Combinatòria

 

Anem a veure algunes fórmules simples que s’utilitzen en combinatòria i que ens poden ajudar a calcular el nombre de casos possibles o el nombre de casos favorables.

Permutacions

Sigui un conjunt de n elements. A les ordenacions que es poden fer amb aquests n elements, sense repetir-ne cap i utilitzant-los tots, se les denomina permutacions. El nombre de permutacions que es poden fer coincideix amb el factorial de n, i el seu càlcul és:

Exemple:

De quantes maneres diferents podem alinear sis persones en una fila?

 

Resposta:

De  6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 formes (permutacions de sis elements).

 

Variacions

Sigui un conjunt de n elements. Suposem que desitgem ordenar r elements entre els n. A cadascuna d’aquestes ordenacions, la denominem variació. El nombre de variacions que es poden fer dels n elements agafats de r en r és:

Exemple:

En una carrera de velocitat competeixen deu atletes. De quantes maneres diferents podria estar format el podi? (el podi està format pel primer, el segon i el tercer classificats)

 

Resposta:

Cada podi possible és una variació de deu elements agafats de tres en tres.

Per tant, el nombre possible de podis és:

Variacions amb repetició

Sigui un conjunt de n elements. Suposem que es tracta d’ordenar r elements que podrien estar repetits. Cada ordenació és una variació amb repetició. El nombre de variacions amb repetició per un conjunt de n agafats de r en r és:

Exemple:

En una urna tenim cinc boles numerades de l’1 al 5. S’extreuen tres boles successivament amb reposició (retornant cada vegada la bola a l’urna). Quants resultats diferents és possible obtenir?

 

Resposta:

Es tracta de variacions amb repetició d’un conjunt de cinc boles agafades de tres en tres.

En total tindrem:

 

Combinacions

Quan es tracta de comptar el nombre de subconjunts de x elements en un conjunt de n elements, tenim el que es denomina combinacions de x elements en un conjunt de n. El càlcul del comptatge es fa mitjançant el nombre combinatori, de la manera següent:

Exemple:

De quantes maneres podem escollir, en l’urna anterior (recordem que hi havia cinc boles), tres boles en una única extracció?

 

Resposta:

Seran combinacions de cinc elements agafats de tres en tres, per tant, tindrem:

 

Permutacions amb repetició

Sigui un conjunt de n elements, entre els quals tenim a elements indistingibles entre si, b elements indistingibles entre si, c elements indistingibles entre si, etc. Cada ordenació d’aquests elements es denominarà permutació amb repetició. El nombre de permutacions amb repetició és:

Exemple:

Quantes paraules amb sentit o sense poden formar-se amb les lletres PATATA?

 

Resposta:

Tenim tres vegades la lletra A, dues vegades la T i una vegada la P.

Per tant, seran: