Distribución de los estadísticos más importantes

Tratamos el caso de muestras aleatorias simples.

Distribución de la media muestral

Sea cual sea la distribución de la variable aleatoria, la esperanza de la media muestral coincide con la esperanza de la población. La varianza de la media muestral coincide con la de la población dividida por el tamaño muestral.

En caso de modelo Normal, la distribución de la media muestral es también una distribución Normal, con media la media de la variable y desviación típica la desviación típica de la variable dividida por raiz cuadrada de n (n = tamaño de la mostra).

Distribución de la varianza muestral

En caso de modelo Normal, si S² es la varianza muestral; σ², la varianza poblacional, y n, el tamaño de la muestra, la distribución de 

es una Ji al cuadrado con n − 1 grados de libertad.

Distribución de la diferencia de medias muestrales

En el caso del modelo Normal, si la distribución de la variable en la primera población es una Normal con media m₁ y desviación típica σ₁, mientras que en la segunda población es una Normal con media m₂ y desviación típica σ₂, siendo las dos independientes, la distribución de la diferencia de medias muestrales es una distribución Normal con media m₁ − m₂ y desviación típica (n₁, n₂ = tamaños muestrales).

Distribución aproximada del coeficiente de correlación muestral

Si el par de variables aleatorias (X, Y) sigue un modelo Normal bivariante, denominamos al coeficiente de correlación muestral como r y al coeficiente de correlación poblacional como ρ, siendo n el tamaño de la muestra, la distribución de la variable

se puede aproximar por un modelo Normal como

Si b es el coeficiente de regresión muestral; S_x, la desviación típica muestral de los valores observados de la variable X; S_y la desviación típica muestral de los valores observados de la variable Y, y β el coeficiente de regresión poblacional, la función

se puede aproximar a una distribución t de Student con n − 2 grados de libertad.

Distribución del mínimo y del máximo de una muestra

Si la variable X tiene por función de densidad f(x) y por función de distribución F(x), la función de densidad del mínimo de la muestra es:

f_min(x) = n · f(x) · (1 − F(x)) ^{n − 1}

La función de densidad del máximo de la muestra es :

f_max(x) = n · f(x) · (F(x)) ^{n − 1}