Treballs de Recerca Matemàtiques

Engeguem per dotzè any consecutiu el nostre programa UB de suport als treballs de recerca en matemàtiques. L'objectiu continua sent oferir suport des de la Facultat als tutors i a l'alumnat interessat a dirigir i dur a terme, respectivament, treballs de recerca en matemàtiques.

Consulteu la nostra llista de propostes de treballs per a aquest any. Per facilitar la feina dels tutors a l'hora de dirigir els treballs de manera autònoma, en cadascuna de les propostes trobareu un enllaç amb una explicació més àmplia i amb informació sobre el material, així com la bibliografia corresponent.

L'alumnat que mostri més interès i capacitat per a les matemàtiques té també la possibilitat de demanar el suport d'un dels nostres estudiants. Si sou tutor i creieu que algun dels vostres alumnes s'adapta a aquest perfil, no dubteu a enviar-nos abans del 5 d'abril un correu a recerca.secundaria@ub.edu amb les vostres dades, les de l'alumne/a i un breu paràgraf en què s'expliquin les seves aptituds per les matemàtiques.

Intentarem satisfer el màxim nombre de peticions, en funció de la quantitat d'alumnes de la Facultat de què disposem. Si escau, doncs, se us assignarà un alumne/a de la nostra Facultat que farà una part del seguiment del treball. Aquest alumne, sempre en col·laboració amb vosaltres, podrà ampliar el material existent, explicar conceptes nous, ajudar en les parts mes difícils, etc.

Només resta animar-vos a treure profit de les nostres propostes.
Si finalment participeu com a tutors en un dels nostres treballs ens agradaria que ens ho expliquéssiu!
Molt cordialment,

Joan Gispert
Coordinador de Suport als Treballs de Recerca de Secundària
recerca.secundaria@ub.edu

Treball 1. Com abordar numèricament les integrals que no sabem fer (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa fer una introducció a les integrals definides i descobrir diferents maneres d'aproximar-les. S'apliquen aquestes maneres al càlcul d'un bon nombre d'integrals, comparant els diversos mètodes usats. Cal utilitzar un llenguatge de programació per implementar els programes que realitzen els càlculs numèrics corresponents.

Treball 2. Com circular per una xarxa (Dr. Antoni Benseny)
Es proposa de resoldre diversos problemes de cerca de camins en un graf amb diversos objectius: camins eulerians, camins hamiltonians, camins mínims. Cal primer saber trobar aquests camins a mà i després elaborar els programes informàtics de cerca d'aquests per a un graf qualsevol.

Treball 3. Fractals geomètrics i dimensió fractal (Dra. Núria Fagella)
Es proposa la construcció d'objectes fractals mitjançant processos geomètrics repetits infinites vegades: el triangle de Sierpinski, la corba de Koch, etc. Aquests objectes tenen propietats molt sorprenents que en moltes ocasions desafien la intuïció. La dimensió fractal és una generalització de la dimensió habitual i pot prendre valors fraccionaris. D'aquesta manera podem reflectir el fet intuïtiu que els objectes fractals no són rectes, ni cercles, ni discs, ni cubs, etc. Caldrà fer servir l'ordinador al menys a nivell d'usuari per a treballar amb els fractals.

Treball 4. Iterar funcions als complexos i els fractals que en resulten (Dra. Núria Fagella) 
Iterar una funció (aplicar-la repetidament fins a infinites vegades) és un procés natural amb multitud d'aplicacions. En iterar funcions definides als nombres complexos s'obtenen objectes fractals fascinants, com els coneguts conjunts de Júlia o el conjunt de Mandelbrot. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental).

Treball 5. Newton en colors: com trobar arrels complexes pel mètode de Newton  (Dra. Núria Fagella) 
El mètode de Newton per trobar arrels de funcions pot aplicar-se amb nombres complexos i aleshores trobem les arrels de la funció al pla complex. Aquest és un exemple de iteració, i, amb l'ajut de l'ordinador, s'obtenen fractals que formen les fronteres de les diferents conques d'atracció. Aquest treball requereix aprendre l'aritmètica i la geometria elementals dels nombres complexos. Cal fer servir l'ordinador per a dibuixar els fractals (en principi, l'ús a nivell d'usuari és suficient però, si es vol, es pot fer el programa que els dibuixa, la qual cosa afegeix al treball una part de programació elemental).

Treball 6. Problemes famosos de Probabilitat (Dra. Olga Julià)
Aquest treball començaria fent un seguiment al llarg de la historia de tres problemes que van afavorir el desenvolupament de la Probabilitat: el càlcul dels resultats possibles al llançar n daus, el problema dels punts i el problema del cavaller de Méré. Aquests problemes van ser mal resolts inicialment, i alguns han trigat segles fins que s'ha donat la solució correcta. Es tracta que l'alumne reculli la informació, entengui les diferents solucions que es van proposant al llarg de la història i sàpiga perquè són o no correctes. El treball completaria amb problemes curiosos com el dels aniversaris o el de les tres portes, aquest últim pot servir per a il·lustrar que fins i tot científics del nostre temps s'han equivocat a l'hora de resoldre problemes de probabilitat aparentment senzills.

Treball 7. Criptografia (Dr. Xavier Guitart)
El treball començaria amb una introducció a la criptografia: descriure el problema que pretén resoldre, introduir la terminologia bàsica, i fer un breu repàs a
la seva història i a com han evolucionat les seves aplicacions (des de la guerra en els seus orígens, fins a les comunicacions digitals avui en dia). També es poden descriure tant algunes tècniques de xifrat clàssiques, com ara el xifrat per transposició, i comentar-ne els atacs i la vulnerabilitat, com mètodes actuals com és el mètode RSA i aprofitar per distingir la criptografia de clau pública i la criptografia de clau privada..

Treball 8. Val la pena jugar? Un passeig per la combinatòria i les probabilitats elementals  (Dr. Josep Vives)
Es proposa analitzar diversos jocs d'atzar de la nostra cultura i calcular les probabilitats de guanyar-hi. Entre altres podem estudiar les travesses, la 6/49 o primitiva, la rifa de Nadal, el pòquer de cartes, el pòquer de daus, la ruleta francesa, etc... L'objectiu és fer un repàs de les diferents tècniques de la combinatòria així com adquirir els conceptes elementals de la teoria de la probabilitat. 

Treball 9. Empaquetament d'esferes   (Dr. Jordi Marzo)
El problema de trobar els empaquetaments més densos de l'espai amb esferes (sphere packing) és un problema clàssic molt fàcil de plantejar, molt difícil de resoldre i amb tot de connexions interessants amb diferents branques de les matemàtiques. Del problema quan els centres de les esferes formen una xarxa regular (lattice), passarem al problema general i n'estudiarem d'altres relacionats, com el de determinar el màxim nombre de contactes (kissing number), els codis esfèrics o els codis correctors d'errors.