Complementos: Test UMP y test UMP insesgado

Ya se ha citado antes brevemente que muchas veces pueden plantearse reglas de decisión alternativas para resolver un mismo contraste, todas con el mismo nivel de significación. Decidir qué regla es la óptima pasa por analizar el error de tipo II cometido por cada una de las reglas.

En algunos casos es posible demostrar la existencia de un test uniformemente más potente (UMP). La definición es la siguiente: si β_U es la función de potencia del test U para un determinado nivel de significación α, diremos que es UMP si

β_U(θ) ≥ β(θ),   para todo θ

donde β es la función de potencia de cualquier otro test de nivel de significación α. Es decir, el test UMP proporciona la potencia más alta para todo valor posible del parámetro θ. Es importante señalar que no todos los contrastes de hipótesis poseen un test UMP.

Un test insesgado se define como aquel que, fijado α, la función de potencia β satisface:

β(θ) ≤ α, para todo θ correspondiente a H₀

β(θ) ≥ α, para todo θ correspondiente a H₁

Exigir que un test sea insesgado resulta muy razonable: recordemos que β(θ) es la probabilidad de aceptar H₁ si el verdadero parámetro es θ. Así, en un test sesgado, habrá al menos un θ₁ de H₁ tal que β(θ₁) < α. Si al obtener la muestra esta pertenece a la región crítica, el criterio de decisión de este test sesgado podría llevar al contrasentido de aceptar H₁, aún a pesar de ser más improbable de obtener la muestra que bajo H₀.

En muchas situaciones donde no existe un test UMP absoluto, sí existe un test UMP dentro de la categoría de los insesgados y se le denomina test uniformemente más potente insesgado.