Teorías simples

Juan Fco Pons Universidad de Barcelona

1. Introducción

El presente trabajo se centra en el estudio de una clase de teorías llamadas simples. Esta clase de teorías incluye a la de teorías estables, además de a muchas otras, como la teoría del random graph, cuerpos pseudofinitos, cuerpos algebraicamente cerrados con un automorfismo genérico...

Durante muchos años, el interés en teoría de modelos se centró en el concepto de estabilidad en relación con el problema de contar el número de modelos (salvo isomorfía) de una teoría completa en un determinado cardinal κ. El primer resultado positivo se debió a M. Morley, quien demostró que si una teoría completa numerable es categórica (i.e., tiene un único modelo) para algún cardinal no numerable, entonces es categórica para cualquier otro cardinal no numerable. Para la demostración de este hecho tuvo que definir el concepto de ω-estabilidad: una teoría es ω-estable si |S_{1}(A)| ≤ ω para todo conjunto numerable de parámetros A. Ante este resultado, Shelah [16] se embarcó en la colosal tarea de clasificar los modelos de una teoría completa T: para T una teoría completa y κ un cardinal, se define I(κ, T) como el número de modelos de T de cardinalidad κ (salvo isomorfía); la intención de Shelah era determinar, al menos para teorías numerables, los posibles valores de I(−, T) restringido a cardinales no numerables. En el curso de este estudio, aisló la clase de teorías estables; si T es inestable, entonces I(κ, T) = 2^{κ} (es decir, el máximo) para todo κ ≥ ω_{1} + |T |. Por lo tanto, una teoría inestable se considera inclasificable. Así y todo, Shelah [17] intentó extender extender este fragmento definiendo lo que él llamó teorías simples. Estas teorías, sin embargo, no recibieron mucha atención debido al siguiente hecho: una de las nociones clave en estabilidad (y en simplicidad) es la de independencia: intuitivamente (la definición rigurosa será dada más adelante), dada una tupla a y conjuntos de párametos A ⊆ B, se dice que a es independiente de B sobre A, a | ⌣_{A} B, si no hay más relación entre a y B que la que había entre a y A. Casos particulares de esta noción son los de independencia lineal en álgebra lineal e independencia algebraica en teoría de cuerpos. Pues bien, Shelah no consiguió demostrar que en las teorías simples inestables la noción de independencia tenía un buen comportamiento.

Ha sido recientemente que B. Kim, en su tesis doctoral [9], ha conseguido demostrar que en las teorías simples la independencia cumple simetría y transitividad. Desde entonces, se ha producido un estudio exhaustivo de las teorías simples. En general, existe la impresón de que la simplicidad es el contexto adecuado en el que trabajar, relegando la estabilidad a un caso particular suyo.

El objetivo del presente trabajo es el de realizar un estudio detallado de las propiedades básicas de las teorías simples y de la noción de independencia. Se ha conseguido simplificar substancialmente muchas de las demostraciones de los resultados más importantes, así como reducir la dependencia de algunos teoremas centrales de conceptos secundarios, haciendo más accesible y más digerible el estudio de esta teoría.

En la sección 2, se definen los conceptos de división y bifurcación y se presentan algunos propiedades básicas de estas nociones independientemente de la teoría ambiente. También se define teoría simple y se dan presentaciones equivalentes. La sección 3 se dedica a demostrar que bajo la asunción de simplicidad, la independencia es simétrica y transitiva. También se demuestra que la simetría (y la transitividad) caracteriza a las teorías simples. En la sección 4 se introducen dos nuevas clases de tipos y se relacionan con determinados subgrupos de Aut(ℭ). En la sección 5 se demuestran los distintos teoremas de independencia. En particular, la presente demostración del teorema de independencia para tipos de Lascar se debe a Enrique Casanovas y supone una simplificación muy significativa respecto a cualquier demostración anterior. En la sección 6 se demuestra que una noción de independencia cumpliendo una determinada lista de propiedades debe ser exactamente la proveniente de la bifurcación. Las secciones 7 y 8 se dedican al estudio de determinadas subclases de las teorías simples: las teorías pequñas y las teorías bajas. Por último, la sección 9 supone una pequeña introducción a la estabilidad.

El tipo de a sobre A, tp(a|A), es el conjunto de fórmulas con parámetros en A que realiza a. Diremos que a y b son equivalentes sobre A, a ≡_{A} b, si tp(a|A) = tp(b|A). S_{I}(A) será el conjunto de tipos completos con parámetros en A y variables (x_{i}|i ∈ I). Dado un orden total I y un conjunto de parámetros A, una secuencia de tuplas (b_{i}|i ∈ I) es una secuencia A-indiscernible si para todo n ∈ ω y elementos b_{i_{1}}, …, b_{i_{n}}, el tipo tp(b_{i_{1}}, …, b_{i_{n}}|A) depende sólo del tipo de orden de (i_{1}, …, i_{n}).

Si tenemos una secuencia (a_{i}|i ∈ I), escribiremos a_{<i} para denotar la subtupla (a_{j}|j < i).

Utilizaremos la siguiente convención, ampliamente extendida: fijaremos un modelo saturado ℭ, el modelo monstruo, de cardinalidad superior a la de cualquier otro modelo en consideración. Los modelos de la teoría se supondran subestructuras elementales de ℭ. Los conjuntos de parámetros y las tuplas serán subconjuntos de ℭ. La siguiente propiedad será muy utilizada: dadas tuplas a, b (no necesariamente finitas) y un conjunto de parámetros A, se tiene que a ≡_{A} b si y sólo si existe un automorfismo f de ℭ que fija A y envía a a b. Aut_{A}(ℭ) serán los automorfismos de ℭ que fijan A elemento a elemento.

Diremos que a pertenece a la clausura algebraica de A, a ∈ acl(A), si existe una fórmula φ(x) con parámetros en A tal que a ⊧ φ y |φ(ℭ)| < ω. Igualmente, a pertenece a la clausura definible de A, a ∈ dcl(A), si existe una fórmula φ(x) con parámetros en A tal que φ(ℭ) = {a}. Estas dos nociones tienen una interpretación equivalente: a ∈ acl(A), (a ∈ dcl(A)) si y sólo si la órbita de a por los automorfismos de ℭ que fijan a A es finita (tiene un sólo punto).

Quiero agradecer la continua atención que Enrique Casanovas me ha dedicado. Sin él, la realización de este trabajo habría sido imposible. Huelga decir que cualquier posible error presente es tan sólo mío.

2. Definiciones y propiedades básicas

Definición 2.1 (División) Sea φ(x, y) una fórmula, A un conjunto de parámetros y supongamos que φ(x, a) es consistente. Diremos que φ(x, a) divide sobre A respecto a k si existe una secuencia (a_{i}|i ∈ ω) tales que a_{i} ≡_{A} a y el conjunto {φ(x, a_{i})|i ∈ ω} es kinconsistente (es decir, para todo I ⊆ ω, |I| = k, {φ(x, a_{i}|i ∈ I} es inconsistente); φ(x, a) divide sobre A si lo hace para algún k.

Un tipo (posiblemente parcial) p divide sobre A (respecto a k) si existe φ(x, a) tal que p ⊢ φ(x, a) y φ(x, a) divide sobre A (respecto a k).

Las siguientes propiedades se obtienen fácilmente a partir de las definiciones:

Lema 2.1 En cualquier teoría T se cumplen los siguientes hechos:

1. Si φ(x, a) divide sobre A respecto a k y ψ(x, b) ⊢ φ(x, a), entonces ψ(x, b) divide sobre A respecto a k.

2. Un tipo p cerrado bajo conjunción divide sobre A si y sólo si existe φ(x, a) ∈ p que divide sobre A.

3. Si p es un tipo sobre acl(A), p no divide sobre A.

4. φ(x, a) divide sobre A si y sólo si existe una secuencia A-indiscernible (a_{i}|i ∈ ω) tal que a_{0} = a y {φ(x, a_{i})|i ∈ ω} es inconsistente.

5. Si existe c ∈ A que realiza φ(x, a), entonces φ(x, a) no divide sobre A.

Prueba. 1). Sea una secuencia (a_{i}|i ∈ ω) que atestigue que φ(x, a) divide sobre A respecto a k. Para cada i, como a_{i} ≡_{A} a, existe un automorfismo f ∈ Aut_{A}(ℭ) que transforma a en a_{i}. Sea b_{i} = f(b); entonces la secuencia (b_{i}|i ∈ ω) así obtenida atestigua que ψ(x, b) divide sobre A respecto a k (ya que si hubiese I ⊆ ω, |I| = k tal que {ψ(x, b_{i})|i ∈ I} fuera consistente, como ψ(x, b_{i}) ⊢ φ(x, a_{i}), el conjunto {φ(x, a_{i})|i ∈ I} también sería consistente).

2). Es inmediato a partir de 1).

3). Sea φ(x, a) ∈ p, a ⊆ acl(A): φ(x, a) no puede dividir sobre A respecto a ningún k, pues el número de realizaciones de tp(a|A) es finito ( así, si (a_{i}|i ∈ ω) es una secuencia de realizaciones de tp(a|A), dado k, habría I ⊆ ω con |I| = k tal que para todo i, j ∈ I, a_{i} = a_{j}; en esta situacíon, que {φ(x, a_{i})|i ∈ I} fuera inconsistente significaría que φ(x, a) es inconsistente).

4). De derecha a izquierda es obvio. Para ver la otra dirección, sea (a_{i}|i ∈ ω) testigo de la división para algún k. Se trata de ver que el conjunto de fórmulas:

i) ¬∃x(φ(x, y_{0}) ∧ … φ(x, y_{k−1}))

ii) {ϕ(y_{i_{0}}, …, y_{i_{n}}) ↔ ϕ(y_{j_{0}}, …, y_{j_{n}})|ϕ ∈ L(A); i_{0} < … < i_{n}, j_{0} < … < j_{n}}

iii) {ψ(y_{0})|ψ ∈ tp(a|A)}

es consistente en T y esto se obtiene fácilmente aplicando el teorema de Ramsey. Una vez obtenida I = (b_{i}|i ∈ ω) A-indiscernible cumpliendo las condiciones de divisibilidad, considerando un automorfismo f ∈ Aut_{A}(ℭ) que transforme b_{0} en a, f(I) será la secuencia buscada.

5). Pues si (a_{i}|i ∈ ω) son realizaciones de tp(a|A), ⊧ φ(c, a_{i}) para todo i.

Definición 2.2 (Bifurcación) Una fórmula φ(x, a) bifurca sobre A si existe n ∈ ω y fórmulas ψ_{i}(x, a^{i}) tal que φ ⊢ ⋁_{i≤n} ψ_{i}(x, a^{i}) y cada ψ_{i}(x, a^{i}) divide sobre A. Un tipo p bifurca sobre A si existe φ(x, a) tal que p ⊢ φ(x, a) y φ(x, a) bifurca sobre A.

Si tenemos tipos p ∈ S(A) y q ∈ S(B) con p ⊆ q, diremos que q es una extensión no bifurcante de p si q no bifurca sobre A; a es independiente de c sobre B si el tipo tp(a|Bc) no bifurca sobre B. Lo denotaremos por a | ⌣_{B} c.

Observaciones 2.2 1. Si p divide sobre A, p bifurca sobre A.

2. Si p divide (bifurca) sobre A y B ⊆ A, entonces p divide (bifurca) sobre B.

3. A | ⌣_{C} B si y sólo si A_{0} | ⌣_{C} B_{0} para todo A_{0} ⊆ A y B_{0} ⊆ B finitos.

La ventaja de la bifurcación sobre la división es que permite el lema siguiente:

Teorema 2.3 (Extensión) Si p es un tipo parcial sobre B que no bifurca sobre A ⊆ B, entonces existe q ∈ S(B) extendiendo p tal que q no bifurca sobre A.

Prueba. Consideremos el conjunto

Γ = {¬φ(x, b)|b ∈ B, φ(x, b) bifurca sobre A}

Veamos que p ∪ Γ es consistente: en caso contrario, por compacidad, existirían fórmulas {¬φ_{i}(x, b_{i})|i < n} ⊆ Γ tal que p ∪ {¬φ_{i}(x, b_{i})|i < n} es inconsistente. Luego p ⊢ ⋁_{i<n} φ_{i}(x, b_{i}). Como cada φ_{i}(x, b) bifurca sobre A, entonces también lo hace p.

Escojamos q ∈ S(B) una completación de p ∪ Γ. Entonces q no bifurca sobre A, pues si lo hiciera habría φ(x, b) ∈ q que lo testimonia. Pero entonces ¬φ(x, b) ∈ Γ ⊆ q.

Lema 2.4 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. tp(a|Ab) no divide sobre A.

2. Si I es una secuencia A-indiscernible sobre A en la que b ∈ I, entonces existe a′ ≡_{Ab} a tal que I es indiscernible sobre Aa′.

3. Si I es una secuencia A-indiscernible sobre A en la que b ∈ I, entonces existe un automorfismo f ∈ Aut_{Ab}(ℭ) tal que I es indiscernible sobre Af(a).

Prueba. La equivalencia entre 2) y 3) se debe a la homogeneidad de ℭ.

2) ⇒ 1). En busca de contradicción, supongamos que p = tp(a|Ab) divide sobre A: existe φ(x, c, b) ∈ p, c ⊆ A y existe I secuencia A-indiscernible con b ∈ I tal que Λ = {φ(x, c, d)|d ∈ I} es inconsistente. Por 2), existe a′ ≡_{Ab} a tal que I es indiscernible sobre Aa′. Como a ⊧ φ(x, c, b) también a′ ⊧ φ(x, c, b). Por indiscernibilidad, Λ sería consistente.

1) ⇒ 2). Sea I = (b_{i}|i ∈ ω) A-indiscernible. Escribamos p(x, b) = tp(a|Ab). Es evidente que q(x) = ⋃_{i∈ω} p(x, b_{i}) es consistente (en caso contrario, existiría φ(x, c, b) ∈ p, c ⊆ A y Λ ⊆ ω finito tal que {φ(x, c, b_{i})|i ∈ Λ} es inconsistente; luego, la indiscernibilidad nos daría que {φ(x, c, b_{i})|i ∈ ω} es |Λ|-inconsistente, contra 1)). Si Γ(x) es el conjunto de fórmulas que expresa que I es Ax-indiscernible, sólo queda ver que q(x) ∪ Γ(x) es consistente. Sea Γ_{0}(x) un subconjunto finito de Γ y d ⊧ q(x). Por el teorema de Ramsey, existe τ ⊆ ω infinito tal que (b_{i}|i ∈ τ) cumple Γ_{0}(d) (sustituyendo en Γ_{0} los elementos de I por los de esta subsecuencia). Como (b_{i}|i ∈ τ) ≡_{A} (b_{i}|i ∈ ω), existe f ∈ Aut_{A}(ℭ) que transforma (b_{i}|i ∈ τ) en (b_{i}|i ∈ ω). Así,f(d) ⊧ Γ_{0} y además f(d) sigue satisfaciendo q(x).

Lema 2.5 (Lema de los pares) Si tp(a|Ab) no divide sobre A y tp(c|Aba) no divide sobre Aa, entonces tp(ac|Ab) no divide sobre A.

Prueba. Sea I = (b_{i}|i ∈ ω) una secuencia A-indiscernible, b_{0} = b. Veamos que existe a′c′ ≡_{Ab} ac tal que I es Aa′c′-indiscernible( por el lema 2.4 ya estará). Por hipótesis y aplicando el mismo lema, existe a′ ≡_{Ab} a tal que I es Aa′-indiscernible. Sea f ∈ Aut_{Ab}(ℭ) tal que f(a) = a′. Como tp(c|Aba) no divide sobre Aa, tp(f(c)|Aba′) no divide sobre Aa′. Otra vez por 2.4, existe c′ ≡_{Aba′} f(c) tal que I es Aa′c′-indiscernible. Pero:

a′c′ ≡_{Ab} f(a)f(c) ≡_{Ab} ac

Definición 2.3 Una fórmula φ(x, y) tiene la propiedad del árbol respecto a k < ω si existen parámetros (a_{s}|s ∈ ω^{<ω}) tales que:

i) Para cada s ∈ ω^{<ω}, el conjunto {φ(x, a_{s⌢i})|i ∈ ω} es k-inconsistente.

ii) Para cada s ∈ ω^{ω}, el conjunto {φ(x, a_{s↾i})|i ∈ ω} es consistente.

Definición 2.4 Sea α un ordinal. Una fórmula φ divide α veces (respecto a k) si existe una secuencia (b_{i}|i ∈ α) tal que {φ(x, b_{i})|i ∈ α} es consistente y φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i} (respecto a k).

El siguiente lema, de carácter básicamente técnico, nos permitirá relacionar las dos nociones anteriores:

Lema 2.6 Dada una secuencia de fórmulas (φ_{i}(x, y_{i})|i < α) y (n_{i}|i < α) una secuencia de naturales mayores o iguales que 2, son equivalentes:

1. Existen parámetros (b_{i}|i < α) tales que {φ_{i}(x, b_{i})|i < α} es consistente y para cada i < α, φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i} respecto a n_{i}.

2. Existen parámetros (a_{s}|s ∈ ω^{≤α}) tales que para cada β ∈ ω^{α}, {φ_{i}(x, a_{β↾i+1})|i < α} es consistente y para cada i < α y s ∈ ω^{i}, {φ_{i}(x, a_{s⌢j})|j ∈ ω} es n_{i}-inconsistente. Además podemos suponer que para μ, ν ∈ ω^{α}, (a_{μ↾i+1}|i < α) ≡ (a_{ν↾i+1}|i < α).

Prueba.1) ⇒ 2). Construiremos el árbol inductivamente. Para el caso i = ∅ y i límite la elección de los parámetros es arbitraria. Supongamos que ya tenemos (a_{s}|s ∈ ω^{≤i}) tal que (b_{j}|j < i) ≡ (a_{η↾j+1}|j < i) para todo η ∈ ω^{≤i}. Tomemos un η ∈ ω^{≤i} y veamos como definir a_{η⌢l} para l ∈ ω: por conjugación, existe c_{η} tal que (b_{j}|j < i)b_{i} ≡ (a_{η↾j+1}|j < i)c_{η}. Al dividir φ_{i}(x, b_{i}) sobre b_{<i} respecto a n_{i}, φ_{i}(x, c_{η}) divide sobre (a_{η↾j+1}|j < i) respecto a n_{i}. Por lo tanto existen (a_{η⌢l}|l ∈ ω) tal que a_{η⌢l} ≡_{{a_{η↾j+1|j<i}}} c_{η} y {φ_{i}(x, a_{η⌢l})|l ∈ ω} es n_{i}-inconsistente. Esta secuencia nos da la extensión de la rama.

2) ⇒ 1) Por compacidad, podemos suponer que tenemos parámetros (a_{s}|s ∈ λ^{≤α}) cumpliendo las hipótesis, con λ > 2^{|α|+|T |}. Construyamos por inducción la secuencia (b_{i}|i < α) cumpliendo las propiedades de 1) de manera que exista η ∈ λ^{α} tal que b_{j} = a_{η↾j+1} para todo j < α. Supongámoslo cierto para β < α, es decir, tenemos (b_{i}|i < β) tal que b_{j} = a_{η↾j+1} para un cierto η ∈ λ^{β}; para encontrar b_{β} fijémosnos que al tener λ > 2^{|α|+|T |}, existe τ ⊆ λ infinito tal que a_{η⌢l} ≡_{(a_{η↾j+1}|j<β)} a_{η⌢m} para l, m ∈ τ. Así, podemos tomar b_{β} = a_{η⌢l} para cualquier l ∈ τ.

Definamos ahora unos rangos que nos permitirán dar caracterizaciones equivalentes de las teorías simples.

Definición 2.5 Sea Δ un conjunto finito de fórmulas, p un tipo parcial y k un entero. Definimos el rango D(p, Δ, k) por las siguientes cláusulas:

D(p, Δ, k) ≥ 0 si y sólo si p es consistente.

D(p, Δ, k) ≥ λ para λ límite si y sólo si D(p, Δ, k) ≥ α para todo α < λ.

D(p, Δ, k) ≥ α+1 si y sólo si existe una fórmula φ(x, y) ∈ Δ y una secuencia (a_{i}|i ∈ ω) tales que D(p ∪ {φ(x, a_{i})}, Δ, k) ≥ α y {φ(x, a_{i})|i ∈ ω} es k-inconsistente.

D(p, Δ, k) = α si y sólo si D(p, Δ, k) ≥ α y D(p, Δ, k) ≱ α + 1.

Observación 2.7 Para todo p,Δ y k, son equivalentes:

1. D(p, Δ, k) ≥ α.

2. Existen parámetros (a_{s}|s ∈ ω^{≤α}) tales que:

i) Para cada s ∈ ω^{<α}, el conjunto {φ(x, a_{s⌢i})|i ∈ ω} es k-inconsistente.

ii) Para cada s ∈ ω^{α}, el conjunto p ∪ {φ(x, a_{s↾i+1})|i < α} es consistente.

Lema 2.8 El rango D(p, Δ, k) cumple las siguientes propiedades:

1. D(p_{1}, Δ_{1}, k_{1}) ≤ D(p_{2}, Δ_{2}, k_{2}), para p_{1} ⊢ p_{2}, Δ_{1} ⊆ Δ_{2} y k_{1} ≤ k_{2}.

2. Para todo Δ finito, existe una fórmula θ tal que D(p, Δ, k) = D(p, θ, k).

3. D(p ∪ {⋁_{i<n} φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k) = Max_{i<n}D(p ∪ {φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k).

Prueba.1). Veamos, por inducción sobre α, que si D(p_{1}, Δ_{1}, k_{1}) ≥ α entonces D(p_{2}, Δ_{2}, k_{2}) ≥ α. Para α = 0 y α límite es obvio. Sea pues D(p_{1}, Δ_{1}, k_{1}) ≥ α + 1. Por definición, existe φ(x, y) ∈ Δ_{1} y existe una secuencia I = (a_{i}|i ∈ ω) tal que D(p_{1} ∪ {φ(x, a_{i})}, Δ_{1}, k_{1}) ≥ α y {φ(x, a_{i})|i ∈ ω} es k_{1}-inconsistente. Por hipótesis de inducción, D(p_{2} ∪{φ(x, a_{i})}, Δ_{2}, k_{2}) ≥ α. Pero tenemos: φ(x, y) ∈ Δ_{1} ⊆ Δ_{2} y I k_{2}-inconsistente (por ser k_{1} ≤ k_{2}). Por definición, D(p_{2}, Δ_{2}, k_{2}) ≥ α + 1.

2). Sea Δ = {φ(x, y_{1}), …, φ(x, y_{n})}. Tomemos {ψ_{i}(z)|1 ≤ i ≤ n} formando una partición de ℭ^{n}. Definamos θ como:

θ(x, z, y) ≡ ⋀_{1≤i≤n}(ψ_{i}(z) → φ_{i}(x, y_{i}))

con y = y_{1} … y_{n}. Observemos que para cada i existe c_{i} ∈ ℭ^{n} tal que ⊢ θ(x, c_{i}, y) ↔ φ_{i}(x, y_{i}). Igualmente, para cada d ∈ ℭ^{n} existe i tal que ⊢ θ(x, d, y) ↔ φ_{i}(x, y_{i}). Se trata de ver que esta θ cumple lo requerido:

Asumamos inductivamente que: D(p, Δ, k) ≥ s si y sólo si D(p, θ, k) ≥ s para todo p y k. Supongamos que D(p, Δ, k) ≥ s + 1:por lo tanto, existe 1 ≤ r ≤ n y una secuencia (a_{i}|i ∈ ω) tal que D(p ∪ {φ_{r}(x, a_{i})}, Δ, k) ≥ s y {φ_{r}(x, a_{i})|i ∈ ω} k-inconsistente. Como

θ(x, c_{r}, …, a_{i}, …) ⊣⊢ φ_{r}(x, a_{i})

D(p ∪ {θ(x, c_{r}, …, a_{i}, …)}, Δ, k) ≥ s y {θ(x, c_{r}, …, a_{i}, …)|i ∈ ω} k-inconsistente. La hipótesis de inducción nos da que D(p∪{θ(x, c_{r}, …, a_{i}, …)}, θ, k) ≥ s y por tanto D(p, θ, k) ≥ s + 1.

Para la otra dirección, supongamos que D(p, θ, k) ≥ s + 1. Por lo tanto,existe una secuencia (d_{i}b_{i}|i ∈ ω) con b_{i} = b_{i}^{1} … b_{i}^{n} tal que D(p∪{θ(x, d_{i}, b_{i})}, θ, k) ≥ s y {θ(x, d_{i}, b_{i})|i ∈ ω} es k-inconsistente. Por la construcción de θ, debe existir 1 ≤ r ≤ n y un conjunto infinito τ ∈ ω tal que para todo i ∈ τ, θ(x, d_{i}, b_{i}) ⊣⊢ φ_{r}(x, b_{i}^{r}). Otra vez la hipótesis inductiva nos da D(p, Δ, k) ≥ s + 1.

3). Como p ∪ {φ_{i}(x, a_{i})} ⊢ p ∪ ⋁_{i<n}{φ_{i}(x, a_{i})} tenemos D(p ∪ {⋁_{i<n} φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k) ≥ Max_{i<n}D(p∪{φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k). Para la otra dirección, veamos que D(p∪{⋁_{i<n} φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k) ≥ s+1 implica Max_{i<n}D(p∪{φ_{i}(x, a_{i})}, Δ, k) ≥ s+1 asumiendo que es cierto para s. Por 2), podemos suponer que Δ = {ψ}. Así pues, D(p ∪ {⋁_{i<n} φ_{i}(x, a_{i})}, ψ, k) ≥ s + 1 significa que existe (b_{j}|j ∈ ω) tal que {ψ(x, b_{j})|j ∈ ω} es k-inconsistente y D(p ∪ {⋁_{i<n} φ_{i}(x, a_{i})} ∪ {ψ(x, b_{j})}, ψ, k) ≥ s para todo j. Por hipótesis inductiva, Max_{i<n}D(p ∪ {φ_{i}(x, a_{i})} ∪ {ψ(x, b_{j})}, Δ, k) ≥ s. Por lo tanto, existe r < n y τ ⊆ ω infinito tal que D(p ∪ {φ_{r}(x, a_{r})} ∪ {ψ(x, b_{j})}, ψ, k) ≥ s para j ∈ τ. Por lo tanto, D(p ∪ {φ_{r}(x, a_{r})}, ψ, k) ≥ s + 1; luego Max_{i<n}D(p ∪ {φ_{i}(x, a_{i})}, ψ, k) ≥ s + 1.

Lema 2.9 Si p bifurca sobre A testimoniado por ψ_{i}(x,_{i} , b_{i}) y k_{i}; si D(p, Δ, k) < ω tenemos que D(p, Δ, k) < D(p ↾ A, Δ, k), con Δ = {ψ_{i}(x_{i}, y_{i})|i < n} y k = Max{k_{i}|i < n}.

Prueba. Tenemos que p ⊢ ⋁_{i<n} ψ_{i}(x, b_{i}) y cada ψ_{i}(x, b_{i}) divide sobre A respecto a k_{i}. Sea s = D(p, Δ, k). Veamos que D(p ↾ A, Δ, k) > s: por 2.8, sabemos que existe l < n tal que D(p ↾ A ∪ {ψ_{l}(x, b_{l})}, Δ, k) ≥ s. Como ψ_{l}(x, b_{l}) divide sobre A respecto a k_{l}, también lo hace respecto a k; entonces, por definición, D(p ↾ A, Δ, k) ≥ s + 1.

Pasemos a definir la noción central de este trabajo.

Definición 2.6 (Teoría simple) Una teoría completa T es simple cuando para todo p,Δ y k, D(p, Δ, k) < ω.

En el siguiente teorema reunimos toda la información anteriormente presentada y damos diferentes caracterizaciones de la simplicidad:

Teorema 2.10 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. T no es simple.

2. Existe φ(x, y) y existe k tal que φ(x, y) tiene la propiedad del árbol respecto a k.

3. Existe φ(x, y) y existe k tal que φ(x, y) divide ω veces respecto a k.

4. Existe un conjunto B y un tipo p ∈ S(B) tal que p bifurca sobre A, para todo A ⊆ B con |A| ≤ |T |.

5. Existe una secuencia de conjuntos (A_{i}|i ∈ |T |^{+}) tal que A_{i} ⊆ A_{j} si i ≤ j y un tipo completo sobre ⋃(A_{i}|i ∈ |T |^{+}) tal que p ↾ A_{i+1} bifurca sobre A_{i} para todo i ∈ |T |^{+}.

6. Existe un conjunto B y un tipo p ∈ S(B) tal que p divide sobre A, para todo A ⊆ B con |A| ≤ |T |.

7. Existe una secuencia de conjuntos (A_{i}|i ∈ |T |^{+}) tal que A_{i} ⊆ A_{j} si i ≤ j y un tipo completo sobre ⋃(A_{i}|i ∈ |T |^{+}) tal que p ↾ A_{i+1} divide sobre A_{i} para todo i ∈ |T |^{+}.

Prueba. 1 ⇒ 2). Si T no es simple, existe p, φ(x, y) (la codificación de 2.8 nos permite suponer que es una fórmula) y k tal que

ω ≤ D(p, φ, k) ≤ D(x = x, φ, k)

Así, φ tiene la propiedad del árbol respecto a k( observación 2.7).

2) ⇒ 1). 2.7

2) ⇔ 3). Por el lema 2.6

4 ⇒ 5). Sea A_{0} ⊆ B finito. Existe φ(x, a_{0}) ∈ p que bifurca sobre A_{0} Sea A_{1} = A_{0} ∪{a_{0}}. Por lo tanto, p ↾ A_{1} bifurca sobre A_{0}. Construimos así inductivamente una secuencia (A_{i}|i ∈ |T |^{+})

5 ⇒ 4). Sea B = ⋃{A_{i}|i ∈ |T |^{+}}. Así, para cualquier A = {a_{i}|i < |T |}, existe i_{0} ∈ |T |^{+} tal que A ⊆ A_{i_{0}}. Por lo tanto, como p ↾ A_{i_{0}+1} bifurca sobre A_{i_{0}}, tenemos que p bifurca sobre A.

6) ⇔ 7). Análogo a la demostración de la equivalencia entre 4) y 5).

6) ⇒ 4). Obvio.

2) ⇒ 7). Por compacidad, podemos suponer que φ(x, y) divide |T |^{+} veces respecto a k. Por lo tanto, existe una secuencia (a_{i}|i < |T |^{+}) tal que {φ(x, a_{i})|i ∈ |T |^{+}} es consistente y φ(x, a_{i}) divide sobre a_{<i}. Tomando como A_{i} = a_{≤i} y como p una completación de {φ(x, a_{i})|i ∈ |T |^{+}} obtendremos el resultado deseado.

5) ⇒ 1) Supongamos, en busca de contradicción, que T es simple. Por 2.9, para cada i ∈ |T |^{+} existe Δ_{i} y k_{i} tal que D(p ↾ A_{i+1}, Δ_{i}, k_{i}) < D(p ↾ A_{i}, Δ_{i}, k_{i}). Al haber como máximo |T | conjuntos Δ_{i}, existe un par (Δ, k) que aparece repetidos |T |^{+} veces en {(Δ_{i}, k_{i})|i ∈ |T |^{+}}. Contradicción.

Observación 2.11 En una teoría simple, ningún tipo bifurca sobre su dominio.

Prueba. Una de las equivalencias del teorema anterior nos dice que en una teoría simple, para todo p ∈ S(B), existe un subconjunto A ⊆ B tal que p no bifurca sobre A. Queda sólo aplicar la monotonía de la bifurcación (observación 2.2).

3. Propiedades básicas de la noción de Independencia

Empecemos esta sección con un teorema de carácter técnico de gran utilidad. La demostración se puede ver en [9].

Teorema 3.1 Sea (X, <_{X}) un orden total. Para cada secuencia (a_{i}|i < ℶ_{(2^{|T |})^{+}}) existe una secuencia de indiscernibles (b_{i}|i ∈ X) con la siguiente propiedad: para cada n < ω y para cada j_{0} <_{X} … <_{X} j_{n−1} ∈ X, existen ordinales i_{0} < … < i_{n−1} tales que:

tp(b_{j_{0}}, …, b_{j_{n−1}}) = tp(a_{j_{0}}, …, a_{j_{n−1}})

Definición 3.1 Sea A ⊆ B, p ∈ S(B), (X, <_{X}) conjunto infinito linealmente ordenado. Una secuencia de Morley para p sobre A es una secuencia I = (a_{i} : i ∈ X) tal que:

a_{i} ⊧ p, ∀i ∈ X.

I es B-indiscernible.

tp(a_{i}|Ba_{<i}) no divide sobre A.

Lema 3.2 Sea A ⊆ B y p ∈ S(B) tal que p no bifurca sobre A. Entonces para todo orden lineal (X, <_{X}) existe (b_{i}|i ∈ X) secuencia de Morley para p sobre A. Además, si p = tp(b|B), se puede elegir la secuencia de manera que b = b_{i} para algún i.

Prueba. Por el teorema 2.3, podemos encontrar una secuencia (a_{i}|i ∈ ℶ_{(2^{|T |})^{+}}) tal que a_{i} ⊧ p y tp(a_{i}|Ba_{<i}) no bifurca sobre A. Tan sólo queda aplicar 3.1 para ver que la podemos suponer B-indiscernible y con el orden (X, <_{X}).

Corolario 3.3 Si T es simple, para todo tipo p ∈ S(A), existe una secuencia de Morley para p.

Prueba. Como para todo p ∈ S(A), p no bifurca sobre A, podemos aplicar 3.2.

Lema 3.4 Sea I = (a_{i} : i ∈ X) una secuencia de Morley de p ∈ S(B) sobre A y sean Y, Z ⊆ X t.q. Y < Z. Entonces tp(a_{Z}|Ba_{Y}) no divide sobre A.

Prueba. Basta verlo para Y y Z finitos. Sea pues Z = {i_{1}, …, i_{n}}. Apliquemos inducción sobre n:

Si n = 1, obviamente tp(a_{i_{1}}|Ba_{Y}) no divide sobre A. (En caso contrario, tp(a_{i_{1}}|Ba_{<i_{1}}) dividiría sobre A).

Supongámoslo cierto para n elementos y sea Z = {i_{1}, …, i_{n+1}}. Por hipótesis de inducción, tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n}}|Ba_{Y}) no divide sobre A. Por otra parte, tp(a_{i_{n+1}}|Ba_{Y} ∪ {a_{i_{1}}, …, a_{i_{n}}}) no divide sobre A, por lo que a fortiori no divide sobre A∪{a_{i_{1}}, …, a_{i_{n}}}. Aplicando el lema de los pares (2.5), tp(a_{i_{1}} … a_{i_{n+1}}|Ba_{Y}) no divide sobre A.

Lema 3.5 Si φ(x, a) divide sobre A respecto a k y tp(b|Aa) no divide sobre A, entonces φ(x, a) divide sobre Ab respecto a k.

Prueba. Sea I = (a_{i}|i ∈ ω) una secuencia A-indiscernible tal que {φ(x, a_{i})|i ∈ ω} es kinconsistente. Como tp(b|Aa) no divide sobre A, por 2.4 sabemos que existe b′ ≡_{Aa} b tal que I es Ab′-indiscernible. Si tomamos f ∈ Aut_{Aa}(ℭ) con f(b′) = b, f(I) es Ab-indiscernible y {φ(x, f(a_{i}))|i ∈ ω} es k-inconsistente.

Lema 3.6 Sea φ(x, b) una fórmula que divide sobre A, (b_{i}|i ∈ X) secuencia de Morley de tp(b|A), i < Z. Entonces φ(x, b_{i}) divide sobre Ab_{Z}.

Prueba. Tenemos que φ(x, b_{i}) divide sobre A y que tp(b_{Z}|Ab_{i}) no divide sobre A(aplicando 3.4). Así, por 3.5, φ(x, b_{i}) divide sobre Ab_{Z}.

Teorema 3.7 Sea T simple. Son equivalentes:

1. φ(x, b) divide sobre A.

2. Para toda secuencia de Morley (b_{i}|i ∈ X) de tp(b|A), {φ(x, b_{i})|i ∈ X} es inconsistente.

3. Para alguna secuencia de Morley (b_{i}|i ∈ X) de tp(b|A), {φ(x, b_{i})|i ∈ X} es inconsistente.

Prueba.1) ⇒ 2). Sea I una secuencia de Morley de tp(b|A) y supongamos que {φ(x, c)|c ∈ I} es consistente. Sea X el orden inverso de |T |^{+}; usemos 3.1 para encontrar una secuencia de indiscernibles J = (b_{i}|i ∈ X) tal que para secuencia creciente y finita de J existe una secuencia en I con el mismo tipo sobre A. Entonces J es también una secuencia de Morley de tp(b|A) y r = {φ(x, b_{i})|i ∈ X} es consistente. Sea d una realización de r. Por la simplicidad de T, existe Y ⊆ X de cardinalidad menor que |T |^{+} tal que tp(d|AJ) no bifurca sobre Ab_{Y}. Tomemos i < Y. Como φ(x, b_{i}) divide sobre A, 3.6 nos dice que φ(x, b_{i}) divide sobre Ab_{Y}. Pero d ⊧ φ(x, b_{i}), por lo que tp(d|AJ) dividiría sobre Ab_{Y}.

2) ⇒ 3). Si T es simple, existen secuencias de Morley.

3) ⇒ 1). Obvio.

Teorema 3.8 T simple. Son equivalentes:

1. φ(x, b) divide sobre A.

2. φ(x, b) bifurca sobre A.

Prueba.1) ⇒ 2). Obvio.

2) ⇒ 1). Supongamos que existen fórmulas ψ_{i}(x, a^{i}) tal que φ(x, b) ⊢ ⋁_{i<m} ψ_{i}(x, a^{i}) y las ψ_{i}(x, a^{i}) dividen sobre A. Consideremos una secuencia de Morley (a_{i}^{0} … a_{i}^{m−1}b_{i}|i ∈ ω) del tipo tp(a^{0} … a^{m−1}b|a). Tenemos dos casos:

Si r = {φ(x, b_{i})|i ∈ ω} es inconsistente ya está, pues (b_{i}|i ∈ ω) es una secuencia de Morley del tp(b|A)

En caso contrario, sea c una realización de r. Como φ(x, b) ⊢ ⋁_{i<m} ψ_{i}(x, a^{i}), existe S ⊆ ω infinito y k < m tal que c ⊧ ψ_{k}(x, a_{i}^{k}) para todo i ∈ S. Pero como (a_{i}^{k}|i ∈ S) es una secuencia de Morley de tp(a^{k}|A), 3.7 nos diría que ψ_{k}(x, a^{k}) no divide sobre A, contra lo supuesto.

Teorema 3.9 T simple. Entonces tp(a|Ab) bifurca sobre A si y sólo si tp(b|Aa) bifurca sobre A.

Prueba. Obviamente es suficiente con demostrar una dirección. Supongamos que tp(b|Aa) no bifurca sobre A. Sea φ(x, c, b) ∈ tp(a|Ab), con c ⊆ A y veamos que esta fórmula no bifurca sobre A. Como tp(b|Aa) no bifurca sobre A, existe I = (b_{i}|i ∈ ω) secuencia de Morley de tp(b|Aa) sobre A. Evidentemente I es también una secuencia de Morley de tp(b|A). Por lo tanto, (cb_{i}|i ∈ ω) es una secuencia de Morley de tp(cb|A). Como {φ(x, c, b_{i})|i ∈ ω} es consistente ( ⊧ φ(a, c, b) implica que para todo i ∈ ω, ⊧ φ(a, c, b_{i}), pues I es Aa-indiscernible), 3.7 nos da el resultado deseado.

A partir de ahora usaremos libremente la notación a | ⌣_{A} B para indicar que el tipo tp(a|AB) no bifurca sobre A.

Teorema 3.10 Sea T simple, A ⊆ B ⊆ C. Entonces a | ⌣_{A} B y a | ⌣_{B} C si y sólo si a | ⌣_{A} C.

Prueba.⇐). Se deduce de las definiciones.

⇒). Sea b una enumeración de B y c una enumeración de C\B. Entonces lo que estamos suponiendo es que a | ⌣_{A} b y a | ⌣_{Ab} c. Por simetría tenemos que b | ⌣_{A} a y c | ⌣_{Ab} a. Aplicando el lema de los pares, obtenemos cb | ⌣_{A} a. Una nueva aplicación de la simetría nos da el resultado deseado.

Lema 3.11 Sea I = (a_{i}|i ∈ ω + ω) una secuencia A-indiscernible. Entonces I_{ω} = (a_{ω+i}|i ∈ ω) es una secuencia de Morley de tp(a_{ω}|AI_{0}), donde I_{0} = (a_{i}|i ∈ ω).

Prueba. Obviamente, I_{ω} es AI_{0}-indiscernible. Demostremos que a_{ω+i+1} | ⌣_{AI_{0}} a_{ω} … a_{ω+i}. Por simetría, es equivalente a ver que p = tp(a_{ω} … a_{ω+i}|AI_{0}a_{ω+i+1}) no divide sobre AI_{0}. Sea φ(x_{0}, …, x_{i}, c, a_{0}, …, a_{n}, a_{ω+i+1}) ∈ p, c ⊆ A, y J una secuencia de Morley de tp(a_{ω+i+1}|AI_{0}). La indiscernibilidad nos da que a_{n+1} … a_{n+i} ⊧ φ(x_{0}, …, x_{i}, c, a_{0}, …, a_{n}, a_{ω+i+1}). Por tanto, a_{n+1} … a_{n+i} ⊧ φ(x_{0}, …, x_{i}, c, a_{0}, …, a_{n}, b), para todo b ∈ J. Así, el conjunto {φ(x_{0}, …, x_{i}, c, a_{0}, …, a_{n}, b)|b ∈ J} es consistente.

Lema 3.12 Sea T simple, p(x, b) ∈ S(Ab) un tipo tal que no bifurca sobre A y I = (b_{i}|i ∈ ω) una secuencia de Morley de tp(b|A) con b_{0} = b. Entonces existe a ⊧ p tal que I es Aaindiscernible y tp(a|AI) no bifurca sobre A.

Prueba. El lema 2.4 nos permite encontrar un a ⊧ p(x, b) tal que I es Aa-indiscernible. Veamos que q = tp(a|AI) no bifurca sobre A. Sea ψ(x, c, b_{0}, …, b_{n−1}) ∈ q, c ⊆ A. Consideremos J = (b_{r∗n}, …, b_{r∗n+n−1}|r ∈ ω): J es una secuencia de Morley de tp(b_{0}, …, b_{n−1}|A) y, como a ⊧ ψ(x, c, b_{0}, …, b_{n−1}), la indiscernibilidad nos da a ⊧ ψ(x, c, b_{r∗n}, …, b_{r∗n+n−1}) para todo r. Es decir,{ψ(x, c, b_{r∗n}, …, b_{r∗n+n−1})|r ∈ ω} es consistente. 3.7 nos da el resultado deseado.

Lema 3.13 Sea T simple, p(x, b) ∈ S(Ab) un tipo tal que no bifurca sobre A y I_{0} = (b_{i}|i ∈ ω) una secuencia indiscernible sobre A con b_{0} = b. Entonces existe a ⊧ p tal que I_{0} es Aa-indiscernible y tp(a|AI_{0}) no bifurca sobre A.

Prueba. Extendemos I_{0} a una secuencia I_{0}I_{ω} = (b_{i}|i ∈ ω +ω) A-indiscernible. Por 3.11, I_{ω} es secuencia de Morley de tp(b_{ω}|AI_{0}). Como p(x, b_{ω}) no bifurca sobre A, por extensión existe a′ ⊧ p(x, b_{ω}) tal que a′ | ⌣_{A} I_{0}b_{ω} y por tanto a′ | ⌣_{AI_{0}} b_{ω}. El lema 3.12 nos permite encontrar a′′ ≡_{AI_{0}b_{ω}} a′ tal que I_{ω} es AI_{0}a′′-indiscernible y a′′ | ⌣_{AI_{0}} I_{ω}. A fortiori, a′′ | ⌣_{AI_{0}b_{ω}} I_{ω}. Como a′′ | ⌣_{A} I_{0}b_{ω}, la transitividad nos da a′′ | ⌣_{A} I_{0}I_{ω}. Por tanto, a′′ | ⌣_{A} I_{ω}. Si tomamos un automorfismo f ∈ Aut_{A}(ℭ) tal que f(b_{ω+i}) = b_{i} para todo i ∈ ω y llamamos a = f(a′′), entonces I_{0} es Aa-indiscernible, a ⊧ p(x, b) y a | ⌣_{A} I_{0}.

Corolario 3.14 T simple. Si φ(x, b) no bifurca sobre A y (b_{i}|i ∈ ω) es A-indiscernible con b_{0} = b, entonces para todo n, φ(x, b_{0}) ∧ … ∧ φ(x, b_{n}) es consistente y no bifurca sobre A.

Prueba. Sea p(x, b) ∈ S(Ab) un tipo que no bifurca sobre A con φ(x, b) ∈ p. Aplicando el lema anterior, ⋃_{i} p(x, b_{i}) no bifurca sobre A. Por lo tanto, φ(x, b_{0}) ∧ … φ(x, b_{n}) tampoco bifurca.

En lo que queda de sección veremos que la clase de las teorías simples es la máxima clase en la que | ⌣ cumple las propiedades de una noción de independencia (simetría, transitividad):

Lema 3.15 Sea (b_{i}|i ≤ ω) A-indiscernible. Entonces b_{ω} | ⌣_{b<ω} A.

Prueba. Supongamos que existe φ(x, b_{n}, …, b_{0}, a) ∈ tp(b_{ω}|Ab_{<ω}), a ∈ A, tal que bifurca sobre b_{<ω}: es decir φ(x, b_{n}, …, b_{0}, a) ⊢ ⋁ ψ_{i}(x, d_{i}), con las ψ_{i}(x, d_{i}) dividiendo sobre b_{<ω}. Pero como la indiscernibilidad nos da b_{n+1} ⊧ φ(x, b_{n}, …, b_{0}, a) existe i tal que b_{n+1} ⊧ ψ_{i}(x, d_{i}). Así, esta ψ_{i}(x, d_{i}) no puede dividir sobre b_{<ω}.

Lema 3.16 Son equivalentes:

1. φ(x, y) tiene la propiedad del árbol respecto a k.

2. Existe una secuencia indiscernible (c_{i}b_{i}|i ∈ ω) tal que ⊧ φ(c_{i}, b_{0}) y φ(x, b_{i}) divide sobre c_{<i}b_{<i} respecto a k.

3. Existe c y existe una secuencia c-indiscernible (b_{i}|i ≤ ω) tal que ⊧ φ(c, b_{0}) y φ(x, b_{ω}) divide sobre b_{<ω} respecto a k.

Prueba.1) ⇒ 3). Por 1), existe secuencia (b_{i}|i ≤ ω) tal que {φ(x, b_{i})|i ≤ ω} es consistente y φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i} respecto a k. Si c ⊧ φ(x, b_{0}), una aplicación de 3.1 nos permite suponer que es c-indiscernible.

3) ⇒ 1). Si c ⊧ φ(x, b_{0}), por c-indiscernibilidad tenemos c ⊧ φ(x, b_{i}) para todo i ≤ ω. Por otra parte, si φ(x, b_{ω}) divide sobre b_{<ω} respecto a k, tambien lo hace sobre b_{<i} para todo i. Como b_{<i}b_{ω} ≡_{c} b_{<i}b_{i}, φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i}, para todo i. Es decir φ divide ω veces respecto a k.

2) ⇒ 1). Si existe tal secuencia para ω, también existe para ω + 1. Así {φ(x, b_{i})|i < ω} es consistente (al tener ⊧ φ(c_{ω}, b_{0}), también tenemos ⊧ φ(c_{ω}, b_{i}) para i < ω) y φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i} respecto a k.

1) ⇒ 2) Sea (a_{s}|s ∈ λ^{<λ}) atestiguando la propiedad del árbol respecto a k para λ > 2^{|T |}. Veamos, por inducción, que para todo n se cumple la siguiente afirmación:

Existe (c_{i}|i ≤ n) y existe s ∈ λ^{n+1} tal que, para todo i ≤ n
i) c_{i} ⊧ φ(x, a_{s↾1}) ∧ … ∧ φ(x, a_{s↾i}).
ii) φ(x, a_{s↾i+1}) divide respecto a k sobre (c_{j}a_{s↾j+1}|j < i).

Para n = 0 se toma simplemente un c_{0} tal que c_{0} ⊧ φ(x, a_{0}).Supongámoslo cierto para n y veámoslo para n + 1: como λ > 2^{|T |}, existe τ ⊆ λ infinito tal que a_{s⌢i} ≡ a_{s⌢j} para i, j ∈ τ. Por lo tanto, para todo i ∈ τ, φ(x, a_{s⌢i}) divide respecto a k sobre (c_{j}a_{s↾j+1}|j < i); a_{s⌢i} ∈ λ^{n+2} es el buscado. Como c_{n+1} tomamos cualquier realización de φ(x, a_{s↾1})∧…∧φ(x, a_{s⌢i}).

Por compacidad, existe para ω. Una aplicación de 3.1 nos da la indiscernibilidad.

Teorema 3.17 Sea T arbitraria. Son equivalentes:

1. T es simple.

2. Dividir( bifurcar) satisface simetría.

3. Dividir( bifurcar) satisface transitividad.

4. Para toda fórmula φ(x, y), φ(x, a) divide( bifurca) sobre A si y sólo si para toda I secuencia de Morley de tp(a|A), {φ(x, a′)|a′ ∈ I} es inconsistente.

Prueba. Ya hemos visto que 1) implica 2), 3) y 4).

2) ⇒ 1). Si T no es simple, el lema 3.16 nos dice que existe una fórmula φ(x, y) un c y una secuencia c-indiscernible (a_{i}|i ≤ ω) tal que c ⊧ φ(x, a_{i}) y φ(x, a_{ω}) divide sobre a_{<ω}. Por lo tanto, tp(c|a_{≤ω}) divide ( bifurca) sobre a_{<ω}. En cambio, por el lema 3.15, el tipo tp(a_{ω}|ca_{<ω}) no bifurca (no divide) sobre a_{<ω}.

3 ⇒ 1). Consideremos el tipo de orden ω + 2 + ω^{∗}( el asterisco denota el orden inverso). Si T no es simple, existe φ(x, y) y existe (c_{i}a_{i}|i ∈ ω + 2 + ω^{∗}) indiscernible tal que φ(c_{i}, a_{0}) para todo i y φ(x, a_{i}) divide sobre c_{<i}a_{<i}. Escribamos I = (c_{i}|i ∈ ω) y J = (c_{i}|i ∈ ω^{∗}). Así tenemos:

Como ⊧ φ(c_{ω+1}, a_{ω}), el tipo tp(c_{ω+1}|IJa_{ω}) divide (bifurca) sobre I.

Por el lema 3.15, como Ic_{ω+1} es J indiscernible, tp(c_{ω+1}|IJ) no bifurca (no divide) sobre I.

Al ser c_{ω+1}J Ia_{ω}-indiscernible, el mismo lema nos da que tp(c_{ω+1}|IJa_{ω}) no bifurca (no divide) sobre J (y,por tanto, sobre IJ.

Hemos contradecido la transitividad.

4) ⇒ 1). Si T no es simple, consideremos el orden ω + ω^{∗}. Existen φ(x, y), c y secuencia c-indiscernible (a_{i}|i ∈ ω + ω^{∗}) tal que c ⊧ φ(x, a_{i}) y φ(x, a_{i}) divide sobre a_{<i}. Escribamos I = (a_{i}|i ∈ ω) y J = (a_{i}|i ∈ ω^{∗}). Por un lado tenemos que φ(x, a_{−1}) divide sobre I, y por el otro tenemos que J es una secuencia de Morley de tp(a_{−1}|I) (pues J es I-indiscernible y, para todo j ∈ J, como Ia_{j} es {a_{i}|i > j}-indiscernible, tp(a_{j}|I ∪ {a_{i}|i > j}) no bifurca sobre I por 3.15) y el conjunto {φ(x, a_{j})|j ∈ J} es consistente. Por lo tanto, estamos negando 1).

Para acabar esta sección, veamos que en las teorías simples, el rango D(p, Δ, k) captura la noción de extensión no bifurcante:

Teorema 3.18 Sea T simple, p ∈ S(B) y q = p ↾ A, con A ⊆ B. Entonces p no bifurca sobre A si y sólo si D(p, Δ, k) = D(q, Δ, k) para todo Δ y k.

Prueba.⇐). 2.9.

⇒). Supongamos que p no bifurca sobre A y sea Δ y k cualesquiera. Por 2.8, podemos suponer que Δ = {ψ(x, y)}. Sabemos que D(p, ψ(x, y), k) ≤ D(q, ψ(x, y), k). Sea n = D(q, ψ(x, y), k) ( al ser T simple, el rango D es finito). Demostremos que D(p, ψ(x, y), k) ≥ n. Que el rango D(q, ψ(x, y), k) sea igual a n significa que existe secuencia I = (b_{i}|i < n) tal que q ∪ {ψ(x, b_{i}|i < n} es consistente y ψ(x, b_{i}) divide (bifurca) sobre Ab_{<i}. Tomemos a ⊧ q ∪ {ψ(x, b_{i}|i < n} y c ⊧ p. Conjugando, tomemos B^{∗} tal que cB ≡_{A} aB^{∗} y B′ tal que B′ ≡_{Aa} B^{∗}, B′ | ⌣_{Aa} b_{<n}: así, cB ≡_{A} aB′; por lo tanto, como B | ⌣_{A} c, B′ | ⌣_{A} a. Aplicando la transitividad, B′ | ⌣_{A} b_{<n}. Por 3.5, ψ(x, b_{i}) divide sobre B′b_{<i} para todo i < n. Como tp(a|B′) ∪ {ψ(x, b_{i})|i < n} es consistente, obtenemos que D(tp(a|B′), ψ(x, y), k) ≥ n; al ser tp(a|B′) un conjugado de p, D(p, ψ(x, y), k) ≥ n.

4. Tipos fuertes y tipos fuertes de Lascar

Hasta ahora hemos hablado sólamente de tipos en el sentido clásico, es decir, como el conjunto de fórmulas satisfechas por una determinada tupla. Introduciremos ahora dos nuevas clases de tipos, daremos diversas presentaciones de ellos y los relacionaremos con determinados subgrupos del grupo de automorfismos Aut(ℭ).

Definición 4.1 Sea A ⊆ ℭ. Una relación R es A-invariante si para cada f ∈ Aut_{A}(ℭ), f(R) = R.

Es inmediato ver que R es invariante si y sólo si hay una familia de tipos parciales {π_{i}(x)|i ∈ I} tal que R(a) si y sólo si ⊧ ⋁_{i∈I} π_{i}(a). Se trata de la familia {π_{i}(x)|i ∈ I} = {tp(a)|R(a)}.

Definición 4.2 Una relación R es tipo-definible sobre A si existe un tipo parcial π(x) sobre A tal R = π(ℭ) = {a| ⊧ π(a)}.

Si π consta de una sola fórmula se dice que R es definible sobre A. Obviamente definible sobre A implica tipo-definible sobre A y esto último implica A-invariante.

Definición 4.3 Sea R una relación binaria. Se dice que es finita si para algún número natural n no hay ninguna secuencia (a_{i} : i < n) tal que ¬R(a_{i}, a_{j}) siempre que i < j < n. Se dice que es acotada si para algún número cardinal κ no hay ninguna secuencia (a_{i} : i < κ) tal que ¬R(a_{i}, a_{j}) siempre que i < j < κ. Si se trata de una relación de equivalencia, es finita si no hay más que un número finito de clases y es acotada si el número de clases es acotado, es decir, es un número cardinal.

Observación 4.1 Si R es una relación definible y acotada entonces, por compacidad, R tiene que ser finita.

Lema 4.2 Sea E una relación de equivalencia invariante entre secuencias de longitud |α| . Si el número de clases de E es mayor que 2^{2^{|α|+|T |}} entonces E no es acotada.

Prueba. Sea κ = 2^{|I|+|T |} y supongamos que E tiene al menos (2^{κ})^{+} clases. Como hay a lo sumo κ tipos tp(a, b), por Erdös-Rado sabemos que hay una secuencia (a_{i} : i < ω) de representantes de clases tal que tp(a_{i}, a_{j}) = tp(a_{l}, a_{k}) siempre que i < j y l < k. Por compacidad vemos que para cualquier cardinal λ hay una secuencia (b_{i} : i < λ) tal que tp(b_{i}, b_{j}) = tp(a_{l}, a_{k}) siempre que i < j < λ y l < k < ω. La invariancia de E nos da que ¬E(b_{i}, b_{j}) si i < j; por lo tanto, para cada cardinal λ, E tendría como mínimo λ clases.

Definición 4.4 Para secuencias a y b de la misma longitud tenemos las siguientes relaciones de equivalencia:

1. E_{L}(a, b) si y sólo si E(a, b) para cada relación de equivalencia invariante y acotada E.

2. E_{KP} (a, b) si y sólo si E(a, b) para cada relación de equivalencia tipo-definible sobre ∅ y acotada E.

3. E_{Sh}(a, b) si y sólo si E(a, b) para cada relación de equivalencia definible sobre ∅ y finita E.

Lema 4.3 1. E_{L} ⊆ E_{KP} ⊆ E_{Sh}.

2. E_{L} es invariante y acotada y refina a cualquier otra relación de equivalencia invariante y acotada.

3. E_{KP} es tipo-definible sobre ∅ y acotada y refina a cualquier otra relación de equivalencia tipo-definible sobre ∅ y acotada.

4. E_{Sh} es tipo-definible sobre ∅ y acotada y refina a todas las relaciones de equivalencia finitas definibles sobre ∅.

Prueba. Todas las afirmaciones son inmediatas excepto la acotación de las distintas relaciones. De hecho es suficiente ver que E_{L} es una relación acotada, pues la acotación de las demás se desprendrá de ello por 1). Supongamos pues que estamos trabajando con secuencias de longitud α y sea κ = 2^{2^{|α|+|T |}}. Consideremos un modelo κ^{+}-saturado; entonces cada relación acotada e invariante debe de tener un representante de cada clase en M (veámoslo: sea (a_{i}|i ∈ λ) una secuencia de representantes de las distintas clases. Por 4.2, λ ≤ κ; así, la saturación de M nos permite suponer que se encuentran en este modelo). De aquí se deduce que si tp(a/M) = tp(b/M), entonces E_{L}(a, b). Por lo tanto,

|{clases de equivalencia de E_{L}}| ≤ |S(M)| < ∞.

Definición 4.5 Una fórmula gruesa es una fórmula finita, reflexiva y simétrica. Es decir, una fórmula φ(x, y) donde x, y son secuencias de variables de la misma longitud, que define una relación reflexiva y simétrica tal que no hay ninguna secuencia (a_{i} : i < ω) tal que ¬φ(a_{i}, a_{j}) siempre que i < j < ω; nc(x, y) será el conjunto formado por todas las fórmulas gruesas φ(x, y).

Observación 4.4 nc(x, y) es un tipo parcial, cerrado bajo conjunción, disyunción. Si θ(x, y) es simétrica y nc(x, y) ⊢ θ(x, y), entonces θ(x, y) ∈ nc(x, y).

Prueba Para demostrar que nc(x, y) está cerrado bajo conjunción se aplica Ramsey. El resto es inmediato.

Lema 4.5 Las siguientes condiciones son equivalentes para a ≠ b:

1. ⊧ nc(a, b).

2. Existe (a_{i} : i < ω) indiscernible tal que a = a_{0} y b = a_{1}.

3. Existe (a_{i} : i < ω) indiscernible y existen i ≠ j tales que a = a_{i} y b = a_{j}.

Prueba. 1) ⇒ 2). Por 3.1 es suficiente mostrar que hay una secuencia infinita (a_{i} : i < ω) tal que para i < j, tp(a_{i}a_{j}) = tp(ab). Sea p(x, y) = tp(a, b). Se trata de mostrar la consistencia del conjunto de fórmulas

{x_{i} ≠ x_{j} : i < j < ω} ∪ ⋃_{i<j<ω} p(x_{i}, x_{j})

Por compacidad, se reduce a ver que para cada fórmula φ(x, y) ∈ p hay una secuencia infinita (a_{i} : i < ω) tal que ⊧ φ(a_{i}, a_{j}) siempre que i < j < ω. En caso contrario se daría que ¬φ(x, y) es una fórmula finita y por tanto x = y ∨ (¬φ(x, y) ∧ ¬φ(y, x)) es gruesa. En definitiva, ⊧ ¬φ(a, b), en contra de la suposición de que φ ∈ p = tp(ab).

2) ⇒ 3). Obvio.

3) ⇒ 1). Si existe φ(x, y) ∈ nc(x, y) tal que ⊧ ¬φ(a, b), entonces, por indiscernibilidad ⊧ ¬φ(a_{i}, a_{j}) para a_{i} y a_{j} ordenados igual que a y b, contra hipótesis de que φ sea finita.

Hasta ahora hemos introducido dos relaciones en principio alejadas una de otra: E_{L}(x, y), es decir, estar relacionados por cualquier relación de equivalencia acotada e invariante; y nc(x, y), que por el lema anterior se puede entender como formar parte de una secuencia indiscernible. Para vincular ambas nociones, necesitaremos la siguiente definición:

Definición 4.6 Sean φ(x, y) y ψ(x, y) dos fórmulas en los que x e y son secuencias de variables de la misma longitud. Definimos el producto de estas dos fórmulas como

(φ ∘ ψ)(x, y) = ∃z(φ(x, z) ∧ ψ(z, y)).

Sean π_{1}(x, y) y π_{2}(x, y) dos tipos parciales en los que de nuevo x e y son secuencias de variables de la misma longitud y supongamos que π_{1} y π_{2} están cerrados bajo conjunción . Su producto es el tipo

(π_{1} ∘ π_{2})(x, y) = {φ_{1}(x, y) ∘ φ_{2}(x, y) : φ_{1} ∈ π_{1}, φ_{2} ∈ π_{2}}.

Claro está, si π_{1} define la relación R_{1} y π_{2} la relación R_{2}, entonces su producto define la relación compuesta R_{1} ∘ R_{2}. Iterando el producto podemos hablar de potencias π^{n}(x, y) de tipos π(x, y). Obsérvese que π^{n}(x, y) es axiomatizable mediante {φ^{n}(x, y) : φ ∈ π}.

Observación 4.6 Si φ_{1}(x, y) y φ_{2}(x, y) son gruesas, entonces φ_{1}(x, y)∘φ_{2}(x, y) es gruesa. De aquí se deduce que si φ(x, y) es gruesa, también φ^{n}(x, y) es gruesa. Por lo tanto nc(x, y) está cerrado bajo producto.

Prueba. Es prácticamente inmediato: sólo hay que observar que φ_{1}(x, y) ⊢ φ_{1}(x, y) ∘ φ_{2}(x, y). Por lo tanto, si φ_{1}(x, y) ∘ φ_{2}(x, y) no fuera fínita, tampoco lo sería φ_{1}(x, y).

Observaciones 4.7 1. El lema 4.5 nos dice que nc^{n}(x, y) es un tipo parcial cuyas realizaciones son los pares (a, b) que son conectables mediante n secuencias indiscernibles de longitud infinita, es decir, para los que hay a_{1}, …, a_{n+1} y secuencias indiscernibles infinitas I_{1}, …, I_{n} tales que a = a_{1}, b = a_{n+1} y para cada i, a_{i}, a_{i+1} ∈ I_{i}.

2. nc^{n}(x, y) se axiomatiza mediante {φ^{n}(x, y) : φ(x, y) ∈ nc(x, y)}.

3. nc(x, y) ⊇ nc^{2}(x, y) ⊇ nc^{3}(x, y) ⊇ …

4. La clausura transitiva de la relación definida mediante nc(x, y) se define mediante la disyunción infinita ⋁_{n} nc^{n}(x, y).

Proposición 4.8 E_{L}(a, b) si y sólo si ⊧ ⋁_{n} nc^{n}(a, b).

Prueba. ⇒. ⋁_{n} nc^{n}(x, y) es invariante. Además, como cada φ(x, y) ∈ nc define una relación finita, una aplicación elemental del teorema de Erdös-Rado nos da que nc(x, y) es acotada, de manera que también lo es la relación definida por esta disyunción infinita. Por tanto extiende a E_{L}.

⇐. Por la transitividad de E_{L} basta verificar que E_{L}(a, b) siempre que ⊧ nc(a, b). Podemos suponer que a ≠ b, con lo cual a y b están juntos en una secuencia indiscernible infinita I = (a_{i}|i ∈ κ), para κ tan grande como queramos. Si ¬E_{L}(a, b) entonces, por invariancia, también ¬E_{L}(a_{i}, a_{j}) para cualesquiera otros a_{i}, a_{j} ordenados de la misma manera en I. Eso contradice la acotación de E_{L}.

Lema 4.9 1. Si ⊧ nc(a, b), entonces hay un modelo M tal que a ≡_{M} b.

2. Si hay un modelo M tal que a ≡_{M} b, entonces ⊧ nc^{2}(a, b).

Prueba. 1). Sean a y b tales que ⊧ nc(a, b). Por 4.5, existe una secuencia indiscernible I tal que a, b ∈ I empiezan una secuencia infinita indiscernible I. Por 6.1, existe un modelo M para el que I es M-indiscernible. Obviamente, a ≡_{M} b.

2). Supongamos que a ≡_{M} b y sea φ ∈ nc(x, y). Por lo tanto, existe n < ω máximo para el que hay una secuencia (a_{i} : i < n) tal que ¬φ(a_{i}, a_{j}) para i < j. Al ser la última expresión expresable por una fórmula, podemos suponer que la secuencia está dentro de M. Por elección de n, debe haber un i < n tal que ⊧ φ(a, a_{i}). Como a ≡_{M} b, también φ(b, a_{i}) y por simetría ⊧ φ(a_{i}, b).

Corolario 4.10 E_{L}(a, b) si y sólo si existe n y existen modelos M_{1}, …, M_{n} y secuencias a_{1}, …, a_{n} tales que

a ≡_{M_{1}} a_{1} ≡_{M_{2}} a_{2} ≡_{M_{3}} a_{3} ≡ … ≡_{M_{n}} a_{n} = b

Prueba. Inmediato de 4.8 y 4.9.

Pasemos ahora a definir algunos subgrupos de Aut_{A}(ℭ) y a relacionarlos con lo visto hasta ahora:

Definición 4.7 Para A un conjunto de parámetros, el grupo fuerte de automorfismos Autf(ℭ/A) es el subgrupo de Aut_{A}(ℭ) generado por ⋃{Aut_{M}(ℭ)| M un modelo, A ⊆ M}. Con la notación Lstp(a/A) nos referimos al tipo fuerte de Lascar de a sobre A, que definimos como la órbita de a en Autf_{A}(ℭ). En todas estas notaciones, cuando A se omite, se entiende que se trata del conjunto vacío.

Observación 4.11 Autf_{A}(ℭ) es un subgrupo normal de Aut(ℭ/A).

Prueba. Podemos suponer que A = ∅. Sea f ∈ Autf(ℭ) y g ∈ Aut(ℭ). Entonces hay modelos M_{1}, …, M_{n} y automorfismos f_{i} ∈ Aut_{M_{i}}(ℭ) tales que f = f_{1} ⋯ f_{n}. Entonces gf_{i}g^{−1} ∈ Aut_{g(M_{i})}(ℭ) y gfg^{−1} = (gf_{1}g^{−1}) ⋯ (gf_{n}g^{−1}), de modo que gfg^{−1} ∈ Autf(ℭ).

Proposición 4.12 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. E_{L}(a, b)

2. Lstp(a) = Lstp(b)

3. f(a) = b para algún f ∈ Autf(ℭ).

Prueba. 1) ⇔ 2). Por 4.10.

1) ⇔ 2). Inmediato a partir de las definiciones.

Definición 4.8 1. Saut_{A}(ℭ) es el subgrupo de Aut_{A}(ℭ) formado por los automorfismos f tales que para cada relación de equivalencia finita y A-definible E establecida entre tuplas de ℭ se tiene E(a, f(a)) para cada tupla a de la longitud correspondiente.

2. Para cada secuencia a, el tipo fuerte (de Shelah) de a, stp(a) es la clase de equivalencia de a para la relación E_{Sh}; stp(a|A) será lo mismo, pero permitiendo que las relaciones estén definidas sobre A.

Para poder dar una definición equivalente de stp es necesario definir la noción de imaginario: un imaginario es una clase de equivalencia a/E de una tupla a en una relación de equivalencia E definible sobre ∅. Los imaginarios conforman una estructura multivariada ℭ^{eq} en la que cada cociente asociado a una relación de equivalencia entre tuplas E definible sin parámetros es un nuevo universo. Se conserva la estructura de ℭ en el universo asociado a la igualdad y se añaden las proyecciones π_{E} : ℭ^{n} → ℭ^{n}/E definidas por π_{E}(a) = a/E. Todo automorfismo de ℭ es extiende de modo único a un automorfismo de ℭ^{eq}; acl^{eq}(A) es la clausura algebraica de A calculada en ℭ^{eq}.

Lema 4.13 Las siguientes condiciones son equivalentes para una relación definible R ⊆ ℭ^{n}.

1. R tiene órbita finita en Aut(ℭ/A)

2. R es una unión de clases de una relación de equivalencia finita y definible sobre A.

3. R es definible sobre acl^{eq}(A).

4. R es definible sobre cualquier M ⊇ A.

Prueba. 1) ⇒ 2). Sean R_{1}, …, R_{n} los distintos A–conjugados de R. Consideremos la relación de equivalencia E(a, b) ↔ ⋀_{i=1}^{n}(a ∈ R_{i} ↔ b ∈ R_{i}). E es definible y es A-invariante, de modo que es definible sobre A. Es claro que cada R_{i} es una unión de clases de E.

2) ⇒ 3). Sea φ(x, y, u) una fórmula y c ⊆ A tal que E(x, y) = φ(x, y, c) sea una relación de equivalencia finita y tal que R = a_{1}/E ∨ … ∨ a_{n}/E. El problema que aquí aparece es que los a_{i}/E no son imaginarios, pues la relación de equivalencia que los determina no es definida sobre ∅. Busquemos tal relación:

F (ux, vy) ↔ (u = v ∧ ”φ(x, y, u) es rel. de equiv. en x, y”) ∨ (”φ no es de equiv.”)

Entonces F es una relación de equivalencia sobre ∅, ca_{i}/F es un imaginario, pertenece a acl^{eq}(A) y x ∈ R ↔ π_{F} (c, x) = ca_{1}/F ∨ … ∨ π_{F} (c, x) = ca_{n}/F.

3) ⇒ 4). Es claro que R debe ser definible sobre cada M^{eq} ⊇ A pues acl^{eq}(A) ⊆ M^{eq}. De aquí es prácticamente inmediato ver que debe serlo en ℭ para cada M ⊇ A.

4) ⇒ 1). Sea M ⊇ A un modelo de cardinalidad κ = |A| + |T |. Si R tiene infinitos A-conjugados entonces debe tener un número no acotado de ellos, pues si escribimos R = φ(ℭ, b) y p(z) = tp(b|A), por compacidad el conjunto de fórmulas

{φ(c_{i}, b_{i})|i ∈ λ} ∪ {¬φ(c_{i}, b_{j}|i < j < λ} ∪ {p(b_{i})|i ∈ λ}

sería consistente para todo λ. En particular habría κ^{+} A-conjugados, digamos que estos son (R_{i} : i < κ^{+}). Entonces cada R_{i} sería también definible sobre M. Pero hay a lo sumo κ definiciones posibles con parámetros en M, de modo que dos de estos conjugados deben tener la misma definición y por ello deben coincidir.

Lema 4.14 1. stp(a/A) = stp(b/A) si y sólo si tp(a/acl^{eq}(A)) = tp(b/acl^{eq}(A))

2. Saut(ℭ/A) = Aut(ℭ/acl^{eq}(A))

Prueba. Por el lema anterior.

Observación 4.15 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. stp(a/A) = stp(b/A)

2. E_{Sh}(a, b)

3. f(a) = b para algún f ∈ Saut_{A}(ℭ)

Prueba. 1) ⇔ 2). Inmediato a partir de las definiciones.

2) ⇔ 3) Por 4.14

5. El teorema de Independencia

En esta sección, T será simple. Para facilitar la notación, trabajaremos sin parámetros. Una breve reflexión debe mostrar que todo lo dicho también vale con ellos.

Lema 5.1 Consideremos elementos a y b tales que nc(a, b). Para todo c | ⌣_{a} b, existe d tal que nc(ac, bd).

Prueba. Sea secuencia I tal que abI es indiscernible. Entonces bI es a-indiscernible. Como c | ⌣_{a} b, por el lema 2.4, existe I′ tal que I′ ≡_{ab} I y bI′ es ac-indiscernible. Podemos suponer que I′ = I. Denotemos I = (b_{i}|i ≥ 2), a = b_{0} y b = b_{1}. Construyamos una sucesión (c_{n}|n ∈ ω) de la manera siguiente: c_{0} = c; como b_{0}b_{1} … ≡ b_{n}b_{n+1} …, conjugando existe c_{n} tal que cb_{0}b_{1} ≡ c_{n}b_{n}b_{n+1}. Así, ca = cb_{0} ≡ c_{n}b_{n} y cb = cb_{1} ≡ c_{n}b_{n+1} para todo n. Por otra parte, como bI es ac-indiscernible,cab = cab_{1} ≡ cab_{m+1} ≡ c_{n}b_{n}b_{n+m+1}, para todo n y m. Consideremos la secuencia (b_{n}c_{n}|n ∈ ω). Por 3.1, existe (d_{n}e_{n}|n ∈ ω) indiscernible tal que para algún n y m, e_{0}d_{0}d_{1} ≡ c_{n}b_{n}b_{n+m+1} ≡ cab. Por lo tanto, podemos suponer que e_{0} = c, d_{0} = a y d_{1} = b. El d buscado será e_{1}.

Observación 5.2 La propiedad anterior falla en general: Si a_{0}, a_{1}, … es una secuencia indiscernible y b = a_{1}, entonces no existe c tal que a_{0}b, a_{1}c empieza una secuencia indiscernible.

Lema 5.3 Sean fórmulas φ y ψ tales que φ(x, a) ∧ ψ(x, b) no bifurca sobre ∅. Si nc(b, c) y a | ⌣_{b} c, entonces φ(x, a) ∧ ψ(x, c) no bifurca sobre ∅.

Prueba. Sea d tal que nc(ba, cd). Por 3.14, φ(x, a) ∧ ψ(x, b) ∧ φ(x, d) ∧ ψ(x, c) no bifurca sobre ∅; por lo tanto, φ(x, a) ∧ ψ(x, c) tampoco bifurca.

Lema 5.4 Supongamos que φ(x, a) ∧ ψ(x, b) no bifurca sobre ∅. Si Lstp(b) = Lstp(c) y a | ⌣ bc, entonces φ(x, a) ∧ ψ(x, c) no bifurca sobre ∅.

Prueba. Al tener Lstp(b) = Lspt(c), existe n y elementos b = b_{1}, …, b_{n−1}, b_{n} = c tales que nc(b_{i}, b_{i+1}). Sea a′ tal que a′ ≡_{bc} a y a′ | ⌣_{bc} b_{1}, …, b_{n}.Por transitividad, a′ | ⌣ b_{1}, …, b_{n}. Ahora aplicando reiteradamente el lema 5.3, obtenemos φ(x, a) ∧ ψ(x, c) no bifurca sobre ∅.

El siguiente lema es análogo al de extensión de tipos no bifurcantes:

Lema 5.5 Para todo A ⊆ B y a, existe b tal que Lstp(a|A) = Lstp(b|A) y b | ⌣_{A} B.

Prueba. Escojamos un M ⊇ A tal que a | ⌣_{A} M y consideremos p = tp(a|M). Sea q ∈ S(MB) una extensión no bifurcante de p y b ⊧ q. Como tp(b|M) = tp(a|M), tenemos Lstp(a|A) = Lstp(b|A); aplicando transitividad, b | ⌣_{A} B.

Teorema 5.6 ( Teorema de Independencia sobre tipos de Lascar) Sea a | ⌣ b tal que los tipos tp(c|a) y tp(d|b) no bifurcan sobre ∅ y Lstp(c) = Lstp(d). Entonces:

1. Existe p ∈ S(ab), p ⊇ tp(c|a) ∪ tp(d|b) tal que p no bifurca sobre ∅.

2. Podemos añadir la condición de que existe e ⊧ p tal que Lstp(e) = Lstp(c)(= Lstp(d)).

Prueba. 1). Veamos que tp(c|a) ∪ tp(d|b) no bifurca sobre ∅ ( como todo tipo parcial no bifurcante se puede extender a uno completo, ya estará). Sea φ(x, a) ∈ tp(c|a) y ψ(x, b) ∈ tp(d|b). Se trata de comprobar que φ(x, a) ∧ ψ(x, b) no bifurca sobre ∅. Por 5.5, podemos encontrar b′ tal que Lstp(cb′) = Lstp(db) y b′ | ⌣_{c} ab. Tenemos ⊧ φ(c, a) ∧ ψ(c, b′) y c | ⌣ ab′. Por lo tanto, φ(x, a)∧ψ(x, b′) no bifurca sobre ∅. Como a | ⌣ bb′, el lema 5.4 nos da φ(x, a)∧ ψ(x, b) no bifurca sobre ∅.

2). Utilizaremos lo demostrado en 1. Sea M un modelo que contiene a a y M | ⌣_{a} b (existe por extensión). Como a | ⌣ b, por transitividad obtenemos que M | ⌣ b. Elijamos ahora un modelo N que contiene a b y N | ⌣_{b} M. Por lo tanto, M | ⌣ N. Apliquemos ahora 5.5 para encontrar c′ y d′ tal que Lstp(c′|a) = Lstp(c|a), c′ | ⌣_{a} M (y por lo tanto c′ | ⌣ M), Lstp(d′|b) = Lstp(d|b) y d′ | ⌣_{b} N (y por lo tanto d′ | ⌣ M)). Aplicando 1), encontramos e | ⌣ MN (luego e | ⌣ ab) y e ≡_{M} c′ (obteniendo Lstp(e) = Lstp(c′) = Lstp(c)) y e ≡_{N} d′ (es decir, Lstp(e) = Lstp(d′) = Lstp(d)).

Corolario 5.7 (Teorema de Independencia sobre modelos) Sea M un modelo, p(x) ∈ S(M), A y B dos conjuntos que extienden M tales que A | ⌣_{M} B, q ∈ S(A) y r ∈ S(B) extensiones no bifurcantes de p. Entonces existe s ∈ S(AB) extendiendo a q y r tal que s no bifurca sobre M.

Prueba. Inmediato a partir del teorema de Independencia sobre tipos de Lascar, teniendo en cuenta que si tp(c|M) = tp(d|M) entonces Lstp(c|M) = Lstp(d|M).

Del teorema de independencia para Lstp se deduce el siguiente hecho:

Lema 5.8 Supongamos que Lstp(a_{0}) = Lstp(a_{1}) y a_{0} | ⌣ a_{1}. Entonces existe una secuencia de Morley (a_{i}|i ∈ ω). En particular, nc(a_{0}, a_{1}).

Prueba. Veamos por inducción que existe I = (a_{i}|i ∈ ω) tal que para todo n:

i) a_{0}a_{1} ≡ a_{i}a_{j}, para i < j ≤ n.

ii) {a_{i}|i ≤ n} son independientes.

iii) Para todo i, Lstp(a_{i}) = Lstp(a_{0}).

Para n = 2 es obvio. Supongámoslo para n: sea p(x, a_{0}) = tp(a_{1}|a_{0}). Aplicando 5.6 reiteradamente, existe a_{n+1} ⊧ ⋃_{i≤n} p(x, a_{i}) tal que a_{n+1} | ⌣ a_{<n+1}. Así, a_{n+1}a_{i} ≡ a_{n+1}a_{0} ≡ a_{1}a_{0}.

Una vez construida la sucesión, por Ramsey podemos suponer que es indiscernible.

Como consecuencia,obtenemos que en las teorías simples, la igualdad de tipos fuertes de Lascar es tipo definible (y, por tanto, E_{L} = E_{KP}):

Teorema 5.9 Para todo a, b son equivalentes:

1. Lstp(a) = Lstp(b)

2. nc(a, y) ∧ nc(b, y) es consistente.

3. nc(a, y) ∧ nc(b, y) no bifurca sobre ∅. En particular, la igualdad de tipos fuertes de Lascar es tipo definible por ∃z(nc(x, z) ∧ nc(y, z)). Prueba. Obviamente, 3) ⇒ 2) y 2) ⇒ 1). Supongamos 1). Por 5.5, existe c tal que Lstp(c) = Lstp(a) y c | ⌣ ab. El lema 5.8 nos da 3).

Corolario 5.10 Sea T simple. Para todo conjunto A, Lstp(a|A) = Lstp(b|A) si y sólo si para cada c ⊆ A finito, Lstp(c|A) = Lstp(c|A)

Lema 5.11 Sea T simple. Son equivalentes:

1. Para todo a, b Lstp(a) = Lstp(b) si y sólo si tp(a) = tp(b).

2. El teorema de Independencia vale para tp.

3. Si a_{0} ≡ a_{1} y a_{0} | ⌣ a_{1}, existe una secuencia de Morley (a_{i}|i ∈ ω) de tp(a_{0}).

4. Si a_{0} ≡ a_{1} y a_{0} | ⌣ a_{1}, existe una secuencia indiscernible (a_{i}|i ∈ ω) de tp(a_{0}).

Prueba. 1) ⇒ 2). Obvio.

2) ⇒ 3). Análogo a la demostración de 5.8.

3) ⇒ 4). Obvio.

4) ⇒ 1). Supongamos tp(a) = tp(b) y tomemos c ≡ a tal que c | ⌣ ab. Por hipótesis, nc(c, a) y nc(c, b). Por lo tanto: Lstp(a) = Lstp(c) = Lstp(b).

Corolario 5.12 Sea T simple. Son equivalentes:

1. Para todo a, b Lstp(a) = Lstp(b) si y sólo si stp(a) = stp(b).

2. El teorema de Independencia vale para stp.

3. Si stp(a_{0}) = stp(a_{1}) y a_{0} | ⌣ a_{1}, existe una secuencia de Morley (a_{i}|i ∈ ω) de tp(a_{0}).

4. Si stp(a_{0}) = stp(a_{1}) y a_{0} | ⌣ a_{1}, existe una secuencia indiscernible (a_{i}|i ∈ ω) de tp(a_{0}).

6. Nociones abstractas de independencia

Lema 6.1 Sea I = (a_{i}|i ∈ ω) una secuencia A-indiscernible. Existe un modelo M ⊇ A tal que I es M-indiscernible.

Prueba. Sea M′ ⊇ A, q(x_{<ω}) = tp(a_{<ω}|A) y Γ(x_{<ω}) el conjunto de fórmulas expresando ”x_{<ω} es M′-indiscernible”. Veamos que Γ ∪ q es consistente:

Sea Γ^{∗} ⊆ Γ de la forma:

Γ^{∗} = {φ_{l}(x_{i_{0}}, …, x_{i_{n}}) ↔ φ_{l}(x_{j_{0}}, …, x_{j_{n}})|l < k, i_{0} < … < i_{n}, j_{0} < … < j_{n}, φ_{l} ∈ L(M′)}

Una aplicación de Ramsey nos da τ ⊆ ω, |τ| = ω tal que (a_{i}|i ∈ τ) ⊧ Γ′. Por otra parte, como (a_{i}|i ∈ τ) ≡ a_{<ω}, (a_{i}|i ∈ τ) ⊧ q. Por compacidad, sea b_{<ω} una realización de Γ ∪ q. Si tomamos f ∈ Aut_{A}(ℭ) con f(b_{<ω}) = a_{<ω}, entonces a_{<ω} es f(M′)-indiscernible.

Teorema 6.2 Sea T una teoría cualquiera, Γ una relación entre tipos p ∈ S(B) y conjuntos A ⊆ B invariante por automorfismos cumpliendo las siguientes condiciones( usaremos la notación a | ⌣_{A}^{∗} b para indicar (tp(a|Ab), A) ∈ Γ):

i) a | ⌣_{A}^{∗} b ⇔ b | ⌣_{A}^{∗} a.

ii) a | ⌣_{A}^{∗} C ⇔ a | ⌣_{A}^{∗} B y a | ⌣_{B}^{∗} C para A ⊆ B ⊆ C.

iii) Para cada p ∈ S(A) y B ⊇ A, existe una extensión q ∈ S(B) de p con (q, A) ∈ Γ-

iv) Para todo p ∈ S(B), existe A ⊆ B de cardinalidad menor que |T |^{+} tal que (p, A) ∈ Γ.

v) a | ⌣_{A}^{∗} B ⇔ a | ⌣_{A}^{∗} b para todo b ⊆ B finito.

Entonces:

1. Si Γ satisface:

vi) (teorema de independencia sobre modelos para | ⌣^{∗}) Si a | ⌣_{M}^{∗} b, M es un modelo, p ∈ S(M) y tenemos tipos p_{1} ∈ S(Ma) y p_{2} ∈ S(Mb) extensiones de p tales que (p_{i}, M) ∈ Γ, entonces existe p_{3} ⊇ p_{1} ∪ p_{2}, p_{3} ∈ S(Mab) tal que (p_{3}, M) ∈ Γ.

Entonces Γ también satisface:

vii) Para todo p(x, a_{0}) ∈ S(Aa_{0}) y I = (a_{i}|i ∈ ω) secuencia A-indiscernible , si

(p, A) ∈ Γ, entonces existe b ⊧ ⋃_{i∈ω} p(x, a_{i}) tal que (tp(b, AI), A) ∈ Γ.

2. Si Γ satisface de i) a vi), T es simple y Γ es la noción de independencia (i.e.,(p, A) ∈ Γ ⇔ p no bifurca sobre A).

Prueba.1). Sea (a_{i}|i ∈ ω) una secuencia A-indiscernible tal que (p(x, a_{0}), A) ∈ Γ. Alarguemos la sucesión a I = (a_{i}|i ≤ λ) con λ = |T |^{+}. Aplicando el lema 6.1, podemos obtener una sucesión de modelos(M_{i}|i < λ) tales que A ∪ M_{<i}a_{<i} ⊆ M_{i} y (a_{j}|i < j < λ) es M_{i}- indiscernible para cada i < λ. Por iv), existe un i tal que a_{λ} | ⌣_{M_{i}}^{∗} ∪_{i<λ}M_{i}. Por ii), para cada α, a_{λ} | ⌣_{M_{i}}^{∗}(a_{j}|i ≤ j ≤ α). Al ser (a_{j}|i ≤ j < λ) M_{i}-indiscernible y Γ invariante por automorfismos, para todo j ∈ ω se tiene a_{i+j} | ⌣_{M_{i}}^{∗}(a_{i+k}|k < j). Así la secuencia (a_{i+j}|j ∈ ω) es M_{i}- indiscernible y | ⌣^{∗}-M_{i}-independiente. Si consideramos un f ∈ Aut_{A}(ℭ) tal que f(a_{i+j}) = a_{j} y llamamos M a f(M_{i}) ⊇ A, (a_{i}|i ∈ ω) es M-indiscernible y | ⌣^{∗}-M-independiente. Sea p′(x, a_{0}) ∈ S(Ma_{0}), p ⊆ p′ con (p′(x, a_{0}), M) ∈ Γ; luego (p′(x, a_{i}), M) ∈ Γ, para todo i ∈ ω. Aplicando vi)( e inducción) se obtiene b ⊧ ⋃_{i∈ω} p′(x, a_{i}) ( y, por lo tanto, b ⊧ ⋃_{i∈ω} p^{(}x, a_{i})) tal que tp(b|Ma_{<ω}), M) ∈ Γ. Como tp(b|M) ⊆ p′(x, a_{0}) y (p′(x, a_{0}), A) ∈ Γ, se tiene (tp(b|M), A) ∈ Γ. Aplicando ii), (tp(b|Ma_{<ω}), A) ∈ Γ. Una última aplicación de ii) nos da (tp(b|Aa_{<ω}), A) ∈ Γ.

2). Si vemos que i) − v) y vii) implica que

(p, A) ∈ Γ ⇔ p no divide sobre A

pues el carácter local de la división caracteriza la simplicidad. Por v), es suficiente verlo para p = p(x, b) ∈ S(Ab), con b finito.

Supongamos que (p, A) ∉ Γ. Tenemos que demostrar que p divide sobre A. Por las propiedades de Γ, se puede construir una secuencia A-indiscernible (b_{i}|i ∈ κ) tal que b_{i} | ⌣_{A}^{∗} b_{<i} y b = b_{0} con κ = |T |^{+}. Demostrando que ⋃_{i<κ} p(x, b_{i}) es inconsistente ya habremos acabado. Supongamos lo contrario: existe a ⊧ p(x, b_{i}) para todo i < κ. Así a |̸ ⌣_{A}^{∗} b_{i}, por lo que una aplicación de i) y ii) nos da a |̸ ⌣_{Ab_{<i}}^{∗} b_{i} para todo i < κ. pero este último hecho contradiría el carácter local de | ⌣^{∗}.

Supongamos que (p, A) ∈ Γ y veamos que p no divide sobre A. Sea (b_{i}|i ∈ I una secuencia A-indiscernible. Por vii), ⋃_{i∈I} p(x, b_{i}) es consistente; por lo tanto, p no puede dividir sobre A.

7. En las teorías simples y pequeñas, Lstp=stp.

En esta sección, T será numerable.

Definición 7.1 Una teoría T es pequeña (small) cuando |S(∅)| ≤ ω.

Observación 7.1 Si T es pequeña, entonces |S(A)| ≤ ω para todo conjunto A finito.

La propiedad básica que utilizaremos de las teorías pequeñas está relacionada con un cierto rango que definimos a continuación:

Definición 7.2 Sea A un conjunto de parámetros. El rango de Cantor-Bendixon (CBR) (sobre A) es la mínima función del conjunto de las A-fórmulas consistentes en Ord ∪ {∞} satisfaciendo:

CBR(φ(x)) ≥ α+1 si y sólo si existen fórmulas dos a dos contradictorias (φ_{i}(x)|i ∈ ω) tales que φ_{i}(x) ⊢ φ(x) y CBR(φ_{i}(x)) ≥ α para todo i ∈ ω.

Para un tipo parcial π(x) sobre A, CBR(π) = min{CBR(φ)|φ ∈ π}.

El grado de Cantor-Bendixon (CBD) de un tipo parcial π(x) sobre A es el número de tipos completos en [π(x)] con rango CBR igual al de π(x).

Lema 7.2 En una teoría pequeña, para toda fórmula φ(x), CBR(φ(x)) < ∞.

Prueba. Supongamos que CBR(φ(x)) = ∞. Como hay una cantidad numerable de fórmulas sobre el vacío, CBR(φ(x)) = ∞ si y sólo si CBR(φ(x)) ≥ ω_{1}. De esta manera podríamos construir un árbol de fórmulas (φ_{s}|s ∈ 2^{<ω}) todas de rango ∞ y tal que ⊧ φ_{s⌢i}(x) → φ_{s}(x) y ⊧ ¬(φ_{s⌢0}(x) ∧ φ_{s⌢1}(x)). Así se obtendrían un continuo de tipos sobre el vacío.

Lema 7.3 Sea T pequeña. Sea E(x, y) una relación de equivalencia tipo definible tal que para todo a y b, si tp(a) = tp(b), entonces ⊧ E(a, b). Bajo estas condiciones, existen relaciones de equivalencia definibles E_{i}(x, y) tales que:

E(a, b) ⇔ ⋂_{i} E_{i}(a, b)

Prueba. Tomemos a y b tales que ¬E(a, b) y consideremos p(x) = tp(a) y q(y) = tp(b). Al ser E más gruesa que la igualdad de tipos, p(x) ∪ q(y) ∪ E(x, y) es inconsistente. Elijamos φ ∈ p y ψ ∈ q atestiguando la inconsistencia tales que el abierto-cerrado [¬φ ∧ ¬ψ] de S(∅) tenga rango y grado de Cantor-Bendixon mínimo (al ser T pequeña, por 7.2 sabemos que este rango existe). Veamos que [¬φ ∧ ¬ψ] = ∅. En caso contrario, existiría r ∈ [¬φ ∧ ¬ψ] tal que CBR(r) = CBR([¬φ ∧ ¬ψ]); {φ(x)} ∪ r(y) ∪ E(x, y) o {ψ(x)} ∪ r(y) ∪ E(x, y) es inconsistente. Situémosnos en el primer caso( los dos se tratan de igual manera). Así existe σ(y) ∈ r tal que {φ(x), σ(y)} ∪ E(x, y) es inconsistente. Por lo tanto ψ(y) ∨ σ(y) ∈ q y {φ(x), ψ(y) ∨ σ(y)} ∪ E(x, y) es inconsistente. Pero, como [¬φ ∧ ¬(ψ ∨ σ)] ⊆ [¬φ ∧ ¬ψ] tendríamos:

CBR(¬φ ∧ ¬(ψ ∨ σ)) < CBR(¬φ ∧ ¬ψ) o

CBR(¬φ∧¬(ψ∨σ)) = CBR(¬φ∧¬ψ) y entonces CBD(¬φ∧¬ψ) = CBD(¬φ∧¬ψ∧ ¬σ)) + CBD(¬φ ∧ ¬ψ ∧ σ)) y por lo tanto, CBD(¬φ ∧ ¬ψ ∧ ¬σ)) < CBD(¬φ ∧ ¬ψ).

Por lo tanto [¬φ ∧ ¬ψ] = ∅, es decir, φ ≡ ¬ψ. Denotemos φ = φ_{ab}. Así es fácil ver que

E(x, y) ⇔ ⋃_{ab}{φ_{ab}(x) ↔ φ_{ab}(y)|¬E(a, b)}

donde cada fórmula de la derecha define una relación de equivalencia.

Lema 7.4 Sea T pequeña y r(x, y) una relación de equivalencia tipo definible y p(x) ∈ S(∅). Entonces existen r_{i}(x, y) fórmulas que definen relaciones de equivalencias tales que:

p(x) ∪ p(y) ∪ r(x, y) ⇔ p(x) ∪ p(y) ∪ {r_{i}(x, y)|i ∈ ω}

Prueba. Sea c ⊧ p(x). Definamos la relación siguiente sobre c:

E(x, y) ⇔ ∃z(tp(cx) = tp(zy) ∧ r(c, z))

Es de equivalencia:

Reflexividad: obvio.

Simetría: sea E(a, b); por lo tanto, existe z tal que ca ≡ zb y r(c, z). Conjugando, existe z′ tal que caz′ ≡ zbc, es decir cb ≡ z′a. Además r(c, z) implica r(z′, c), es decir r(c, z′). Por consiguiente, z′ atestigua que E(b, a).

Transitividad: sea E(a, b) y E(b, d): existen z, z′ tal que ca ≡ zb, cb ≡ z′d y r(c, z′). Conjugando, cac′ ≡ zbc ≡ z′′dz′. Luego ca ≡ z′′d y r(c, z) implica r(z′, z′′); como r(c, z′), la transitividad de r nos da r(c, z′′), es decir E(a, d).

Además, tp(a|c) = tp(b|c) implica E(a, b). Aplicando 7.3( teniendo en cuenta que S(c) ≤ ω)), existen E_{i}(x, y, c) relaciones de equivalencia c-definibles tales que:

E(x, y) ⇔ ⋂ E_{i}(x, y, c)

Sea r_{i} ⇔ ∀u(E_{i}(u, x, x) ↔ E_{i}(u, y, y). Veamos que estos r_{i} sirven. Para ello,comprobemos que p(y) ⊧ r(c, y) ↔ ⋀_{i∈ω} r_{i}(c, y).

Sea a ⊧ p. Si ⊧ r(c, a), tomemos u cualesquiera. Conjugando, existe u′ tal que cu′ ≡ au. Por lo tanto, tenemos E(u, u′): es decir, para todo i ∈ ω se cumple E_{i}(u, u′, c). Por consiguiente,

E_{i}(u, c, c) ↔ E_{i}(u′, c, c) ↔ E_{i}(u, a, a)

con la primera equivalencia debido a que los E_{i} son relaciones de equivalencia y la segunda porque cu′ ≡ au. Todo esto nos da ⊧ ⋀_{i} r_{i}(c, a).

Para ver la dirección contraria, supongamos que ⊧ ⋀_{i} r_{i}(c, a). Al ser las E_{i} relaciones de equivalencia, tenemos E_{i}(c, c, c). Como a ≡ c, E_{i}(a, a, a). Luego, aplicando la hipótesis, E_{i}(a, c, c) para todo i, es decir E(a, c). Esto nos dice que existe z con ca ≡ zc tal que ⊧ r(c, z): por tanto, ⊧ r(a, c)

Teorema 7.5 Sea T simple y pequeña. Entonces Lstp es lo mismo que stp sobre cualquier conjunto A.

Prueba. Sea A un conjunto de parámetros. Veamos que Lstp(a|A) = Lstp(b|A) ↔ stp(a|A) = stp(b|A). Como dos tuplas tienen el mismo stp ( y, en el caso de T simple, el mismo Lstp) sobre un conjunto A si y sólo si lo tienen sobre todo subconjunto finito de A, podemos suponer que A = ∅. Sea r(x, y) definiendo Lstp y tomemos tuplas a y b tales que stp(a) = stp(b). Veamos que ⊧ r(a, b).

Sea p = tp(a). Por 8.9, existen r_{i} tales que

p(x) ∪ p(y) ∪ r(x, y) ⇔ p(x) ∪ p(y) ∪ {r_{i}(x, y)|i ∈ ω}

Para cada r_{i} y φ ∈ p definimos la relación de equivalencia r_{i}^{φ}(x, y) = (¬φ(x) ∧ ¬φ(y)) ∨ (φ(x) ∧ φ(y) ∧ r_{i}(x, y)). Ahora, para cada i ∈ ω, existe φ_{i} tal que r_{i}^{φ_{i}} tiene finitas clases de equivalencia( si no, r(x, y) no sería acotado, pues, dado (a_{i}|i ∈ I), el conjunto {p(a_{i}|i ∈ I} ∪ {¬r(a_{i}, a_{j})|i ≠ j} sería consistente). Así,

p(x)∪p(y)∪{r_{i}^{φ_{i}}(x, y)|i ∈ ω} ⇒ {φ_{i}(x)∧φ_{i}(y)∧r_{i}^{φ_{i}}(x, y)|i ∈ ω} ⇒ {φ_{i}(x)∧φ_{i}(y)∧r_{i}(x, y)|i ∈ ω}

Luego, si stp(a) = stp(b) se cumple ⊧ p(a)∪p(b)∪{r_{i}^{φ_{i}}(a, b)|i ∈ ω}, y por lo tanto, ⊧ r_{i}(a, b) para todo i. Obtenemos de esta manera ⊧ r(a, b).

Corolario 7.6 Si T es simple y ω-categórica, Lstp es lo mismo que stp sobre cualquier conjunto A.

8. Teorías bajas

Pasemos a estudiar las teorías bajas (low).

Definición 8.1 Una fórmula φ(x, y) es baja si existe m = m_{φ} < ω tal que no hay ninguna secuencia (b_{i}|i < m+1) cumpliendo: {φ(x, b_{i})|i < m+1} consistente y para cada i < m+1, φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i}

Una teoría es baja si toda fórmula φ es baja.

Observación 8.1 Las teorías bajas son simples.

Lema 8.2 Sea T simple, φ(x, y) una fórmula. Son equivalentes:

1. Existe k tal que para toda secuencia (b_{i}|i ∈ ω) indiscernible, si {φ(x, b_{i})|i ∈ ω} es inconsistente, entonces es k − inconsistente.

2. Existe k < ω tal que D_{φ}( ) = D( , φ, k).

3. D_{φ}(x = x) < ω.

4. φ(x, y) es baja.

Prueba.1) ⇒ 2). Se toma k de la definición.

2) ⇒ 3). Inmediato.

3) ⇒ 4). Si no existe tal m, D_{φ}(x = x) > m, para todo m; es decir, D_{φ}(x = x) ≮ ω.

4) ⇒ 1). Si (b_{i}|i < ω) es una secuencia indiscernible tal que {φ(x, b_{i})|i ∈ ω} es inconsistente, φ(x, b_{i}) divide sobre b_{<i} para todo i ∈ ω . Por lo tanto,si m es la cota de 4), {φ(x, b_{i})|i < m + 1} es inconsistente.

Observación 8.3 Sea T simple, φ(x, y) una fórmula gruesa. Entonces para todo a, φ(x, a) no bifurca sobre ∅.

Prueba. Sea I = (a_{i}|i ∈ ω) indiscernible. Para todo k, φ(x, a_{0})∧…∧φ(x, a_{k}) es consistente (pues a_{k+1} ⊧ φ(x, a_{i}) para i ≤ k).

Definición 8.2 Sea φ(x, y) una fórmula y p un tipo tal que para todo a ⊧ p, φ(x, a) no bifurca sobre ∅. Definimos E_{p,φ} como

E_{p,φ}(a, a′) ⇔ ∀a^{∗} ⊧ p, con a^{∗} | ⌣ aa′, φ(x, a^{∗})∧φ(x, a) bifurca si y sólo si φ(x, a^{∗})∧φ(x, a′) bifurca

Observación 8.4 E_{p,φ} es una relación de equivalencia acotada.

Prueba. Veamos primero que es relación de equivalencia. La reflexividad y simetría son obvias. En cuanto a la transitividad, supongamos E_{p,φ}(a, a′) y E_{p,φ}(a′, a′′). Queremos ver E_{p,φ}(a, a′′). Sea a^{∗} ⊧ p, a^{∗} | ⌣ aa′′. Tomemos ã ≡_{aa′′} a^{∗} tal que ã | ⌣_{aa′′} a′. Por transitividad, ã | ⌣ aa′′a′. Así podemos establecer la siguiente cadena de equivalencias: φ(x, a^{∗}) ∧ φ(x, a) no bifurca ⇔ φ(x, ã)∧φ(x, a) no bifurca ⇔ φ(x, ã)∧φ(x, a′) no bifurca ⇔ φ(x, ã)∧ φ(x, a′′) no bifurca ⇔ φ(x, a^{∗}) ∧ φ(x, a′′) no bifurca.

En cuanto a la acotación, se deduce de que Lstp(a) = Lstp(b) implica que E_{p,φ}(a, b) (por 5.4).

Lema 8.5 Sea p ∈ S(∅), a, b ⊧ p. Son equivalentes:

1. Lstp(a) = Lstp(b)

2. E_{p,φ}(a, b), para toda φ ∈ nc

Prueba.1) ⇒ 2). Visto en 5.4

2) ⇒ 1). Sea c | ⌣ ab tal que Lstp(c) = Lstp(a). Por el lema 5.9, φ(x, c) ∧ φ(x, a) no bifurca para toda φ ∈ nc. Por hipótesis, φ(x, c) ∧ φ(x, b) no bifurca para toda φ ∈ nc. Así, nc(x, c) ∧ nc(x, b) no bifurca. Otra vez por 5.9, Lstp(c) = Lstp(b).

Pasemos a tratar algunas cuestiones de definibilidad:

Lema 8.6 Para todo k y φ(x, y), el conjunto {b|φ(x, b) divide respecto a k} es tipo definible.

Prueba. Obvio.

Lema 8.7 Si T es baja, para todo k y φ(x, y), el conjunto {b|φ(x, b) bifurca respecto a k} es tipo definible.

Prueba. Por 8.6.

Lema 8.8 Sea p ∈ S(∅), q tipo parcial. Entonces, S = {(a, b)|a ⊧ p, b ⊧ q, b | ⌣ a} es tipo definible.

Prueba. Sea Σ(x, y) = p(y) ∪ q(x) ∪ {¬φ(x, y)| existe c ⊧ p(y), tal que φ(x, c) bifurca}. Veamos que Σ define S: si (a, b) ∉ S con a ⊧ p y b ⊧ q, entonces b |̸ ⌣ a. Por lo tanto,existe φ(x, a) ∈ tp(b|a), tal que φ(x, a) bifurca. Esto nos dice que ¬φ(x, y) ∈ Σ. Así, (a, b) ⊭ Σ.

Para la otra dirección, si (a, b) ⊭ Σ, a ⊧ p y b ⊧ q, existe φ(x, y) tal que ⊧ φ(b, a) y para algún c ⊧ p, φ(x, c) bifurca. Por lo tanto, φ(x, a) bifurca: b |̸ ⌣ a.

Lema 8.9 Sea p ∈ S(∅) y E ⊆ ℭ × ℭ tal que E ⋂ p^{2}(ℭ) es relación de equivalencia acotada y Ē ⋂ p^{2}(ℭ) es tipo definible( donde Ē denota el complementario de E). Entonces E ⋂ p^{2}(ℭ) es finita y definible. Además, existe relación de equivalencia finita y definible en todo el universo con la que E coincide en p ( i.e., existe θ(x, y) definiendo una relación de equivalencia finita tal que para a y b realizaciones de p, (a, b) ∈ E si y sólo si ⊧ θ(a, b)).

Prueba. Veamos primero que E ⋂ p^{2}(ℭ) es finita: en caso contrario, existirían (a_{i}|i ∈ ω) ∈ p(ℭ) tales que ¬E(a_{i}, a_{j}) para i ≠ j, es decir Ē(a_{i}, a_{j}); al ser Ē definible, contradiríamos que E es acotada.

Pasemos a comprobar la definibilidad de E ⋂ p^{2}(ℭ): sabemos que, abusando de la notación, en p(ℭ) se da Ē(x, y) = ⋀_{i∈I} φ_{i}(x, y), es decir E(x, y) = ⋁_{i∈I} ¬φ_{i}(x, y). Veamos que existe J ⊆ I finito tal que en p(ℭ), E(x, y) = ⋁_{i∈J} ¬φ_{i}(x, y). Si no, para todo J ⊆ I existen a, b ⊧ p con E(a, b) y ⊧ ⋀_{i∈J} φ_{i}(a, b). Supongamos que existen n clases de equivalencia de E en p y veamos que podríamos construir otra: sea J ⊆ I finito; entonces {φ_{i}(x_{k}, x_{l})|i ∈ J, 1 ≤ k < l ≤ n + 1} ⋃{x_{k} ≠ x_{l}|k ≠ l} es consistente, ya que podemos tomar a, b ⊧ p con ⊧ ⋀ φ_{i}(a, b) y E(a, b). Si a_{2}, …, a_{n} son representantes de las otras clases, tenemos Ē(a, a_{i}) y Ē(b, a_{i}) y, por tanto, ⊧ ⋀ φ_{i}(a, a_{i}) y ⊧ ⋀ φ_{i}(b, a_{i}) para i = 2, …, n. Por lo tanto, los elementos a, b, a_{2}, …, a_{n} atestiguan la consistencia de ese conjunto de fórmulas.

Hemos encontrado una fórmula δ(x, y) tal que E ⋂ p^{2} = δ ⋂ p^{2}. Veamos ahora que podemos encontrar una fórmula que define una relación de equivalencia finita en todo el universo y que coincide con E en p. Observemos que: p(x) ⊧ δ(x, x); por lo tanto, existe φ_{1} ∈ p tal que φ_{1}(x) ⊧ δ(x, x).

p(x) ∪ p(y) ⊧ δ(x, y) → δ(y, x), por lo tanto,existe φ_{2} ∈ p tal que φ_{2}(x) ∧ φ_{2}(y) ⊧ δ(x, y) → δ(y, x).

Igualmente podemos encontrar φ_{3} para la transitividad.

Así, en la clase de realizaciones de φ = φ_{1} ∧ φ_{2} ∧ φ_{3}, δ define una relación de equivalencia. Por otra parte, un argumento de compacidad demuestra que debe existir ψ ∈ p tal que en ρ = φ ∧ ψ, δ define un número finito de clases. Por último, θ(x, y) = (¬ρ(x) ∧ ¬ρ(y)) ∨ (δ(x, y) ∧ ρ(x) ∧ ρ(y)) define una relación de equivalencia finita en todo el universo.

Lema 8.10 Sea T baja, p(x) ∈ S(∅), φ(x, y) ∈ L tales que si b ⊧ p, φ(x, b) no bifurca sobre ∅. Entonces existe una relación de equivalencia finita y definible E tal que:

∀a, b ⊧ p, aEb ⇔ E_{p,φ}(a, b)

Prueba. Se basa en el hecho de observar que ¬E_{p,φ}(a, b) significa que existe c ⊧ p, c | ⌣ ab tal que o bien φ(x, c) ∧ φ(x, a) bifurca y φ(x, c) ∧ φ(x, b) no bifurca o bien φ(x, c) ∧ φ(x, a) no bifurca y φ(x, c) ∧ φ(x, b) bifurca, y la expresión anterior es tipo definible por los lemas anteriores. Así, como E_{p,φ} es acotada,8.9 nos da el resultado.

Teorema 8.11 Sea T baja. Entonces Lstp = stp.

Prueba. Supongamos que stp(a) = stp(b) (y, por lo tanto p = tp(a) = tp(b)) y sea φ una fórmula gruesa (así, φ(x, a) no bifurca sobre ∅). Consideremos la relación E_{p,φ}. Por el teorema anterior, existe E relación de equivalencia finita y definible que coincide con E_{p,φ} en p. Entonces, stp(a) = stp(b) implica E(a, b) y, por lo tanto, E_{p,φ}(a, b). Así, por 8.5, Lstp(a) = Lstp(b).

9. Nociones básicas de estabilidad

Definición 9.1 Sea φ(x, y) una fórmula, A ⊆ ℭ. Un φ-tipo p sobre A es un conjunto consistente de fórmulas de la forma φ(x, a) o ¬φ(x, a), con a ∈ p. Es completo si para cada a de A, φ(x, a) ∈ p o ¬φ(x, a) ∈ p. Escribiremos S_{φ}(A) para referirnos a ellos.

Definición 9.2 Un φ-tipo p ∈ S_{φ}(A) es definible si existe σ(x) ∈ L(A) tal que

φ(x, a) ∈ p ⇔ ⊧ σ(a)

Definición 9.3 Sea λ ≥ ω un cardinal. Se dice que φ es λ-estable sii para cada A ⊆ ℭ, |A| ≤ λ, tenemos que |S_{φ}(A)| ≤ λ; φ es estable si es estable para algún λ.

Definición 9.4 Sea (I, <) un orden total. Decimos que φ(x, y) tiene la propiedad del orden respecto a (I, <) si existen sucesiones de elementos (a_{i}|i ∈ I) y (b_{i}|i ∈ I) tales que

⊧ φ(a_{i}, b_{j}) ⇔ i < j

y decimos que φ(x, y) tiene la propiedad del orden si tiene la propiedad del orden para algun orden total infinito. Obviamente, si φ tiene la propiedad del orden, entonces tiene la propiedad del orden para cualquier orden total infinito.

Para demostrar el siguiente teorema necesitamos el lema auxiliar:

Lema 9.1 Sean X_{1}, …, X_{n} ⊆ A conjuntos y sea R una relación definida como:

R(a, b) ⇔ ⋀_{i≤n}(a ∈ X_{i} ⇒ b ∈ X_{i})

Entonces un subconjunto X ⊆ A es una combinación booleana positiva de los X_{i} sii para todo a y b, a ∈ X y R(a, b) implica b ∈ X.

Prueba.⇒) Demostrémoslo por inducción sobre la complejidad de X:

Si X = X_{i}, se obtiene directamente por la definición.

Si X = Y ∩ Z, sean a y b tales que a ∈ X y R(a, b). Entonces por hipótesis de inducción, b ∈ Y yb ∈ Z; por lo tanto, b ∈ X.

Si X = Y ∪ Z, se aplica el mismo razonamiento.

⇐) Se ve con facilidad que X = ⋃_{a∈X} R(a, A). Como R(a, A) = ⋂_{a∈X_{i}} X_{i}, X se escribe como combinación booleana positiva.

Teorema 9.2 Si φ no tiene la propiedad del orden y p ∈ S_{φ}(A) es finitamente satisfacible en A, entonces p es definible mediante una combinación booleana positiva de fórmulas de la forma φ(a, y), con a ∈ A.

Prueba. Supongamos que p no es definible como una combinación booleana positiva de la forma indicada. Construiremos inductivamente secuencias a_{i}, b_{i} y c_{i}, para i < ω, de elementos de A. Supongamos construido para j < i. Como p es finitamente satisfacible en A, sea c_{i} ∈ A tal que c_{i} ⊧ p ↾ a_{<i}b_{<i}. Por hipótesis, {a ∈ A|φ(x, a) ∈ p} no es combinación positiva de X_{j} = {a ∈ A| ⊧ φ(c_{j}, a)}, para j ≤ i. Por el lema anterior, existen a_{i}, b_{i} ∈ A tal que φ(x, a_{i}) ∈ p, ¬φ(x, b_{i}) ∈ p y para cada j ≤ i, ⊧ φ(c_{j}, a_{i}) → φ(c_{j}, b_{i}).

Las secuencias así obtenidas tienen las siguientes propiedades:

⊧ φ(c_{j}, a_{i}), para j > i.

⊧ ¬φ(c_{j}, a_{i}), para j > i.

∀j ≤ i, ⊧ φ(c_{j}, a_{i}) → φ(c_{j}, b_{i}).

Aplicando el teorema de Ramsey, podemos suponer que para todo j ≤ i, ⊧ ¬φ(c_{j}, a_{i}) o para todo j ≤ i, ⊧ ¬φ(c_{j}, b_{i}). En el primer caso tendremos j > i si y sólo si ⊧ φ(c_{j}, a_{i}), por lo que φ(x, y) tendría la propiedad del orden. En el segundo, j > i si y sólo si ⊧ ¬φ(c_{j}, b_{i}), por lo que ¬φ(x, y) y, por lo tanto φ(x, y), tendría la propiedad del orden.

Teorema 9.3 Sea φ(x, y) una fórmula. Son equivalentes:

1. φ(x, y) no es estable.

2. φ(x, y) tiene la propiedad del orden.

Prueba.1) ⇒ 2). Supongamos que φ no tiene la propiedad del orden y es inestable. Entonces φ es λ-inestable para todo λ ≥ ω. Sea λ > |T |. Existe A ⊆ ℭ tal que |A| = λ y |S_{φ}(A)| > λ. Sea A ⊆ M un modelo de cardinalidad λ. Así |S_{φ}(M)| > λ. Como no puede haber más de λ definiciones sobre M (λ es el número de fórmulas sobre M),existe p ∈ S_{φ}(M) no definible. Pero p es finitamente satisfacible en M, en contra de 9.2.

2) ⇒ 1). Si φ tiene la propiedad del orden, por compacidad existen (a_{i}|i ∈ ℚ) y (b_{i}|i ∈ ℚ) indexadas por los racionales tal que

i < j ⇔⊧ φ(a_{i}, b_{j})

Para cada r ∈ ℝ, tenemos asociado un φ-tipo p_{r} = {φ(x, b_{q})|r ≤ q} ⋃{¬φ(x, b_{q})|r > q}. Si r, s son reales diferentes, p_{r} ≠ p_{s}. Por lo tanto, tenemos 2^{ω} φ-tipos sobre un conjunto numerable.

Teorema 9.4 Sea T una teoría simple. Entonces, para toda fórmula φ(x, y), φ(x, y) estable implica φ(x, y) baja.

Prueba. Utilizaremos la caracterización de fórmula baja dada en 8.2, i). Sea φ(x, y) una fórmula estable; por lo tanto no existen sucesiones de elementos (a_{i}|i ∈ ω) y (b_{i}|i ∈ ω) tales que ⊧ φ(a_{i}, b_{j}) ⇔ i < j Así:

1) No existe (b_{i}|i ∈ ω) tal que para todo i < ω, el conjunto

Λ_{i} = {φ(x, b_{j})|j > i} ∪ {¬φ(x, b_{j})|j ≤ i}

sea consistente. De aquí se deduce que

2) Existe k ∈ ω tal que para toda secuencia (b_{i}|i ∈ ω) y para todo a ∈ ℭ, |{i | ⊧ φ(a, b_{i})}| < k + 1 o |{i | ⊧ ¬φ(a, b_{i})}| < k + 1.

Para ver esto, supongamos lo contrario y demostremos que estamos negando 1). Así, supongamos que para todo k existe una secuencia (b_{i}|i ∈ ω) indiscernible y existe a ∈ ℭ tal que |{i| ⊧ φ(a, b_{i})}| ≥ k + 1 y |{i| ⊧ ¬φ(a, b_{i})}| ≥ k + 1. Por compacidad, existe (b_{i}|i ∈ ω) indiscernible, a ∈ ℭ tal que X = {i ∈ ω| ⊧ φ(a, b_{i})} y Y = {i ∈ ω| ⊧ ¬φ(a, b_{i})} son infinitos. Entonces los Λ_{i} serían consistentes.

3) Sea k como en 2). Entonces, si (b_{i}|i ∈ ω) es indiscernible y X = {φ(x, b_{i})|i ∈ ω} es k + 1-consistente, también es consistente.

Para verlo, si X fuese inconsistente, sería n-inconsistente para algún n. Tomemos Δ ⊆ ω, |Δ| = k + 1, tal que para todo l ∈ Δ, l > n ∗ (k + 1). Como X es k + 1-consistente, existe a ∈ ℭ tal que ⊧ φ(a, b_{i}) para i ∈ Δ. Tomando, para cada 0 ≤ i ≤ k, un j_{i} entre i ∗ n y (i + 1) ∗ n tal que ⊧ ¬φ(a, b_{j_{i}}) entramos en contradicción con 2), pues para este a ∈ ℭ, k + 1 = |Δ| ≤ |{i | ⊧ φ(a, b_{i})}| y k + 1 = |{j_{i}|0 ≤ i ≤ k}| ≤ |{i | ⊧ ¬φ(a, b_{i})}|.

Definición 9.5 La multiplicidad de un tipo p es el número de extensiones globales no bifurcantes que tiene. Escribiremos Mult(p) para denotarlo. Un tipo es estacionario si Mult(p) = 1.

Pasemos a enunciar las propiedades más básicas de las teorías estables:

Proposición 9.5 Sea T estable y p ∈ S(A).

1. Si A = acl^{eq}(A), p es estacionario.

2. Si A es un modelo, p es estacionario.

3. Mult(p) ≤ 2^{|T |}.

Prueba. 1. Supongamos que existe p ∈ S(A) con dos extensiones q, r ∈ S(Ab_{0}) no bifurcantes. Sea una fórmula φ(x, b_{0}) ∈ q tal que ¬φ(x, b_{0}) ∈ r. Sea κ ≥ |T | + |A|. Veremos que existe un conjunto de cardinalidad κ tal que |S_{φ}(B)| = 2^{κ}.

Sea (b_{i}|i ∈ κ) una sucesión A-independiente con el mismo tipo sobre A. Esto nos da sucesiones de tipos (q_{i}|i ∈ κ) y (r_{i}|i ∈ κ) que no bifurcan sobre A, q_{i}, r_{i} ∈ S(Ab_{i}), φ(x, b_{i}) ∈ q_{i} y ¬φ(x, b_{i}) ∈ r_{i}. Como las teorías estables son bajas, podemos aplicar el teorema de independencia para tipos fuertes. Así, para cada f ∈ 2^{κ}, el tipo p_{f} = {φ(x, b_{i})|f(i) = 0} ∪ {¬φ(x, b_{i})|f(i) = 1} es consistente (y no bifurca sobre A). Si escribimos B = ⋃_{i∈κ} b_{i}, tenemos que |B| = κ y |S_{φ}(B)| = 2^{κ}. Contradicción con la estabilidad de φ.

2. Si M es un modelo, acl^{eq}(M) = M.

Veamos ahora 3 : Sea p ∈ S(A). Como estable implica simple, sabemos que existe un B ⊆ A, |B| ≤ |T | tal que p no bifurca sobre B. Entonces para toda q extensión no bifurcante de p, q no bifurca sobre B. Por lo tanto, basta ver que Mult(p ↾ B) ≤ 2^{|T |}. Sea M ⊇ B un modelo de cardinalidad |B|. Por 2, toda extensión global no bifurcante aparece ya en S(M), así que Mult(p ↾ B) ≤ |S(B)| ≤ 2^{|T |}.

Teorema 9.6 Sea T estable, A ⊆ B, r ∈ S(A) y p, q ∈ S(B) dos extensiones no bifurcantes de r. Entonces existe una relación de equivalencia finita A-definible tal que p(x) ∪ q(y) ⊢ ¬E(x, y).

Prueba. Sea p′ ∈ S(B∪acl^{eq}(A)) una extensión de p. p′ ↾ acl^{eq}(A)∪q debe ser inconsistente, pues en caso contrario existiría q′ ∈ S(B ∪ acl^{eq}(A)) que extiende a q y que coincide con p′ sobre acl^{eq}(A); pero entonces p′ y q′ serían dos extensiones no bifurcantes de su restricción común a acl^{eq}(A), contra 9.5. Por compacidad, debe existir φ ∈ p′ ↾ acl^{eq}(A) tal que para todo q′ ∈ S(B∪acl^{eq}(A)) que extiende a q se tiene que q′ ⊢ ¬φ. Sea ψ la disyunción de todos los B-conjugados de φ (como φ está definida sobre acl^{eq}(A) ⊆ acl^{eq}(B), existe un número finito de B-conjugados): ψ está definida sobre acl^{eq}(A) y es equivalente a una fórmula sobre B. Como p es consistente con ψ, tenemos que p ⊢ ψ. Por otro lado, q ⊢ ¬ψ. Por 4.13, ψ define una reunión de clases de una relación de equivalencia finita y A-definible E(x, y). Entonces ψ(x) ∧ ¬ψ(y) ⊢ ¬E(x, y).

Referencias

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