La distribución Binomial negativa

 

Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac (ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el modelo geométrico.

Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el número de veces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).

La función de densidad viene dada por:

donde q representa el complementario de p: q = 1 p.

Propiedades del modelo Binomial negativo

1) Esperanza: E(X) = r ´ q/p

2) Varianza: V(X) = r ´ q/p2

3) Se cumplen las siguientes propiedades respecto la función de densidad:

4) Este modelo se ajusta bien a contajes (números de individuos por unidad de superficie) cuando se produce una distribución contagiosa (los individuos tienden a agruparse).

5)  La distribución Binomial negativa puede definirse con mayor generalidad si tomamos r como un número real positivo cualquiera (no necesariamente entero). Pero, en dicho caso, se pierde el carácter intuitivo del modelo y se complican ligeramente los cálculos. Por dichas razones, se ha excluido dicha posibilidad en esta presentación.