La distribución Gamma

 

Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar  variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso.

Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:

que verifica Γ(p + 1) =(p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p!

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en que p es un número entero).

 

 

Propiedades de la distribución Gamma

  1. Su esperanza es pα.
     
  2. Su varianza es pα2
     
  3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.
     

  4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común 

 X ~ G(α, p1) y Y ~ G(α, p2)

se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma 

 X + Y ~ G(α, p1 + p2).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k).