Error cuadrático medio (ECM)

 

Otro criterio razonable para escoger un determinado estimador de un parámetro θ es tomar aquel que cometa, en promedio, el menor error en la estimación. Como, en principio, queremos penalizar igualmente los errores por defecto que por exceso podríamos establecer como cantidad a minimizar la esperanza de la diferencia entre el estadístico T y el parámetro θ (en valor absoluto para impedir que los errores por defecto y por exceso se anulen mutuamente):

Aunque este operador resulta razonable, presenta el inconveniente de que la función valor absoluto es complicada de manejar desde un punto de vista matemático. Por dicha razón suele utilizarse el error cuadrático medio (ECM) de un estimador T, definido como sigue:

Una propiedad interesante del ECM es que puede descomponerse como la suma de dos componentes: la varianza del estimador más su sesgo al cuadrado:

Por tanto, en el caso de comparar diversos estimadores centrados de un parámetro θ, el ECM coincidirá con sus varianzas. Con lo que el estimador con menor ECM coincidirá con el de menor varianza.

Debe quedar claro, sin embargo, que el estimador con menor ECM no debe ser necesariamente centrado. De hecho, no siempre existirá el estimador con ECM mínimo. En realidad, si no nos restringimos a estimadores centrados, suele suceder que para unos determinados valores de θ sea un estimador el que produzca un ECM menor, mientras que para otros valores de θ sea otro estimador el que obtenga un ECM menor.