Intervalo de confianza para una proporción

 

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

  • Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.

  • Utilizar un método exacto.

 

Aproximación asintótica

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

Tomando como estadístico pivote

 

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico:

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %. Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

 

Intervalo exacto

Aun cuando las condiciones anteriores no se verifiquen, es posible la construcción de un intervalo exacto, válido siempre pero algo más complicado en los cálculos. Es posible demostrar que un intervalo exacto para el parámetro p viene dado por los valores siguientes:

donde Fα/2,a,b es el valor de una distribución F de Fisher-Snedecor con a y b grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %.

Una justificación de los intervalos de confianza exactos para distribuciones discretas puede encontrarse aquí.

En el programa siguiente se pueden calcular los intervalos de confianza asintótico y, si n es menor de 100, también el exacto para una proporción.

 

1) Introducir el valor de X (número de veces que se presenta un suceso) y el valor de n (número total de intentos).

2) Seleccionar el nivel de confianza que se desee para el intervalo.

3) El programa presenta la estimación puntual del parámetro p y los intervalos de confianza exacto (si n < 100) y asintótico.

4) Repetir el cálculo varias veces comparando los resultados exacto y asintótico al variar las condiciones del experimento.