3.6 Sistemas lineales

Un sistema es un mecanismo tal que ante ciertas señales de entrada responde con determinadas señales de salida. Por consiguiente, es una estructura capaz de relacionarse con su entorno. Esquemáticamente, lo podemos representar como una caja en la que entran las x1, x2, ... y, tras ser manipuladas (procesadas) en su interior, emite otras señales y1, y2, ...
 

X1 ÂŽ ÂŽ Y1

X2 ÂŽ ÂŽ Y2


Esto puede ser modelizado mediante funciones matemáticas:

Y(m,n)= f [ X(i,j) ]

Donde: f [ X(i,j) ] es la función de entrada, e Y(m,n) la función de salida.

Es decir, todo sistema puede representarse matemáticamente como un sistema de ecuaciones, en las que los valores de las señales de salida dependen de los de entrada:


a1 X(i,j) + a2 X(k,l) + ... = b1 Y(m,n) + b2 Y(o,p) + ...




En el caso de un dispositivo óptico, como el sistema visual humano (SVH), obviamente, las entradas y las salidas son imágenes. Así, un S.V. puede ser considerado como un sistema de procesamiento de imágenes, en el que las señales de entrada (input) son los estímulos visuales del medio externo, el mecanismo es el propio S.V. y la señal de salida (output) puede describirse:

  • En el plano neurofisiológico, como el conjunto de respuestas de poblaciones de neuronas de las vías visuales ante dicho estímulo.
     
  • En el plano psicofísico, como descripción simbólica o representación interna en que resulta codificado tal estímulo.
     

De manera formal, se dice que un sistema es lineal cuando satisface dos propiedades:

  • Homogeneidad o invarianza.
     
  • Linealidad o superposición.
     

El sistema cumplirá la primera propiedad, es decir será homogéneo, invariante o isoplanático cuando la salida sea, en cierta forma, proporcional a la entrada. Así:

Si: Xi ÂŽ Yj , entonces ... k . Xi ÂŽ k . Yj

Por ejemplo, si se amplifica la luminancia de un punto que es la señal de entrada en un sistema, la salida debe resultar amplificada en la misma proporción.

Por tanto, verificaremos que se cumple la propiedad de homogeneidad del modo siguiente. Si amplificamos o atenuamos la entrada, la salida se amplificará o atenuará del modo proporcionalmente.

Los sistemas en los que no se verifica esta propiedad se dice que son inhomogéneos, espacialmente variantes o anisoplanáticos. Así, el muestreo discreto de la imagen visual realizado por los receptores de la retina es una caso de sistema anisoplanático. En efecto, la distribución de conos en la retina no es uniforme, la densidad de ésta disminuye con la excentricidad, ya que existen más conos en la fóvea que en la retina intermedia y, a su vez, más en ésta que en la retina periférica. Ante una señal continua y uniforme del mundo exterior, los fotorreceptores producirán una salida no uniforme (según en que porción de la retina incidan partes del estímulo) y discreta (una de digitalización o muestreo espacial de la imagen). Sin embargo, no por ello existe pérdida de información espacial contenida en la imagen, como demuesrtra el teorema de Wittaker-Shannon.

El sistema cumplirá la segunda propiedad (superposición), es decir, tendrá linealidad si, por ejemplo, cuando introducimos una señal 'z', que sea combinación lineal de otras dos señales (x1 y x2), la salida a la señal 'z' entrante deberá ser la combinación de las salidas que daría, separadamente, a x1 y x2.


x1 Ž y1; Si: z= x1 + x2 � z= y1 + y2

x2 ÂŽ y2; (x1 + x2) ÂŽ (y1 + y2)



Todo sistema que no verifique simultáneamente estas dos propiedades, es no-lineal.

En el S.V., hemos dicho que el muestreo temporal del estímulo efectuado por los receptores no se ajusta a un sistema lineal, pero tampoco había pérdida de información espacial. En la actualidad, se considera que la retina es, más bien, un preprocesador de la imagen estimular que un analizador (Robson, 1983), cuya función parece ser la de comprimir la información del estímulo para ser transmitida por el nervio óptico. No obstante, teórica y empíricamente, se ha demostrado que las células ganglionares tipo-X de la retina se comportan como filtros bidimensionales lineales 'paso-bajo' o 'paso-banda' y no orientados. También las células tipo-X del NGL parecen comportarse como filtros bidimensionales lineales, pero su anchura de banda responde a un rango más estrecho de frecuencias espaciales que las ganglionares. Las células simples del córtex visual funcionan linealmente, comportándose como filtros lineales 'paso-banda' (de banda estrecha) de frecuencias espaciales y orientaciones espacialmente localizados.