} b.

Prueba. Consideremos el cuerpo k_{0} = k(b_{1}, …, b_{s}). Así, para todo i desde 1 hasta r−s, b_{s+i} es algebraico sobre k_{0}(b_{s+1}, …, b_{s+i−1}); por lo tanto, existe T_{i} ∈ k_{0}(b_{s+1}, …, b_{s+i−1})[X] tal que

T_{i}(x) = 0 ⊢ tp(b_{s+i}|k_{0}(b_{s+1}, …, b_{s+i−1}))

Sean Q_{i} ∈ k_{0}[X_{s+1} … X_{s+i}] tales que Q_{i}(b_{s+1}, …, b_{s+i−1}, X) = T_{i}(X), para i desde 1 hasta r − s.

Veamos por inducción sobre r − s que:

⋀_{i=1}^{r−s} Q_{i} = 0 ⊢ tp(b_{s+1} … b_{r}|k_{0})

Para r−s = 1 ya está visto. Supongamoslo cierto para r−s−1. Sean c_{s+1}, …, c_{r} elementos tales que Q_{i}(c_{s+1}, …, c_{s+i}) = 0. Por hipótesis inductiva, c_{s+1} … c_{r−1} ≡_{k_{0}} b_{s+1} … b_{r−1}.

Sea f ∈ Aut_{k_{0}}(ℭ) tal que f(c_{s+i}) = b_{s+i} para i = 1, …, r−s−1. Así, 0 = Q_{r−s}(b_{s+1}, …, b_{r−1}, f(c_{r})) = T_{r−s}(f(c_{r})). Por lo tanto, f(c_{r}) ≡_{k_{0}(b_{s+1},...,b_{r−1})} b_{r}. De aquí es inmediato que c_{s+1} … c_{r} ≡ b_{s+1} … b_{r}.

Ahora sólo queda demostrar que el conjunto

\overline{P} = \{P ∈ k[X_{1}, …, X_{r}]|P_{i}(b_{1}, …, b_{s}, X_{s+1}, …, X_{r}) = Q_{i}\}

es el conjunto buscado:

Sea c = c_{1} … c_{r} un cero de todos los polinomios de \overline{P} tal que dim(c_{1} … c_{s}|k) = dim(b_{1} … b_{s}|k) = s. Por 2.10 c_{1} … c_{s} ≡_{k} b_{1} … b_{s}. Así, conjugando por un k-automorfismo , podemos suponer que c_{i} = b_{i} para i desde 1 hasta s. Tendremos que 0 = P_{i}(b_{1}, …, b_{s}, c_{s+1}, …, c_{r}) = Q_{i}(c_{s+1}, …, c_{r}) para todo i. Por lo visto anteriormente, c_{s+1} … c_{r} ≡_{k_{0}} b_{s+1} … b_{r}. De aquí, c_{1} … c_{r} ≡_{k} b_{1} … b_{r}.

Lema 3.21 Sea A ⊆ ℭ y a = a_{1} … a_{n} ∈ ℭ^{n} tal que RM(a|A) = m. Existe un A-definible cerrado X tal que la fórmula ”x ∈ X” aísla tp(a|A) entre los tipos completos de S_{n}(A) con rango de Morley mayor o igual que m.

Prueba. Evidentemente, podemos sustituir A por el cuerpo k generado por A. Reordenando si es necesario,podemos suponer que a_{1}, …, a_{m} son independientes sobre k. Sea \overline{P} el conjunto de polinomios de k[X_{1}, …, X_{n}]obtenidos por 3.20 y sea X el cerrado definido por este conjunto. Veamos que para todo b = b_{1} … b_{n} ∈ ℭ^{n}, si b ∈ X y RM(b|k) ≥ m, entonces a ≡_{k} b:

El hecho de que b anule a todos los polinomios de \overline{P} nos indica que b_{m+i} ∈ acl(b_{1} … b_{m}|k) para todo i desde 1 hasta n − m. Como RM(b|k) = dim(b|k) ≥ m, b_{1}, …, b_{m} deben ser algebraicamente independientes sobre k. Una aplicación directa de 3.20 nos da que b ≡_{k} a.

Lema 3.22 Sea V ⊆ ℭ^{n} un k-cerrado y k-irreductible. Entonces V tiene un único p tipo genérico sobre k. Este tipo está caracterizado por:

Para todo k-cerrado W ⊆ ℭ^{n}, ”x ∈ W ” ∈ p ⇔ V ⊆ W

(i.e., la adherencia en k de p(ℭ) es V). En particular, si V es una variedad, Mult(V) = 1.

Prueba. Sea I = I_{k}(V) = \{f ∈ k[\overline{X}]|f(a) = 0, para todo a ∈ V \} y consideremos los siguientes conjuntos de fórmulas: Λ_{1} = {f(x) = 0|f ∈ I}, Λ_{2} = {f(x) ≠ 0|f ∉ I}. Veamos que Λ = Λ_{1} ∪ Λ_{2} es consistente:

Sean g_{1}, …, g_{r} polinomios que no están en I. Al ser I primo, el producto ∏ g_{i} tampoco está en I. Por lo tanto, existe a ∈ V tal que ∏ g_{i}(a) ≠ 0. Así: a ⊧ ⋀_{i} g_{i}(x) ≠ 0 y a ⊧ Λ_{1}.

Hemos demostrado la consistencia de Λ. Tomemos un tipo p ∈ S(k) que extienda a Λ y a ⊧ p (por lo tanto a ∈ V) y veamos que cumple lo requerido:

Sea W = V (g_{1}, …, g_{s}) con g_{i} ∈ k[\overline{X}]. Si V ⊆ W, como a ∈ V, tenemos que ” ⋀ g_{i}(x) = 0” ∈ p. Para la otra dirección, si V ⊊ W, entonces I_{k}(W) ⊊ I_{k}(V); así uno de los g_{i} no pertenece a I_{k}(V). Entonces, por definición, g_{i} ≠ 0 ∈ p, lo que obliga a que ” ⋀ g_{i}(x) = 0” ∉ p.

Sea RM(p) = m. Por el lema 3.21, existe un X k-cerrado que aísla p entre los tipos completos sobre k de rango mayor o igual que m. Como V ⊆ X, V también aísla p. Así, RM(V) = m y p es su único tipo genérico.

Teorema 3.23 Sea V un k-cerrado y k-irreductible. Entonces las componentes irreductibles de V son k-conjugadas y cada una es definible sobre acl(k).

Prueba. Sea V = V_{1} ∪ … ∪ V_{l} la descomposición (única) en componentes irreductibles. Dado un f ∈ Aut_{k}(ℭ), como V = f(V) = f(V_{1})∪…∪f(V_{l}), la unidad de la descomposición nos da que f(V_{i}) = V_{j_{i}} para todo i.

Veamos ahora que están definidas sobre acl^{eq}(k) = acl(k): sólo se trata de observar que sus parámetros canónicos d_{i} son elementos de acl(k) (pues si un automorfismo f ∈ Aut_{k}(ℭ) envía la componente V_{i} a la V_{j}, entonces envía el parámetro canónico d_{i} de la primera al parámetro d_{j} de la segunda), por lo que, si tomamos f ∈_{acl(k)} (ℭ) tendremos que f(d_{i}) = d_{i} y por lo tanto f(V_{i}) = V_{i}.

Para ver que Aut_{k}(ℭ) actúa transitivamente sobre las componentes de V, sea W_{1} la unión de los k-conjugados de V_{1} y W_{2} los restantes V_{i}. Así tenemos:

W_{i} definidos sobre k, pues para todo f ∈ Aut_{k}(ℭ), f(W_{i}) = W_{i}.

V = W_{1} ∪ W_{2}.

V es k-irreductible.

Por lo tanto, V = W_{1}.

Lema 3.24 Sea V un cerrado e irreducible. Entonces RM(V) ≥ n + 1 si y sólo si existe W ⊊ V cerrado e irreducible tal que RM(W) ≥ n.

Prueba. ⇐). Sea W ⊊ V cerrado e irreducible y sea k un cuerpo sobre el que estén definidos W y V. Sea p el único tipo genérico de W sobre k. Si RM(V) = RM(W), p también sería el tipo genérico de V y por 3.22, tendríamos que W = \overline{p(ℭ)} = V. Por lo tanto, RM(W) < RM(V).

⇒). supongamos que RM(V) = n + 1; sea k un cuerpo sobre el que V está definido y a = a_{1} … a_{r} genérico de V sobre k (dim(a_{1} … a_{r}|k) = RM(a_{1} … a_{r}|k) = n + 1). Podemos suponer que a_{1} ∉ k. Entonces dim(a_{1} … a_{r}|acl(k ∪ {a_{1}})) = n. Consideremos q = tp(a_{1} … a_{r}|acl(k ∪ {a_{1}})). Por el lema 3.21, existe un cerrado W irreductible sobre acl(k ∪ {a_{1}}) (y por tanto irreductible) que aísla q entre los tipos con rango mayor o igual que n. Así, RM(W) = n y, como p = tp(a_{1} … a_{r}|k) ⊆ q = tp(a_{1} … a_{r}|acl(k ∪ {a_{1}})), tenemos que q(ℭ) ⊆ p(ℭ), es decir W = \overline{q(ℭ)} ⊆ \overline{p(ℭ)} = V.

Corolario 3.25 Sea V un cerrado e irreducible. Entonces:

RM(V) = dim_{Krull}(V)(= max{i|∃V_{0} ⊆ … ⊆ V_{i} = V, V_{j} cerrados e irreducibles }

Observación 3.26 Sea a una tupla de ℭ y k un subcuerpo de ℭ. Consideremos V el mínimo k-cerrado tal que a ∈ V. Entonces mult(tp(a|k)) = 1 si y sólo si V es irreducible.

Prueba. ⇒). Como V es el mínimo k-cerrado que incluye a a, V es k-irreductible. Si tuvieramos que V = V_{1} ∪V_{2} con V_{i} definidos sobre acl(k) y RM(V_{i}) = RM(V), sean q_{1} y q_{2} los tipos genéricos de V_{1} y V_{2} sobre acl(k). Así se daría que RM(q_{i}) = RM(V_{i}) = RM(V) y q_{i} ↾ k = tp(a|k) con lo que mult(tp(a|k)) > 1.

⇐). Es el lema 3.22.

Lema 3.27 Para todo a ∈ ℭ^{n} y todo k, mult(a|k) = 1 si y sólo si k_{ins} es algebraicamente cerrado en k(a)_{ins}.

Prueba. ⇐). Sea V el menor k-cerrado tal que a ∈ V (por lo tanto, a es punto genérico de V sobre k). Por la observación 3.26, basta demostrar que V es irreducible:

Sea V = W_{1} … ∪ W_{l} la descomposición en componentes irreducibles; cada W_{i} está definida sobre acl(k) y RM(V) = RM(W_{i}) = RM(a|k). Si a ∈ W_{i}, entonces p = tp(a|acl(k)) es el tipo genérico de W_{i} sobre acl(k). Así, si a ∈ W_{i} ∩ W_{j}, por 3.22, W_{i} = \overline{p(ℭ)} = W_{j}. Por lo tanto, existe una única componente que incluye a a. Llamemosla W y sea e ∈ ℭ^{n} su parámetro canónico. Tenemos:

e ∈ dcl(k(a)) = k(a)_{ins}: para todo f ∈ Aut_{k(a)}(ℭ), f(a) = a; luego f(W) = W (porque W es la única componente que incluye a a) y por tanto f(e) = e.

e ∈ acl(k): visto en 3.23.

Aplicando la hipótesis, tenemos que e ∈ dcl(k). De aquí se deduce que W es un k-cerrado y por lo tanto V = W.

⇒). En busca de contradicción, supongamos que existe e ∈ acl(k)∩dcl(k(a)) y e ∉ dcl(k). Sean {e_{1} = e, …, e_{n}} los k-conjugados de e y f ∈ Aut_{k}(ℭ) tal que f(e) = e_{2}. Veamos que p_{1} = tp(a|k(e_{1}e_{2})) y p_{2} = tp(f(a)|k(e_{1}e_{2})) son dos extensiones diferentes del mismo rango:

Como k(e_{1}e_{2}) ⊆ acl(k), RM(p_{i}) = RM(p).

p_{2} ↾ k = p.

p_{1} ≠ p_{2}: en caso contrario, habría un automorfismo g ∈ Aut_{k(e_{1}e_{2}}(ℭ) tal que g(a) = f(a), es decir, g^{−1}f(a) = a. Como e ∈ dcl(k(a)), g^{−1}f(e) = e; luego e_{2} = f(e) = g(e) = e. Contradicción.

Corolario 3.28 Sea V un k-cerrado k-irreducible y sea a ∈ V un genérico de V sobre k. Entonces V es una variedad si y sólo si k_{ins} es algebraicamente cerrado en k(a)_{ins}.

Prueba. Inmediato a partir de los resultados anteriores.

Lema 3.29 Sea k ⊆ ℭ y A ⊆ k^{n}. Entonces V = \overline{A}, la adherencia de A en ℭ^{n}, es un k-cerrado.

Prueba. Como A ⊆ V, para todo f ∈ Aut_{k}(ℭ), A = f(A) ⊆ f(V); por lo tanto V ⊆ f(V). Obviamente, también tenemos V ⊆ f^{−1}(V), es decir, f(V) ⊆ V. Por lo tanto, f(V) = V, para todo f ∈ Aut_{k}(ℭ). Así, V es k-definible. Del lema 3.19, deducimos que es un k-cerrado.

4. Cuerpos pseudofinitos

Definición 4.1 Un cuerpo k es pseudofinito si cumple las tres propiedades siguientes:

1. k es perfecto.

2. Para cada n ∈ ω, k tiene exactamente una extensión algebraica de grado n.

3. Toda variedad V definida sobre k tiene un punto k-racional (un punto con todas las coordenadas en k).

Observaciones 4.1 1. Los cuerpos que cumplen la tercera propiedad se llaman cuerpos pseudoalgebraicamente cerrados (PAC). No tienen porque ser algebraicamente cerrados (obsérvese que los únicos polinomios en una variable que definen una variedad son los lineales).

2. Por supuesto, los cuerpos algebraicamente cerrados son PAC.

3. Los cuerpos finitos satisfacen las propiedades 1 y 2. No pueden satisfacer la tercera: si F_{q} es el cuerpo finito de q elementos, la variedad V ⊆ ℭ^{q+2} definida por la ecuación

Y ∗ ∏_{0≤i<j≤q}(X_{i} − X_{j}) − 1 = 0

no puede tener soluciones en F_{q}.

El siguiente lema nos dice que si k es PAC, entonces para toda variedad V definida sobre k, V ∩ k^{n} no sólo no es vacío, sino que en cierto sentido es ”grande”:

Lema 4.2 Sea V ⊆ ℭ^{n} una variedad definida sobre un cuerpo k PAC. Entonces V ∩ k^{n} es denso en V respecto a la topología de los k-cerrados.

Prueba. Sea a = (a_{1}, …, a_{n}) un punto genérico de V sobre k y sea W = V (g_{1}, …, g_{l}) un k-cerrado que no contiene a V. Existe g_{i} tal que g_{i}(a) ≠ 0. Sea b tal que b ∗ g_{i}(a) = 1 y consideremos el mínimo k-cerrado Z ⊆ ℭ^{n+1} con punto genérico (a, b). El hecho de que V sea una variedad implica, por 3.27 que k_{ins} es algebraicamente cerrado en k(a)_{ins}. Como k(a, b) = k(a), Z es una variedad definida sobre k. Como k es PAC, existe un punto (a′, b′) ∈ k^{n+1} tal que b′ ∗g_{i}(a′) = 1; en particular g_{i}(a′) ≠ 0. Al ser a′ una k-especialización de a, a′ ∈ V. Por lo tanto, V ∩ k^{n} ⊈ W. Al ser W arbitrario, hemos demostrado que V ∩ k^{n} es denso en V.

P sf será la teoría de los cuerpos pseudofinitos ,es decir, la teoría axiomatizada por las tres propiedades que caracterizan a los cuerpos pseudofinitos.

Observemos brevemente que estas propiedades pueden ser expresadas en primer orden:

Es evidente que el hecho de ser un cuerpo perfecto es expresable.

Para la propiedad 3, los resultados sobre acotaciones en los grados de los polinomios de [4], nos permiten enunciar el siguiente teorema:

Fijados r, n, e enteros positivos y M(n, e) el conjunto de monomios de grado menor o igual que e en n variables, existe una fórmula β(x_{1}, …, x_{r}) con x_{i} = (x_{im})_{m∈M(n,e)} tal que para todo cuerpo K, si f_{i} = ∑_{m∈M(n,e)} a_{im}m ∈ K[\overline{X}], entonces (f_{1}, …, f_{r}) es un ideal primo si y sólo si K ⊧ β(\overline{a_{1}}, …, \overline{a_{r}}).

Como ACF_{p} elimina cuantificadores, existe una fórmula β_{0} sin cuantificadores equivalente a β módulo ACF_{p}. Así, si F es un cuerpo cualquiera contenido en K algebraicamente cerrado y si tomamos f_{i} = ∑_{m∈M(n,e)} a_{im}m ∈ F [\overline{X}], entonces el ideal I de K[\overline{X}] cumple que

I es un ideal primo ⇔ K ⊧ β_{0}(\overline{a_{1}}, …, \overline{a_{r}}) ⇔ F ⊧ β_{0}(\overline{a_{1}}, …, \overline{a_{r}})

Con todo lo anterior,se ve que, para cada (n, e, m), se puede expresar en primer orden: ”para todo f_{1}, …, f_{m} ∈ F [\overline{X}] de grado ≤ e, si el ideal engendrado por los f_{i} en F̃[\overline{X}] es primo, entonces ∃x(⋀_{i} f_{i}(x) = 0)”.

Respecto a la propiedad 2, fijemos un entero n. Existe una fórmula Irred(\overline{x}) en n variables que es satisfecha exactamente por las tuplas \overline{a} de coeficientes de polinomios irreducibles de F.

Utilizaremos el siguiente resultado:

A toda fórmula θ(\overline{y}), \overline{y} = y_{1}, …, y_{m} se le puede asociar una fórmula θ^{∗}(\overline{x}, \overline{y}), \overline{x} = x_{1}, …, x_{m}, tal que para todo cuerpo F y n-tupla \overline{a} de F, si el polinomio f(X) = X^{n} + a_{1}X^{n−1} + … + a_{n} es irreducible sobre F, entonces para toda m-tupla \overline{b},

F (X/f(X))) ⊧ θ(\overline{b}) ⇔ F ⊧ θ^{∗}(\overline{a}, \overline{b})

Apliquemos este resultado a la fórmula θ(\overline{y}) = ∃z(z^{n} + y_{1}z^{n−1} + … + y_{n}), y consideremos la sentencia

∃x(Irred(\overline{x}) ∧ ∀y(Irred(\overline{y}) → θ^{∗}(\overline{x}, \overline{y}))).

Un cuerpo satisfaciendo este enunciado tiene exactamente una extensión de grado n.

Teorema 4.3 (Lang-Weil) Dados m, n, e enteros positivos, existe una constante C = C(m, n, e) tal que para todo cuerpo finito F = F_{q} y polinomios f_{1}(X), …, f_{m}(X) en n variables de grado más pequeño o igual a e, si los polinomios generan el ideal de una variedad V de dimensión d, entonces

|card(V ∩ F^{n}) − q^{d}| < Cq^{d−1/2}.

Observemos que si q > C^{2}, V ∩ F^{n} no es vacío, pues

0 < −Cq^{d−1/2} + q^{2} < card(V ∩ F^{n})

Teorema 4.4 Los modelos infinitos de la teoría T_{f} de todos los cuerpos finitos son cuerpos pseudofinitos.

Prueba. Ya hemos visto que los modelos finitos cumplen las propiedades 1 y 2. Respecto a 3, del teorema de Lang-Weil se obtiene que los cuerpos finitos cumplen la siguiente propiedad: ”si f_{1}, …, f_{n} generan el ideal de una variedad y si existen al menos C^{2} + 1 elementos distintos, entonces existe un cero común de los polinomios f_{i}”. Por lo tanto, un modelo infinito de T_{f} es PAC.

A partir del teorema anterior podemos dar algunos ejemplos de cuerpos pseudofinitos. El primero de ellos es algo artificial: dado un ultrafiltro U sobre el conjunto de los números primos P, el ultraproducto ∏_{p∈P} F_{p}/U es un modelo infinito de la teoría de los cuerpos finitos; por lo tanto, es un cuerpo pseudofinito.

El siguiente ejemplo es más interesante: dado un primo p, estudiemos que extensiones algebraicas F de F_{p} son cuerpos pseudofinitos. Sabemos que una condición necesaria es la infinitud. Por otra parte, toda extensión algebraica de un cuerpo perfecto (como es F_{p}) es perfecta. Por lo tanto dado F ⊆ F̃_{p} infinito, hay que estudiar en que condiciones F tiene una única extensión algebraica n para cada n. Para ello introduzcamos una definicón: un supernatural n es una expresión formal n = ∏_{q∈P} q^{n(q)} donde P es el conjunto de los números primos y 0 ≤ n(q) ≤ ∞. Dado un supernatural, el soporte de n, sop(n), serán los q ∈ P tales que n(q) ≠ 0. Observemos que los naturales son supernaturales con soporte finito y tales n(q) ≠ ∞ para todo q ∈ P.

Como F̃_{p} = ⋃_{m∈ℕ} F_{p^{m}}, existe una biyección entre los supernaturales y las extensiones algebraicas de F_{p}: a un supernatural n le corresponde el cuerpo F_{n} = ∏_{q} F_{p^{q^{n(q)}}} , el cuerpo composición de los F_{p^{q^{n(q)}}} , donde F_{p^{q^{∞}}} = ⋃_{m∈ℕ} F_{p^{q^{m}}}. Obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 4.5 Dado un supernatural n, F_{n} es pseudofinito si y sólo si sop(n) = ∞ y n(q) ≠ ∞ para todo q ∈ P.

Prueba.⇐). Si n cumple las hipótesis, entonces claramente F_{n} es un cuerpo infinito, por lo que sólo hay que comprobar que tiene una única extensión de grado r para cada r.

Sea r = q_{1}^{r_{1}} … q_{k}^{r_{k}} y consideremos el cuerpo F_{m} = ∏_{q} F_{p^{q^{m(q)}}} tal que m(q_{i}) = n(q_{i}) + r_{i} para i ≤ k y m(q_{i}) = n(q_{i}) para i > k. Entonces [F_{m} : F_{n}]=r. Para verlo, introduzcamos, para un primo l, la notación F_{n}^{l} = ∏_{q≤l} F_{p^{q^{n(q)}}} . Así, resulta inmediato que para todo l ≥ q_{k}, [F_{m}^{l} : F_{n}^{l}]=r, de lo que se deduce el resultado (observando que F_{n} = ⋃_{l} F_{n}^{l}).

Para ver la unicidad de la extensión, observemos que si hubiera dos extensiones distintas del mismo grado, ellas darían lugar a dos extensiones distintas del mismo grado de un cuerpo finito, lo que es imposible.

⇒). Supongamos que existe q ∈ P tal que n(q) = ∞. Para facilitar la notación, supongamos que q = q_{1}. Veamos que F_{n} no tiene una extensión algebraica de grado q_{1}: si la tuviera, sea a un elemento algebraico de grado q_{1} sobre F_{n} y consideremos el polinomio mínimo f(X) ∈ F_{n}[X] de a. De hecho, este polinomio tiene coeficientes en un cuerpo finito F_{p^{q{n_{1} \atop 1}}} … F_{p^{q{n_{l} \atop l}}} tal que n_{i} ≤ n(q_{i}). Pero entonces a ∈ F_{p^{q{n_{1}+1 \atop 1}}} … F_{p^{q{n_{l} \atop l}}} ⊆ F_{n}.

Para el otro caso, si el soporte es finito y n(q) ≠ ∞ para todo q ∈ P, entonces F_{n} es un cuerpo finito y por lo tanto no puede ser pseudofinito.

Ahora nos dedicaremos a estudiar las completaciones de la teoría P sf. Necesitaremos los siguientes resultados:

Lema 4.6 Sean K y L cuerpos perfectos.

1. Si K tiene como máximo una extensión de grado n para cada n ∈ ω, entonces toda extensión algebraica finita es de Galois, y su grupo de Galois es cíclico.

2. Las condiciones siguientes son equivalentes:

i) Para todo n, K tiene exactamente una extensión de grado n.

ii) Gal(K̃|K) ≅ Ẑ.

Estas condiciones implican en particular que toda extensión de Galois finita de K tiene un grupo de Galois cíclico.

3. Sea σ ∈ Gal(K̃|K). Las condiciones siguientes son equivalentes:

i) \overline{< σ >} = Gal(K̃|K). ii) Para toda extensión de Galois finita E de K, < σ ↾ E >= Gal(E|K).

iii) El subcuerpo de K̃ fijado por σ es K.

Un elemento σ con estas propiedades se llama generador topólogico del grupo profinito Gal(K̃|K). En estas condiciones, hay como máximo una extensión de grado n para cada n.

4. Supongamos que K satisface una de las condiciones equivalentes de 2, que σ es un generador topológico de Gal(K̃|K) y que K es algebraicamente cerrado en L (i.e., K̃ ∩ L = K). Sea τ ∈ Gal(L̃|L) un elemento extendiendo σ y M el subcuerpo de L̃ fijado por τ.

Entonces τ es un generador topológico de Gal(L̃|M); K es algebraicamente cerrado en M; si K_{n} es la única extensión de K de grado n, entonces K_{n}M es la única extensión de M de grado n (por lo tanto, K̃M = M̃). Además, la aplicación de restricción Gal(L̃|M) ⟶ Gal(K̃|K) es un isomorfismo continuo.

Prueba. 1. Probemos primero que toda extensión finita de Galois es cíclica. Este hecho se basa en el siguiente resultado:

Sea G un grupo finito tal que tiene como máximo un subgrupo de orden m para cada m dividiendo el orden de G. Entonces G es cíclico.

Demostrémoslo por inducción sobre el orden de G. Si |G| es primo, el resultado es obvio. Observemos que la hipótesis de unicidad implica que todo subgrupo H es normal (pues para todo a ∈ G, aHa^{−1} es un subgrupo del mismo orden que H, por lo que aHa^{−1} = H).

Sea pues un primo p diviendo el orden de G y tomemos un elemento a ∈ G de orden p. Por hipótesis de inducción, existe un b que genera a G/ < a >. Como {1} ⊆< a > ∩ < b >⊆< a > y el orden de < a > es primo, tenemos dos opciones:

< a >⊆< b >, con lo que G es cíclico.

< a > ∩ < b >= {1}; de aquí se deduce que G =< a > × < b >. Como G sólo tiene un subgrupo de orden p, p no divide el orden de < b >; por lo tanto, G es cíclico.

Sea ahora E una extensión finita cualquiera de K. Tomemos F la mńima extensión de Galois de E. Por lo visto, en la primera parte, Gal(F |K) es cíclico. Por lo tanto, Gal(F |E) es un subgrupo normal de Gal(F |K); entonces la dualidad de Galois nos permite concluir que E es una extensión normal de K y por lo tanto de Galois.

2. i) ⇒ ii). Utizamos lo demsotrado en 1. Sea (σ_{E})_{E} una familia de generadores de Gal(E|K) para las E extensiones finitas y de Galois con la propiedad de que si E ⊆ E′, entonces σ_{E} ⊆ σ_{E′} y sea σ = ⋃_{E} σ_{E}. Definamos la aplicación

\begin{matrix}Θ : Gal(K̃|K) & ⟶ & Ẑ \\ ψ & ⟼ & (a_{n})_{n} \end{matrix}

que, dada la extensión E_{n} de grado n, asigna a ψ el único a_{n} ∈ ℤ/nℤ tal que ψ ↾ E_{n} = σ_{E_{n}}^{a_{n}}. Es inmediato comprobar que la aplicación así definida es un isomorfismo.

ii) ⇒ i). Por dualidad de Galois, las extensiones de grado n de K se corresponden con los subgrupos cerrados de índice n de Ẑ, pero Ẑ tiene para cada n un único subgrupo cerrado de índice n, nẐ.

3. i) ⇔ ii) Como los conjuntos de la forma π_{E}^{−1}(δ), con E extensión de Galois finita de K y δ ∈ Gal(E|K) forman una base de abiertos de G = Gal(K̃|K), tenemos que:

\overline{< σ >} = Gal(K̃|K) si y sólo si para todo abierto U de G, U∩ < σ >≠ ∅ si y sólo si π_{E}^{−1}(δ)∩ < σ >≠ ∅ para toda E de Galois finita y δ ∈ Gal(E|K) si y sólo si < σ ↾ E >= Gal(E|K).

ii) ⇔ iii) Supongamos ii) y sea a ∈ K̃ tal que σ(a) = a. Sea E una extensión finita de Galois a la que pertenece a: Como σ ↾ E genera Gal(E|K), por la teoría de Galois finita sabemos que a ∈ K. La otra dirección también se demuestra remitiéndose a la teoría de Galois finita.

Respecto a la última afirmación, si E y F fueran extensiones de grado n de K, por lo visto tendríamos que σ^{n} ↾ E = Id ↾ E, σ^{n} ↾ F = Id ↾ F. Así, σ^{n} ↾ EF = Id ↾ EF; por lo tanto σ ↾ EF es un elemento de orden n que genera Gal(EF |K); así, [EF : K] = |Gal(EF |K)| = n implica que E = EF = F.

4. Por 3., es inmediato que τ es un generador topológico de Gal(L̃|M). Para ver que K̃ ∩ M = K, sea a ∈ K̃ ∩ M; como τ extiende a σ, a = τ(a) = σ(a). Al ser σ un generador de Gal(K̃|K), a ∈ K.

Por los resultados previos, M tiene como máximo una extensión de grado n para cada n. Para ver que tiene exactamente una, observemos que si K_{n} es la única extensión de grado n de K, como K_{n} y M son linealmente disjuntos, [MK_{n} : M] = [K_{n} : K] = n. Ver que la aplicación de restricción es un isomorfismo no reviste más dificultades.

Lema 4.7 Sean k ⊆ ℭ un cuerpo perfecto PAC, a una tupla de ℭ^{n} y A ⊆ ℭ un conjunto numerable. Entonces:

1. Si k es relativamente algebraicamente cerrado en k(a) (i.e., k(a) ∩ k̃ = k), entonces existe un k-homomorfismo k[a] ⟶ k.

2. Si k es ℵ_{1}-saturado y relativamente algebraicamente cerrado en k(A), entonces existe un k-homomorfismo k[A] ⟶ k.

Prueba.1. Consideremos el ideal de k I(a|k) = {f ∈ k[X]|f(a) = 0}. Al ser k perfecto, la hipótesis implica que k(a) y k̃ son linealmente disjuntos sobre k. Por 5.2, V = V (I(a|k)) es una variedad definida sobre k. Como k es PAC, existe b ∈ V ∩ k^{n}. Por lo tanto tenemos un k-homomorfismo bien definido de k[a] en k que envía a a b.

2. Como A es numerable, I(A|k) está generado por I(A|k_{0}), con k_{0} ⊆ k numerable. Se trata ahora de aplicar el primer apartado y la ℵ_{1}-saturación de k.

Lema 4.8 Sean k ⊆ E, F cuerpos perfectos y supongamos que tenemos un k̃-isomorfismo ψ : Ẽ ⟶ F̃ tal que ψ(E) = F. Entonces la aplicación

\begin{matrix}Ψ : Gal(Ẽ|E) & ⟶ & Gal(F̃|F) \\ σ & ⟼ & ψ ∘ σ ∘ ψ^{−1} \end{matrix}

es un isomorfismo cumpliendo Ψ(σ) ↾ k̃ = σ ↾ k̃.

Prueba. Inmediato.

Lema 4.9 (Lema de inmersión) Sea K un subcuerpo de E y F. Supongamos que K, E y F son perfectos, K es relativamente algebraicamente cerrado en E y en F, E es numerable y F es un cuerpo pseudofinito ℵ_{1}-saturado. Supongamos también que tenemos un isomorfismo continuo ϕ : Gal(F̃|F) ⟶ Gal(Ẽ|E) tal que para todo σ ∈ Gal(F̃|F), ϕ(σ) ↾ K̃ = σ ↾ K̃.

Entonces existe una inmersión φ : Ẽ ⟶ F̃ que es la identidad sobre K̃, φ(E) ⊆ F y satisface: para todo a ∈ Ẽ y todo σ ∈ Gal(F̃|F),

φ(ϕ(σ)(a)) = σ(φ(a)).

Además F es una extensión regular de φ(E).

Prueba. Veamos en primer lugar que podemos suponer que Ẽ y F̃ son linealmente disjuntos sobre K̃:

Sea (t_{i})_{i∈I} una base de trascendencia de E sobre K y tomemos (u_{i})_{i∈I} elementos algebraicamente independientes sobre F (en ℭ). Tenemos que Ẽ = { \atop K(t_{i})}. La aplicación ψ_{0} : K̃(t_{i}) ⟶ K̃(u_{i}) que envía los t_{i} a los u_{i}se puede extender a un ˜(K)-isomorfismo ψ de Ẽ a { \atop K(u_{i})}. Llamemos E′ a ψ(E). Como Ẽ′ = { \atop K(u_{i})} y F̃ son libres sobre K̃, por 5.3 son linealmente independientes sobre K̃. Si definimos Ψ como en 4.8, es inmediato verificar que ϕ′ = Ψ ∘ ϕ cumple las mismas condiciones que ϕ. Así, una vez obtenida la K̃-inmersión φ′ de Ẽ′ en F̃, la inmersión buscada será φ = φ′ ∘ ψ.

Por lo tanto, podemos suponer que Ẽ y F̃ son linealmente disjuntos sobre K̃. Esto implica que ẼF̃ es isomorfo al cuerpo de fracciones de Ẽ ⨂K̃ F̃. Sea σ_{0} un generador topológico de Gal(F̃|F) y definamos τ_{0} ∈ Gal(ẼF̃|EF) de la manera siguiente: para a ∈ Ẽ y b ∈ F̃,

τ_{0}(a ⊗ b) = ϕ(σ_{0})(a) ⊗ σ_{0}(b)

y prolongamos de la única manera posible a ẼF̃. Observemos que τ_{0} prolonga σ_{0} y ϕ(σ_{0}) y que el hecho de que σ_{0} y ϕ(σ_{0}) tengan la misma acción sobre K̃ asegura que τ_{0} esté bien definido.

Sea ahora τ una extensión de τ_{0} en Gal(ẼF|EF) y consideremos M el cuerpo fijado por τ. Tenemos los siguientes hechos:

E es relativamente algebraicamente cerrado en M (Ẽ ∩ M = E): si a ∈ Ẽ ∩ M, ϕ(σ_{0})(a) = τ(a) = a; por lo tanto a ∈ Ẽ^{ϕ(σ_{0})} = E, siendo la última igualdad debida a que ϕ(σ_{0}) es un generador topológico de Gal(Ẽ|E).

F es relativamente algebraicamente cerrado en M: se demuestra análogamente al punto anterior.

M̃ = ẼF: obvio.

M̃ = ẼM: la inclusión de derecha a izquierda es inmediata. Para la otra inclusión, sea a ∈ M̃ y sea n = [M(a) : M]. Consideremos E_{n} la extensión de E de grado n. Al ser E relativamente algebraicamente cerrado en M, [E_{n}M : M] = n; como M tiene una única extensión de grado n, M(a) = E_{n}M ⊆ ẼM.

M̃ = F̃M:Análogo a la demostración anterior.

Como M̃ es algebraico sobre M, el cuerpo F̃M es igual al anillo M[F̃] = F̃[M]. Por lo tanto, para cada a ∈ Ẽ, a = ∑ b_{a,i}c_{a,i} con b_{a,i} ∈ M y c_{a,i} ∈ F̃. Consideremos el conjunto numerable M_{0} = E ∪ {b_{a,i}|a ∈ Ẽ}; así, Ẽ ⊆ F̃[M_{0}].

Como F [M_{0}] ⊆ M, F [M_{0}] es una extensión regular de F. Aplicando 4.7, existe un F - homomorfismo φ_{0} : F [M_{0}] ⟶ F que se extiende a un F̃-homomorfismo φ : F̃[M_{0}] ⟶ F̃ (pues I(M_{0}|F̃) está engendrado por I(M_{0}|F)). Veamos que la restricción de φ a Ẽ es la inmersión buscada:

φ fija K̃.

ker(φ) ∩ Ẽ es un ideal propio de Ẽ, es decir, el ideal (0). Por lo tanto, φ es una inmersión.

Si a ∈ Ẽ, tenemos que

φ(a) = ∑ φ(b_{a,i})c_{a,i}

de lo que se obtiene

τ(φ(a)) = σ_{0}(φ(a)) = ∑ φ(b_{a,i})σ_{0}(c_{a,i})

ya que σ_{0} es la identidad sobre φ(M_{0}) ⊆ F. Por otro lado,

ϕ(σ_{0})(a) = τ(a) = ∑ b_{a,i}σ_{0}(c_{a,i})

y

φ(ϕ(σ_{0})(a)) = ∑ φ(b_{a,i})σ_{0}(c_{a,i})

debido a que φ es un F̃-homomorfismo. Por lo tanto

φ(ϕ(σ_{0})(a)) = σ_{0}(φ(a)).

Para ver la última igualdad para un σ ∈ Gal(F̃|F) cualquiera, consideremos, dado a ∈ Ẽ, el conjunto H_{a} = {σ ∈ Gal(F̃|F)|φ(ϕ(σ)(a)) = σ(φ(a))}. Se trata de ver que H_{a} es un cerrado de Gal(F̃|F) (pues como < σ_{0} >⊆ H_{a}, \overline{< σ_{0} >} ⊆ \overline{H_{a}} = H_{a}):

Sea σ ∈ \overline{H_{a}}; debemos probar que σ ∈ H_{a}. Si [E(a) : E] = n, E(a) = E_{n} es la única extensión algebraica de grado n de E; igualmente si [F (φ(a)) : F]=m, F (φ(a)) = F_{m} es la única extensión algebraica de grado m de F. Tenemos entonces que a ∈ E_{nm} (donde E_{nm} es la extensión de E de grado nm) y φ(a) ∈ F_{nm}. Si G_{nm} = Gal(F̃|F_{nm}), por hipótesis σG_{nm} ∩ H_{a} ≠ ∅; por lo tanto, existe χ ∈ G_{nm} tal que σχ ∈ H_{a}. Así:

φ(ϕ(σ)(a)) = φ(ϕ(σχ)(a)) = σχ(φ(a)) = σ(φ(a))

donde la primera igualdad es debida a que ϕ(χ) ∈ ϕ(G_{nm}) = Gal(Ẽ|E_{nm})-ya que este es el único subgrupo cerrado de índice nm-. φ(E) = φ_{0}(E) ⊆ F. Comprobemos que φ(Ẽ) ∩ F = φ(E): si a ∈ Ẽ, φ(a) ∈ F si y sólo si σ(φ(a)) = φ(a) si y sólo si φ(ϕ(σ)(a)) = φ(a) si y sólo si ϕ(σ)(a) = a si y sólo si a ∈ E; (la primera y la última equivalencia son debidas a que σ y ϕ(σ) generan sus respectivos grupos de Galois; la segunda equivalencia proviene de la igualdad φ(ϕ(σ)(a)) = σ(φ(a)); y la tercera simplemente es debida a la inyectividad de φ).

Corolario 4.10 Sea K_{1} un subcuerpo de E y K_{2} un subcuerpo de F. Supongamos que K_{1}, K_{2}, E y F son perfectos, K_{1} es relativamente algebraicamente cerrado en E y K_{2} es relativamente algebraicamente cerrado en F, E es numerable y F es un cuerpo pseudofinito ℵ_{1}-saturado. Supongamos también que tenemos un isomorfismo continuo ϕ : Gal(F̃|F) ⟶ Gal(Ẽ|E) y un isomorfismo φ_{0} : K̃_{1} ⟶ K̃_{2} tal que para todo a ∈ K̃_{1} y σ ∈ Gal(F̃|F), φ_{0}(ϕ(σ)(a)) = σ(φ_{0}(a)).

Entonces existe una inmersión φ : Ẽ ⟶ F̃ que extiende φ_{0}, φ(E) ⊆ F y satisface: para todo a ∈ Ẽ y todo σ ∈ Gal(F̃|F),

φ(ϕ(σ)(a)) = σ(φ(a)).

Además F es una extensión regular de φ(E).

Prueba. Extendemos φ_{0} a un isomorfismo θ definido sobre Ẽ. Aplicamos 4.9 a K_{2}, θ(E) y F y componemos la inmersión obtenida con θ.

Pasemos al teorema central de este tema:

Teorema 4.11 Sean E y F cuerpos pseudofinitos que incluyen al subcuerpo K. Entonces:

E ≡_{K} F si y sólo si E ∩ K̃ ≅_{K} F ∩ K̃

Prueba.⇒) Como E ≡_{K} F implica que E ≡_{K_{ins}} F, podemos suponer que K es perfecto. Por hipótesis tenemos que

E ⊧ ∃x(f(x) = 0) si y sólo si F ⊧ ∃x(f(x) = 0)

para todo polinomio de K[X].

Sea L una extensión de K normal y finita (y separable, pues estamos suponiendo que K es perfecto) y consideremos el conjunto S_{L} = {σ ∈ Gal(K̃|K)|σ(L∩E) = L∩F }. S_{L} es una reunión de clases del subgrupo Gal(K̃|L) (esto se ve escribiendo S_{L} = ⋃_{σ∈S_{L}} σGal(K̃|L)); por lo tanto, S_{L} es un cerrado. Demostremos que no es vacío: por el teorema del elemento primitivo, existe un elemento α tal que L ∩ E = K(α). Sea f(X) el polinomio mínimo de α sobre K y sea β ∈ F tal que f(β) = 0. Entonces [L ∩ E : K] = [K(β) : K] ≤ [L ∩ F : K]. Por simetría tenemos la otra desigualdad. Por lo tanto, [K(β) : K] = [L ∩ F : K]. Tomando σ ∈ Gal(K̃|K) tal que σ(α) = β se demuestra que S_{L} ≠ ∅.

Además, si L_{i} son extensiones finitas y normales de K, para i desde 1 hasta n, entonces ∅ ≠ S_{L_{1}...L_{n}} ⊆ S_{L_{1}} ∩ … ∩ S_{L_{n}}. Entonces, por compacidad ⋂_{L} S_{L} ≠ ∅, lo que demuestra que E ∩ K̃ ≅_{K} F ∩ K̃.

⇐) Empecemos substituyendo K por su clasura algebraica en E y F y supongamos que E ∩ K̃ = F ∩ K̃ = K. Por Lowenheim-Skolem, podemos primero suponer que las estructuras son numerables; entonces pasando a extensiones elementales, E y F pueden ser considerados ℵ_{1}-saturados. Nuestro objetivo es aplicar el lema de inmersión 4.9, por lo que hay que construir el isomorfismo ϕ entre los grupos de Galois.

Sea σ_{1} un generador topólogico de Gal(Ẽ|E) y sea σ_{0} = σ_{1} ↾ K̃. Por 4.6 σ_{0} es un generador de Gal(K̃|K); prolongemos σ_{0} a un generador de Gal(F̃|F): para cada extensión L finita de Galois de F, sea el conjunto S_{L} = {σ ∈ Gal(F̃|F)| < σ ↾ L >= Gal(L|F), σ ↾ L ∩ K̃ = σ_{0} ↾ L ∩ K̃}. Como en la demostración de la otra dirección, S_{L} es una reunión de clases del subgrupo Gal(F̃|L) y por tanto es un cerrado. Queda demostrar que no es vacío:

Los grupos Gal(L|F) y Gal(K̃ ∩ L|K) son cíclicos y la aplicación restricción es exhaustiva. Se trata pues de demostrar el siguiente resultado:

Dados grupos finitos cíclicos A y B, y un epimorfismo θ : A → B, la antiimagen de un generador de B es un generador de A.

La demostración es como sigue: como todo generador de un grupo cíclico proviene de generadores de sus p-componentes (componentes de orden una potencia de p primo), podemos suponer que A y B son grupos de orden una potencia de un primo p. Así, si b es un generador de B, tenemos que θ^{−1}(b) = a^{j}, con a un generador de A. Como b = θ(a^{j}) = θ(a)^{j} genera B, j debe ser primo con p, por lo que a^{j} también genera A.

Hemos visto que los S_{L} son no vacíos. Si L_{i} son extensiones finitas y de Galois de F, para i desde 1 hasta n, entonces ∅ ≠ S_{L_{1}...L_{n}} ⊆ S_{L_{1}} ∩ … ∩ S_{L_{n}}. Entonces, por compacidad, existe σ_{2} ∈ ⋂_{L} S_{L} ≠ ∅; por 4.6, σ_{2} es un generador topólogico de Gal(F̃|F) que extiende a σ_{0}.

Así, la aplicación que envía σ_{1} a σ_{2} se extiende de manera única a un isomorfismo ϕ : Gal(Ẽ|E) ⟶ Gal(F̃|F) tal que para todo σ ∈ Gal(Ẽ|E), ϕ(σ) ↾ K̃ = σ ↾ K̃.

Sea E_{0} una estructura numerable que contiene a K y que E_{0} ≺ E. De estas hipótesis se obtiene que E_{0} es algebraicamente cerrado en E y que Ẽ_{0}E = Ẽ. Entonces el homomorfismo de restricción Gal(Ẽ|E) ⟶ Gal(Ẽ_{0}|E_{0}) es un isomorfismo. Así, ϕ induce un isomorfismo ϕ_{0} : Gal(Ẽ_{0}|E_{0}) ⟶ Gal(F̃|F).

Aplicando 4.9, se obtiene una K̃-inmersión φ_{0} : Ẽ_{0} ⟶ F̃ tal que F es una extensión regular de φ_{0}(E_{0}) y tal que para todo a ∈ Ẽ_{0} y σ ∈ Gal(F̃|F), φ_{0}(ϕ_{0}^{−1}(σ)(a)) = σ(φ_{0}(a)).

Sea F_{0} una estructura numerable que contiene a φ_{0}(E_{0}) y que F_{0} ≺ F. Existe un isomorfismo Ψ_{0} : Gal(Ẽ|E) ⟶ Gal(F̃_{0}|F_{0}). Otra vez por 4.9 (o más bien por su corolario), existe una K̃-inmersión ψ_{0} : F̃_{0} ⟶ Ẽ que extiende a φ_{0}^{−1}; E es una extensión regular de ψ_{0}(F_{0}) y para todo a ∈ F̃_{0} y σ ∈ Gal(Ẽ|E), ψ_{0}(Ψ_{0}(σ)(a)) = σ(ψ_{0}(a)).

Iterando esta construcción, obtenemos familias de isomorfismos parciales φ_{i} y ψ_{i} para i ∈ ω tales que:

1. El dominio de φ_{i} es la clausura algebraica de una subestructura elemental E_{i} de E conteniendo ψ_{i−1}(F_{i−1}).

2. El dominio de ψ_{i} es la clausura algebraica de una subestructura elemental F_{i} de F conteniendo φ_{i}(E_{i}).

3. φ_{i} extiende a ψ_{i−1}^{−1} y ψ_{i} extiende a φ_{i}^{−1}.

Si denotamos E_{ω} = ⋃ E_{i}, F_{ω} = ⋃ F_{i} y φ_{ω} = ⋃ φ_{i} tenemos que: E_{ω} ≺ E, F_{ω} ≺ F y φ_{ω} define un isomorfismo de Ẽ_{ω} en F̃_{ω} tal que φ_{ω}(E_{ω}) = F_{ω}. Así, E_{ω} ≡_{K} F_{ω} y por lo tanto E ≡_{K} F.

Teorema 4.12 Sean E y F dos cuerpos pseudofinitos de la misma característica y k su cuerpo primo. Entonces:

1.

E ≡ F si y sólo si E ∩ k̃ ≅ F ∩ k̃

2. La teoría P sf ∪ {∃x(f(x) = 0)|f(x) ∈ ℤ, E ⊧ ∃x(f(x) = 0)} ∪ {∀x(f(x) ≠ 0)|f(x) ∈ ℤ, E ⊧ ∀x(f(x) ≠ 0)} es completa.

3. Dada una sentencia φ, existe una ψ combinación boolean de sentencias de la forma ∃x(f(x) = 0) con f(x) ∈ ℤ tal que

P sf ⊢ (φ ↔ ψ)

Prueba. 1. y 2. son inmediatos a partir de 4.11. Para ver 3., se utiliza el siguiente resultado clásico.

Teorema 4.13 Sean T_{1} y T_{2} dos teorías tales que T_{1}∪T_{2} es consistente y sea Δ un conjunto de fórmulas cerrado bajo disyunción. Son equivalentes:

1. Existe Γ ⊆ Δ tal que T_{1} ∪ Γ axiomatiza T_{1} ∪ T_{2}.

2. Para todos los modelos M, N ⊧ T_{1}, si M ⊧ T_{2} y N satisface todas las fórmulas de Δ satisfechas por M, entonces N ⊧ T_{2}.

Prueba. 1) ⇒ 2)Obvio.

2) ⇒ 1) Sea Γ = {ψ ∈ Δ|T_{1} ∪ T_{2} ⊢ ψ}. Basta mostrar que T_{1} ∪ Γ ⊢ T_{2}. Sea N ⊧ T_{1} ∪ Γ y consideremos

Σ = {¬ψ|ψ ∈ Δ, N ⊧ ¬ψ}.

Se ve fácilmente que T_{1} ∪ T_{2} ∪ Σ es consistente. Tomemos un modelo M suyo; entonces si ψ ∈ Δ es satisfecho en M, ¬ψ ∉ Σ, por lo que N ⊧ ψ. Por hipótesis, N ⊧ T_{2}.

Corolario 4.14 Sea T una teoría, φ(x) una fórmula tal que T ∪ ∃xφ(x) es consistente y sea Δ un conjunto de fórmulas cerrado bajo disyunción. Son equivalentes:

1. Existen ψ_{1}(x), …, ψ_{n}(x) ∈ Δ tales que

T ⊢ ∀x(φ(x) ↔ (ψ_{1}(x) ∧ … ∧ ψ_{n}(x)))

2. Para todos los modelos M, N ⊧ T, y tuplas a ∈ M y b ∈ N, si M ⊧ φ(a) y toda fórmula en Δ satisfecha por a en M es satisfecha por b en N, entonces N ⊧ φ(b).

Prueba. Inmediato a partir del teorema anterior.

Teorema 4.15 Sean E ⊆ F cuerpos pseudofinitos. Entonces:

E ≺ F si y sólo si Ẽ ∩ F = E

Prueba. Se aplica 4.11 con K = E.

Hemos visto que los modelos infinitos de la teoría de cuerpos finitos son cuerpos pseudofinitos. En el siguiente teorema mostraremos el recíproco.

Teorema 4.16 Todo cuerpo pseudofinito es un modelo de la teoría T_{f} de los cuerpos finitos. Además,todo cuerpo pseudofinito de característica 0 es elementalmente equivalente a un ultraproducto de cuerpos primos finitos.

Prueba. Nos limitaremos a dar la prueba para el caso de característica positiva, pues la demostración en característica cero requiere técnicas que no han sido desarrolladas en este trabajo.

Sea pues p primo. Dado un cuerpos pseudofinito F de característica p, para poder aplicar 4.12 debemos encontrar un ultraproducto E de cuerpos finitos tal que F̃_{p} ∩ F ≅ F̃_{p} ∩ E. Distingamos dos casos:

F̃_{p} ∩F es infinito. En este caso, podemos encontrar una secuencia creciente de cuerpos finitos (F_{n})_{n∈ω} tal que F̃_{p} ∩ F = ⋃_{n} F_{n}. Sea U un ultrafiltro no principal sobre ω y sea E = ∏_{n} F_{n}/U. Veamos que F̃_{p} ∩ E ≅ ⋃_{n} F_{n}.

Para ello, seguiremos la demostración de 4.11. Sólo hay que ver, por tanto, que dado un polinomio irreducible f ∈ F_{p}[X], E ⊧ ∃x(f(x) = 0) si y sólo si F ⊧ ∃x(f(x) = 0).

Supongamos que F ⊧ ∃x(f(x) = 0): existe a ∈ ⋃_{n} F_{n} tal que f(a) = 0. Como los F_{n} forman una sucesión creciente, existe n ∈ ω tal que para todo m ≥ n, F_{m} ⊧ ∃x(f(x) = 0). Por lo tanto,

{m ∈ ω|F_{m} ⊧ ∃x(f(x) = 0)} ∈ U

lo que nos da que E ⊧ ∃x(f(x) = 0).

Para la otra dirección, si E ⊧ ∃x(f(x) = 0), el conjunto Λ = {n ∈ ω|F_{n} ⊧ ∃x(f(x) = 0)} pertenece a U, por lo que no es vacío. Así un n ∈ Λ cumple que F_{n} ⊧ ∃x(f(x) = 0); por lo tanto F ⊧ ∃x(f(x) = 0).

F̃_{p} ∩ F = F_{0} es finito: si [F_{0} : F_{p}] = q_{1}^{l_{1}} … q_{n}^{l_{n}}, consideremos el conjunto infinito Q formado por los primos diferentes de q_{1}, …, q_{n}, un ultrafiltro no principal U sobre Q y el ultraproducto E = ∏_{q∈Q} F_{q}/U, donde F_{q} es la extensión de grado q de F_{0}. Se debe demostrar el mismo resultado que en el caso anterior. Sea f un polinomio irreducible con coeficientes en F_{p}

Si F ⊧ ∃x(f(x) = 0), existe a ∈ F_{0} que anula a f. Como F_{q} ⊇ F_{0} para todo q ∈ Q, {q|F_{q} ⊧ ∃x(f(x) = 0)} = Q ∈ U, lo que implica que E ⊧ ∃x(f(x) = 0).

Si ahora suponemos este último enunciado, debe ocurrir que el grado de f divida a q_{1}^{l_{1}} … q_{n}^{l_{n}}q para una infinidad de q ∈ Q y esto sólo es posible si el grado de f ya dividía a q_{1}^{l_{1}} … q_{n}^{l_{n}}. Por lo tanto, un cero de f esta en F_{0} ⊆ F; es decir, F ⊧ ∃x(f(x) = 0).

5. Apéndice. Resultados algebraicos.

En esta sección damos algunos resultados y definiciones que se han utilizado a lo largo del trabajo. La mayor parte de los resultados se dan sin demostración.

5.1. Teoría de cuerpos

Definición 5.1 Sean E y F dos cuerpos que contienen a un cuerpo común k. Diremos que E es linealmente disjunto de F sobre k si todo conjunto de elementos de A linealmente independiente sobre k sigue siéndolo sobre F.

Lema 5.1 1. Esta noción es simétrica: E es linealmente disjunto de F sobre k si y sólo si F es linealmente disjunto de E sobre k

2. E es linealmente disjunto de F sobre k si y sólo si el homomorfismo E ⨂_{k} F ⟶ E[F] es un isomorfismo.

3. Si E es una extensión de Galois de k, entonces E es linealmente disjunto de F sobre k si y sólo si E ∩ F = k.

Lema 5.2 Sea una tupla a ∈ ℭ y cuerpos F ⊆ E ⊆ ℭ. Entonces I(a|E) = {f ∈ E[X]|f(a) = 0} está generado por elementos de F [X] si y sólo si F (a) y E son linealmente disjuntos sobre F.

Prueba. ⇐).Supongamos que F (a) y E son linealmente disjuntos sobre F. Sea C una F -base del espacio vectorial E. Dado f(X) ∈ I(a|E) escribamos f(X) = ∑ c_{i}f_{i}(X), con c_{i} ∈ C y f_{i}(X) ∈ F [X]. Tenemos que

0 = f(a) = ∑ c_{i}f_{i}(a).

Así, como f_{i}(a) ∈ F (a) y C son F -linealmente independientes, por hipótesis también deben ser F (a)-linealmente independientes, es decir, f_{i}(a) = 0. Por lo tanto, f_{i}(X) ∈ I(a|F).

⇒). Supongamos que I(a|E) = EI(a|F) y demostremos que F [a] y E son linealmente disjuntos sobre F (obviamente es suficiente). Sean {M_{j}(X)|1 ≤ j ≤ n} monomios tales que M_{j}(a) son linealmente independientes sobre F. Veamos que siguen siéndolo sobre E.

Si tuvieramos una combinación ∑ b_{j}M_{j}(a) = 0, con los b_{j} ∈ E, por hipótesis existirían polinomios f_{i} ∈ I(a|F) F -linealmente independientes y c_{i} ∈ E tal que ∑ b_{j}M_{j}(X) = ∑ c_{i}f_{i}(X). Observemos que M_{j}(X) y f_{i}(X) deben ser linealmente independientes sobre F: si

∑ d_{j}M_{j}(X) + ∑ e_{i}f_{i}(X) = 0

con d_{j}, e_{i} ∈ F, entonces

∑ d_{j}M_{j}(a) + ∑ e_{i}f_{i}(a) = 0;

como ∑ e_{i}f_{i}(a) = 0 (pues f_{i} ∈ I(a|F)), ∑ d_{j}M_{j}(a) = 0; de aquí se deduce que d_{j} = 0 y por consiguiente también e_{i} = 0.

Hemos visto que M_{j}(X) y f_{i}(X) deben ser linealmente independientes sobre F; tratándose de polinomios formales, también deben serlo sobre E. Por lo tanto, b_{j} = 0.

Definición 5.2 Sean E y F dos cuerpos que contienen a un cuerpo común k. Diremos que E es libre de F sobre k si todo conjunto de elementos de A algebraicamente independiente sobre k sigue siéndolo sobre F. Esta noción también es simétrica.

Definición 5.3 Dados dos cuerpos F ⊆ E, diremos que E es una extensión regular de F si E y F̃ son linealmente disjuntos sobre F.

Lema 5.3 Sean E y F dos cuerpos que contienen a un cuerpo común k.

1. Si E es linealmente disjunto de F sobre k, entonces E es libre de F sobre k.

2. Si k = k̃, o si E es una extensión regular de k, entonces el recíproco de 1 también es cierto.

5.2. Teoría de Galois infinita

Como el grupo de Galois de una extensión infinita se puede interpretar naturalmente como el límite inverso de un sistema inverso de grupos topológicos, definamos primero estos conceptos.

Dado un orden parcial I, un sistema inverso de grupos topológicos sobre I es un conjunto (G_{i}, π_{i,j})_{i,j∈I} tal que para cada I ∈ I, G_{i} es un grupo topológico, y para cada i ≤ j, π_{i,j} es un epimorfismo continuo de G_{j} en G_{i} cumpliendo:

π_{i,i} = Id_{G_{i}}, para todo i ∈ I.

π_{i,j} ∘ π_{j,k} = π_{i,k}, para i ≤ j ≤ k.

Dado un sistema inverso (G_{i}, π_{i,j})_{i,j∈I}, su límite inverso (o proyectivo) es el subgrupo G de ∏_{i∈I} G_{i} definido por:

(g_{i})_{i∈I} ∈ G si y sólo si π_{i,j}(g_{j}) = g_{i} para todo i ≤ j.

Escribiremos G = lim_{i∈I}G_{i}.

Lema 5.4 Si los G_{i} son grupos finitos dotados de la topología discreta, entonces lim_{i∈I}G_{i} es un grupo topológico Hausdorff, compacto y cero-dimensional. A un grupo con estas propiedades se le llamará grupo profinito.

Un ejemplo importante de límite inverso es el grupo de Prüfer: para cada n ∈ ω, se toma ℤ/nℤ junto con los morfismos

\begin{matrix}π_{n,m} : ℤ/mℤ & ⟶ & ℤ/nℤ \\ x + nℤ & ⟼ & x + mℤ \end{matrix}

si n|m. Escribiremos Ẑ para referirnos a este límite inverso.

Pasemos a estudiar los grupos de Galois.Sea N una extensión de Galois de un cuerpo K. El grupo de Galois Gal(N|K) de esta extensión es el conjunto de todos los automorfismos de N que dejan fijos a K. A este grupo se le dota de una topología de manera estándar: sea L la colección de todos los extensiones intermedias finitas y de Galois K ⊆ L ⊆ N. Dados L, L′ ∈ L tales que L ⊆ L′, la aplicación restricción π : Gal(L′|K) → Gal(L|K) es exhaustiva. Por lo tanto, {Gal(L|K)|L ∈ L} con las aplicaciones restricción constituye un sistema inverso. Consideremos su límite inverso lim_{L∈L}Gal(L|K). Sabemos que, dotando a Gal(L|K) de la topologá discreta, es un grupo topológico compacto, Hausdorff y cerodimensional, es decir, un grupo profinito. La aplicación

\begin{matrix}φ : Gal(N|K) & ⟶ & lim_{L∈L}Gal(L|K) \\ σ & ⟼ & (σ ↾ L)_{L∈L} \end{matrix}

es un isomorfismo. Por lo tanto, la topología de lim_{L∈L}Gal(L|K) induce una topología en Gal(N|K), la topología de Krull. Los subgrupos {Gal(N|L)|L ∈ L} forman una base de entornos de abiertos-cerrados de Id.

Dado una extensión de Galois L ⊆ N cualquiera, L es la reunión de todas las extensiones finitas de Galois L_{i} que contienen a L. Por lo tanto, Gal(N|L) = ⋂_{i} Gal(N|L_{i}) es un cerrado de Gal(N|K). También existe una dualidad de Galois:

Lema 5.5 La aplicación L ⟼ Gal(N|L) establece una biyección entre las extensiones K ⊆ L ⊆ N y la familia de subgrupos cerrados de Gal(N|K). La inversa viene dada por H ⟼ N^{H} = {a ∈ N|σ(a) = a, para todo σ ∈ H}.

Corolario 5.6 Dado un subgrupo H de Gal(N|K), su adherencia es \overline{H} = Gal(N|N^{H}).

Referencias

[1] E. Bouscaren(Ed.) Model Theory and Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1998.

[2] Z. Chatzidakis Théorie des modéles des corps finis et pseudo-finis. Apuntes mecanografiados. 1996.

[3] C.C. Chang, H.J. Keisler. Model Theory. North-Holland Publishing.Co. 1990.

[4] L. van den Dries, K. Schmidt. Bounds in the theory of polynomial rings over fields. Invent.Mat,76 (1984) 77-91.

[5] M. Fried, M. Jarden. Field Arithmetic. Springer-Verlag. 1986.

[6] S. Lang. Algebra. Addison-Wesley Pub. Co. 1984.

[7] S. Lang Introduction to Algebraic Geometry. Addison-Wesley Pub. Co. 1973.

[8] D. Marker, M. Mesmer, A. Pillay. Model theory of fields. Springer-Verlag. 1996.