Caso 2: El teorema central del límite aplicado a variables aleatorias de Poisson

 

Si tomamos la sucesión P = {P1, P2, ..Pn, ...} de variables de Poisson donde:

P1 ~ P(λ), P2 ~ B(2λ), ..., Pn ~ P(nλ), ...

y consideremos la variable Pn cómo Bn = X1 + X2 + ... + Xn, dónde cada Xi es una Poisson (λ), entonces Pn converge en ley a una Normal  de media nλ y varianza nλ.

Simbólicamente:

Esto es así puesto que cada Poisson (λ) tiene E(Xi) = λ y Var(Xi) = λ, basta entonces aplicar el primer corolario del teorema central del límite (TCL) y se obtiene inmediatamente el resultado anterior.

De nuevo, el resultado asintótico no es directamente aplicable a experimentos reales, donde nλ es siempre finito, pero veremos, siguiendo este caso, que el TCL nos da un marco de aproximación excelente para un rango amplio de variables aleatorias de Poisson.