3.5 Análisis frecuencial de imágenes

A primera vista, puede resultarnos difícil entender que las imágenes acromáticas de la Gioconda o las Meninas puedan sintetizarse combinando enrejados sinusoidales. Sin embargo, esto es así. En efecto, Jean Baptiste Josep Fourier (1768-1830), matemático francés del s. XIX, estudiando la propagación ondulatoria del calor, descubrió que cualquier función en el conjunto de los números Reales, con significado físico, puede obtenerse sumando (dominio de la frecuencia) o integrando (dominio espacial) funciones sinusoidales. De manera formal, el teorema de Fourier afirma que cualquier onda puede descomponerse en infinitos componentes con forma de onda sinusoidal. A partir de este teorema, se deduce también que cualquier tipo de onda puede sintetizarse integrando entre sus componentes de onda sinusoidal, cuyas amplitudes de onda y fases vienen dadas por la Transformada de Fourier de dicha imagen. Por consiguiente, el conjunto de enrejados sinusoidales constituye una base para describir cualquier imagen.

El objetivo del análisis de Fourier de una imagen es, precisamente, determinar la frecuencia espacial, orientación, amplitud y fase que debe tener cada uno de los enrejados sinusoidales componentes, susceptibles de sintetizar la imagen. Por tanto, cualquier imagen puede expresarse como una específica combinación lineal de infinitos enrejados sinusoidales orientados, denominados componentes espectrales de la imagen. La Figura 5, muestra una imagen sintetizada al sumar enrejados sinusoidales

La Figura 6 muestra una imagen sintetizada al sumar una serie limitada de enrejados sinusoidales que varían en frecuencia espacial (3c/i, 5c/i, 7c/i y 9c/i) y orientación (0o y 90o). Los enrejados representados en esta figura tienen una orientación a = 0o, mediante un giro 90o se obtendrían los enrejados con a = 90o que también intervienen en la síntesis de la imagen superior de la figura.
 



FIGURA 5.- Entramado sintetizado al sumar enrejados verticales y horizontales.



Para comprender el análisis de un patrón estimular mediante el análisis de Fourier, presentaremos un ejemplo sencillo. Trataremos de analizar el perfil de luminancia de un enrejado de barras con forma de onda cuadrada, como el que se muestra en la Figura 7 junto a su perfil de luminancias.



FIGURA 8. Una onda cuadrada y su perfil de luminancia.



La variación de la luminancia, en este enrejado, obtenida al pasar un fotómetro en dirección perpendicular a las barras, produce, en el dominio espacial, una forma de onda cuadrada. Pues bien, el análisis de Fourier nos permite analizar esa onda en sus ondas componentes de diferente frecuencia o componentes armónicos elementales. Veamos, a intuitivamente, como tiene lugar el análisis de una onda cuadrada similar.

Para simplificar utilizaremos un enrejado como el que se muestra en la Figura 8.

Teóricamente, sus componentes armónicos son infinitos, pero, en la práctica, podemos aproximarnos bastante a una onda cuadrada, integrando un número finito de componentes. Así, en la Figura 9, podemos observar un limitado número de componentes elementales en los que analizamos la onda cuadrada inicial.



 
FIGURA 9.- Suma de ondas 1-D.



Estos componentes sinusoidales, como veremos, satisfacen unas determinadas propiedades. Así, los componentes armónicos elementales:

  • Tienen unas frecuencias que son múltiplos impares de la frecuencia fundamental.
     
  • Tienen unas amplitudes que varían inversamente, en función de su orden. Concretamente, en dicha Figura 8 se observa que:
    • La frecuencia f1 (la más baja frecuencia) es la frecuencia fundamental o primer armónico, cuya frecuencia y amplitud es la misma que la de la onda cuadrada.
       
    • La frecuencia f3 es el tercer armónico, cuya frecuencia es el triple de la frecuencia fundamental y su amplitud 1/3 de la amplitud de la fundamental.
       
    • La frecuencia f5 es el quinto armónico, cuya frecuencia es el quíntuplo de la frecuencia fundamental y su amplitud 1/5 de la amplitud de ésta.
       
    • La frecuencia f7 es el séptimo armónico, cuya frecuencia es el séptuplo de la frecuencia fundamental y su amplitud 1/7 de la amplitud de ésta.
       
    • En negrita se representa la onda resultante de la suma de las componentes: fundamental, tercer , quinto y séptimo armónicos. Como podemos observar, con sólo cuatro componentes, la forma de la onda se aproxima bastante a la onda cuadrada original (véase el perfil de luminancia del enrejado original). Si seguimos sumando armónicos de mayor frecuencia (que sean múltiplos impares de la fundamental), cada vez, nos aproximaríamos más a la onda cuadrada.

El conjunto de todos los armónicos o componentes frecuenciales de una imagen recibe el nombre de espectro bidimensional de frecuencia o espectro de Fourier (véase Figura 9).
 



 
FIGURA 9.- Espectro de energia de la Transforamada de Fourier de un enrejado con forma de onda cuadrada.



En dicha Figura 9, se representa la cantidad de energía o amplitud con que cada armónico contribuye a la síntesis total de la imagen. A este tipo de gráficos se les denomina espectro de energía. En él puede visualizarse que la energía correspondiente al 11o armónico (frec.= f11) es muy pequeña y, dicha energía continuaría disminuyendo para los armónicos de mayor frecuencia.