10.9 Ejemplo de cálculo numérico de una imágen de bordes

La matriz de luminancias de una imagen nos muestra cómo la intensidad de los pixels tiende a cambiar en los bordes de los objetos. Por ello los bordes son claves importantes para la percepción (segregación figura- fondo), como también lo demuestra la efectividad de los dibujos lineales. Por esta razón, el SistemaVisual (S.V.), sea humano o artificial, debe analizar la matriz de niveles de gris (luminancias) para determinar dónde aparecen los límites entre las regiones de distinta intensidad. Sin embargo, muchos límites surgen de sombras, ruido visual del sistema, etc., por lo que primero se debe determinar que límites corresponden a los bordes de los objetos y cuales no.
Un procedimiento sencillo para reducir el ruido visual consiste en reemplazar cada valor de luminancia de la matriz por el promedio de él mismo con sus valores vecinos: valor medio local. Esta idea la podemos ilustrar con una imagen unidimensional (con una sóla fila de luminancias), al objeto de simplificar los cálculos. Por ejemplo, sea la imagen unidimensional con los siguientes valores de luminancia:

4   5   4   3   6   9   8   7   9

Cuyo perfil de luminancia podemos representar como se muestra en la Figura 20.


FIGURA 20.- Representación de los valores de luminancia de una imagen unidimensional (por ejem, una fila), para cada posición espacial.

Como se ha dicho, un procedimiento burdo de promediación local consiste en hallar el promedio de cada valor de luminancia con los de los vecinos adyacentes y redondear al entero más próximo, del modo siguiente:

                                No de pixel   VALOR      PROMEDIACION + REDONDEO

                                                  1.........  4  ........ (4+5) / 2= 4,5 > 4
                                                  2.........  5  ........ (4+5+4) / 3= 4,33 > 4
                                                  3.........  4  ........ (5+4+3) / 3= 4
                                                  4.........  3  ........ (4+3+6) / 3= 4,33 > 4
                                                  5.........  6  ........ (3+6+9) / 3= 6 
                                                  6.........  9  ........ (6+9+8) / 3= 7,66 > 8
                                                  7.........  8  ........ (9+8+7) / 3= 8
                                                  8.........  7  ........ (8+7+9) / 3= 8
                                                  9.........  9  ........ (7+9) / 2= 8

Al efectuar la operación de promediación sobre la distribución de luminancias de nuestro ejemplo (imagen 1-D), obtenemos los siguiente valores (redondeados al entero más próximo):  

4   4   4   6   8   8   8   8

La cual representamos gráficamente en la Figura 21.


FIGURA 21.- Valores de luminacia suavizados de la imagen 1D de la Figura anterior. Su perfil muestra el límite entre una región clara y otra oscura.

De este modo, hemos logrado suavizar las irregularidades locales, con lo que se revela la posible existencia de un límite entre 2 niveles diferentes de intensidad (uno de valor 4 y otro de valor 8).
Este procedimiento resulta fácil de generalizar a matrices bidimensionales de luminancia (imágenes 2-D). No obstante, debemos advertir que una promediación más refinada debería tener en cuenta un rango más amplio de vecinos (por ejemplo, una submatriz de 3x3 ó 5x5 ó 7x7 pixeles, centrada en cada valor de pixel).
Existen diferentes maneras de producir el suavizado de la imagen, sin embargo, una de las más útiles se logra al aplicar un filtro con forma de gaussiana bidimensional, cuya extensión espacial (que permite seleccionar el tamano o escala) resulta controlado por la desviación típica (s) de la gaussiana.
Volviendo de nuevo a nuestro problema sobre cómo se detectan los límites de intensidad. El límite entre una región clara (alto nivel de gris) y otra oscura (bajo nivel de gris)  de la imagen corresponde aun cambio, más o menos, brusco de los valores de luminancia. El perfil de luminancia correspondiente al gráfico de la Figura 21, se representa en la Figura 22. Este perfil es plano en sus extremos, pero presenta una pendiente pronunciada en la mitad, es decir, en dicho perfil existe un gradiente de intensidades.


FIGURA 22.- Perfil de luminancia de la imagen 1D suavizada.

          Un procedimiento sencillo para medir la pendiente del gradiente existente entre dos valores de intensidad adyacentes consiste en multiplicar el valor de la izquierda por (-1) y el de la derecha por (+1) y sumar los resultados. Así, partiendo de nuestra imagen unidimensional suavizada:

4   4   4   6   8   8   8   8

Podemos aplicar este procedimiento para obtener los valores resultantes del gradiente:

                           VALORES ADYACENTES   APLICACION DEL PROCEDIMIENTO
                                       (4,4)............................................[4 . (-1)] + [4 . (+1)]=    0
                                       (4,4)............................................[4 . (-1)] + [4 . (+1)]=    0
                                       (4,4)............................................[4 . (-1)] + [4 . (+1)]=    0
                                       (4,6)............................................[4 . (-1)] + [6 . (+1)]= +2
                                       (6,8)............................................[6 . (-1)] + [8 . (+1)]= +2
                                       (8,8)............................................[8 . (-1)] + [8 . (+1)]=    0
                                       (8,8)............................................[8 . (-1)] + [8 . (+1)]=    0
                                       (8,8)............................................[8 . (-1)] + [8 . (+1)]=    0

Que al representarlos gráficamente producen el perfil mostrado en la Figura 23.


FIGURA 23.- Cima local de los valores del gradiente de intensidad luminosa. Este perfil se ha obtenido mediante diferencias (cálculo diferencial: primera derivada).        

En dicha figura vemos que el límite entre las dos regiones de luminancia diferentes corresponde a la cima local de los valores del gradiente de intensidad. Quienes están familiarizados con el cálculo diferencial habrán advertido que las abscisas en donde se produce un cambio en la variación de la función son los llamados puntos de inflexión y que en ellos la primera derivada tiene un máximo o un mínimo local.

Si, de nuevo, aplicamos el mismo procedimiento a la imagen resultante anterior (0  0  0  +2  +2  0  0  0) , obtendremos ahora:

                           VALORES ADYACENTES            APLICACION DEL PROCEDIMIENTO
                                       (0,0)............................................[0 . (-1)] + [0 . (+1)]=   0
                                       (0,0)............................................[0 . (-1)] + [0 . (+1)]=   0
                                       (0,2)............................................[0 . (-1)] + [2 . (+1)]= +2
                                       (2,2)............................................[2 . (-1)] + [2 . (+1)]=   0
                                       (2,0)............................................[2 . (-1)] + [0 . (+1)]=  -2
                                       (0,0)............................................[0 . (-1)] + [0 . (+1)]=   0
                                       (0,0)............................................[0 . (-1)] + [0 . (+1)]=   0

Es decir, los valores de luminancia:

0   0   +2   0   -2   0   0  

Cuyo perfil de luminancia se muestra en la Figura 24.


FIGURA 24.- Detección de un borde a partir del paso de cero de la segunda derivada de la luminancia de la imagen.       

 El número del medio, donde el valor es 0 y cruza la curva proveniente del punto más alto de valores positivos hacia el punto más bajo de valores negativos, se denomina 'punto de intersección con el eje de cero' o, simplemente, paso de cero. Este, junto con su punto más bajo y más alto adyacentes, proporcionan una excelente evidencia en favor de la existencia de un límite entre dos regiones de diferente intensidad.
Desde el punto de vista matemático, esto equivale a calcular la segunda derivada. Y a las abscisas en las que la segunda derivada se anula (vale 0) son los expresados pasos de cero (zero-crossings) de la segunda derivada de la función. Por tanto, los bordes de una senal bivariada (imagen 2-D) pueden ser localizados, analíticamente, detectando los máximos o mínimos locales de la primera derivada de la imagen o, alternativamente, detectando los 'pasos de cero' de la segunda derivada de la imagen.
En consecuencia, los 'pasos de cero' de la derivada segunda de la imagen, en principio, pueden constituir las primitivas (átomos) de la primera descripción simbólica de la imagen y el cálculo diferencial el procedimiento para obtenerla.