La distribución de Poisson

 

Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:

Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.

Esta distribución suele utilizarse para contajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.

Propiedades del modelo de Poisson

1) Esperanza: E(X) = λ.

2) Varianza: V(X) = λ.

En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.

3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:

X1 ~ P(λ = λ1)    y    X2 P(λ = λ2)

y definimos Z = X1 + X2, entonces,

Z ~ P(λ = λ1 + λ2)

Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.