Enunciado del teorema central del límite

 

A continuación se presenta el enunciado del TCL en la versión de Lindeberg y Lévy.

Teorema:

Sea X1, X2, ..., Xn, un conjunto de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, cada una de ellas con función de distribución F, y supongamos que E(Xk) = μ y var(Xk) = σ2 para cualquier elemento del conjunto. Si designamos a la suma normalizada de n términos con el símbolo:

entonces la sucesión de sumas normalizadas converge en ley a la variable aleatoria Normal tipificada Z ~ N(0, 1), es decir:

El teorema anterior tiene dos importantes corolarios:

  1. Si consideramos la suma ordinaria de las n variables aleatorias, es decir, Sn = X1 + X2 + ... + Xn, entonces la sucesión de sumas ordinarias converge en ley a una Normal de media nμ y varianza nσ2.

  2. Si consideramos el promedio de las n variables aleatorias, es decir, n-1Sn, entonces la sucesión de promedios converge en ley a una Normal de media μ y varianza n-1σ 2.

Comentarios al teorema:

  1. La convergencia a la Normal tipificada se produce con cualquier tipo de variable que cumpla las condiciones del teorema, sea discreta o absolutamente continua.

  2. Un sinónimo para indicar que una sucesión converge en ley a una Normal es seńalar que es asintóticamente Normal.

  3. El TCL presenta el comportamiento de sumas infinitas de variables aleatorias. Veremos posteriormente como interpretar el resultado para valores finitos.

  4. Existen otras versiones del TCL dónde se relajan las condiciones de la versión de Lindeberg y Lévy, que, como se ha visto, obliga a las variables aleatorias a tener idénticas medias y varianzas. Dichas versiones del TCL necesitan el conocimiento de conceptos matemáticos que exceden el nivel al que se orienta Statmedia, y por esta razón se omite su enunciado.

 

Aplicación del TCL a los ejemplos

 
  1. Ejemplo 1: normalidad asintótica de la Binomial.

  2. Ejemplo 2: normalidad asintótica de la Poisson.

  3. Ejemplo 3: normalidad asintótica de la suma de puntuaciones de un dado.

  4. Ejemplo 4: normalidad asintótica de la suma de uniformes.

  5. Ejemplo 5: normalidad asintótica de la suma de exponenciales.