La distribución Binomial

Al igual que el modelo de Bernouilli, hace referencia a experiencias con resultados dicotómicos (el resultado sólo puede ser A o A^c). Sin embargo en este modelo estamos interesados en la repetición de n veces  una experiencia de este tipo en condiciones independientes.

Tomemos el ejemplo del contaje del número de caras en el lanzamiento n veces de una moneda regular.

Para concretar, vamos a suponer que disponemos de una moneda regular (P[cara] = P[cruz] = 1/2) que lanzamos cuatro veces. Es evidente que, en estas condiciones, la variable X: número de caras en cuatro lanzamientos independientes de una moneda regular es una variable aleatoria discreta que sólo puede tomar cinco posibles valores: 

x = 0, 1, 2, 3, 4

Pasemos ahora a calcular la probabilidad de cada valor (en terminología estadística, vamos a calcular la función de densidad de la variable X).

Es evidente que la P[X = 0] es igual a la probabilidad de salgan cuatro cruces seguidas:

P[X = 0] = P[cruz, cruz, cruz, cruz] = P[cruz]⁴ = (1/2)⁴ = 0,0625

ya que la moneda es regular y, por tanto, P[cara] = P[cruz] = 1/2.

La P[X = 3] corresponde al suceso de que salgan tres caras (c en adelante) y una cruz (+ en adelante). Sin embargo, en este caso tenemos hasta cuatro posibles maneras de obtener dicho resultado, según el orden en que aparezcan las tres caras y la cruz:    

+ccc

c+cc

cc+c

ccc+

También debería resultar evidente que la probabilidad de cada uno de estos sucesos es la misma:

P[+ccc] = P[c+cc] =  P[cc+c] =  P[ccc+] = (1/2)⁴ = (1/2)⁴ = 0,0625,

de manera que, finalmente, la probabilidad de que salgan tres caras y una cruz es la suma de las probabilidades de los 4 casos anteriores:

 P[X = 3] = 4  (1/2)⁴  = 0,25

Y así podríamos ir calculando el resto de casos. Podemos ver que, en este ejemplo, todos los casos tienen la misma probabilidad (0,0625) y que el número total de casos posibles es 16. En términos de combinatoria dicho número se obtendría como variaciones con repetición de dos valores (cara o cruz) tomados de cuatro en cuatro (el número de lanzamientos de la moneda):

VR₂⁴ = 2⁴ = 16

En la siguiente tabla se muestran los dieciséis posibles resultados:

Si hacemos uso de nuestros conocimientos de combinatoria, comprobamos que el número de casos para cada posible valor k (k = 0, 1, 2, 3, 4) puede calcularse como permutaciones con repetición de cuatro elementos tomado de k y 4 − k:

y obtenemos finalmente el número combinatorio 4 sobre k. En efecto, para el caso k = 3, tendríamos:

,

que son los cuatro posibles casos que nos dan tres caras y una cruz.

Finalmente,  recordando que todos los casos tienen la misma probabilidad, se construye la siguiente tabla: