Dialèctica entre coneixement explícit (caixa clara), accessible i comprensible, i coneixement implícit (caixa negra), que es fa servir sense una comprensió profunda del seu funcionament.

No sabem com funcionen les caixes negres, però podem investigar-les per entendre-les millor i convertir-les en caixes més clares. De tota manera, mai obtindrem una caixa del tot blanca, sempre quedaran ombres subjectes a nous qüestionaments. De vegades, les caixes clares es tornen negres, quan ens sorgeixen dubtes sobre alguna cosa que pensàvem que enteniem bé.

La dialèctica de les caixes negres i les caixes clares dinamitza la indagació en cercar entendre els aspectes foscos i es capaç de qüestionar aspectes que creiem saber bé.

A la TAD, les condicions són els factors que afecten qualsevol activitat, coneixement o praxeologia, que els permeten existir. Les restriccions són condicions que no poden ser modificades per certs actors. Per exemple, el currículum és una restricció per al docent, però una condició per al sistema educatiu.

L’anàlisi de condicions i restriccions permet comprendre perquè certes transformacions didàctiques són difícils o impossibles, i ajuda a situar el treball del docent en un marc institucional realista

Vegeu també: institució, praxeologia.

El contracte didàctic és un concepte clau desenvolupat per l’investigador Guy Brousseau (1986) en el marc de la Teoria de les Situacions Didàctiques. Fa referència al conjunt de normes implícites que regulen les expectatives i els comportaments mutus entre professorat i alumnat en relació amb el saber en joc dins del sistema didàctic. Aquestes normes no acostumen a ser explícites, però guien constantment què s’espera que faci l’alumne, com s’ha de respondre, què espera el docent i viceversa.

En essència, el contracte didàctic defineix com es reparteixen les responsabilitats entre professorat i alumnat al llarg del procés d’estudi: qui decideix què s’ha de fer, per què, com i quan; qui planteja les preguntes importants; qui valida les respostes. L’aprenentatge sorgeix del traspàs d’aquestes responsabilitats del professorat a l’alumnat, un traspàs que es pot donar de maneres molt diverses.

Les ruptures de contracte —canvis sobtats en la manera com es distribueixen aquestes responsabilitats— són especialment significatives. Sovint comporten traspassos forts de responsabilitat que afavoreixen l’aprenentatge. Per exemple, quan un infant que aprèn a anar en bicicleta demana: “No em deixis anar, eh?”, l’aprenentatge real s’activa quan l’adult trenca el contracte i el deixa anar sol. A la inversa, l’infant que diu “Ho faré jo!” està tibant el contracte per assumir més responsabilitat.

Aquestes ruptures poden provocar conflictes i moments d’inestabilitat, però també creen oportunitats valuoses per replantejar el saber en joc. Així, quan un professor deixa de validar les respostes dels alumnes i els anima a buscar ells mateixos estratègies de validació, s’estableix un escenari ric per a l’aprenentatge.

Vegeu també: sistema didàctic, situacions didàctiques, avaluació.

En el marc de la TAD, la didàctica no és simplement “l’art d’ensenyar”, sinó una ciència que estudia els fenòmens didàctics, és a dir, les condicions socials, institucionals i epistemològiques que permeten la transmissió i la transformació del saber.

La didàctica analitza com s’organitza el sistema didàctic, com es construeixen els sabers escolars, quin paper juguen les institucions i quines són les restriccions que configuren l’ensenyament. Aquest enfocament permet superar la visió reduccionista centrada només en l’acció del professor i de l’alumne.

Vegeu també: sistema didàctic, institució, transposició didàctica.

Aquesta dialèctica descriu la tensió entre allò que es considera “dins” de l’objecte d’estudi previst pel currículum o la institució i allò que queda “fora”, encara que pugui ser pertinent o necessari.

La TAD mostra com els sabers escolars solen limitar-se al que es considera dins del tema, ignorant dimensions culturals, històriques o interdisciplinàries del saber.

En un REI, aquesta frontera pot ser desdibuixada, permetent explorar connexions imprevistes.

Per exemple, estudiar proporcionalitat pot portar a discutir qüestions sobre justícia social o economia, inicialment “fora” del tema.

Veure també: mesogènesi, obra, estudi.

Fa referència a les relacions tensionals i dinàmiques que s’estableixen entre diferents elements d’un procés. No és un concepte aïllat, sinó una estructura que permet analitzar com es desenvolupen, transformen i reorganitzen les pràctiques i els sabers al llarg del temps. Les dialèctiques generen retroalimentacions productives que impulsen la indagació, donant lloc a un estudi no lineal, obert i en reconstrucció constant.

Aquestes relacions dinàmiques estructuren els processos d’indagació, fent visibles les tensions que provoquen avenços, reorganitzacions i emergència de noves qüestions i respostes. Per exemple, una dificultat per validar una conjectura pot impulsar la cerca de nous mitjans, generant així noves preguntes i noves hipòtesis.

Les dialèctiques de la indagació són:

• Dialèctica de l’estudi i de la investigació (de les preguntes i respostes)
• Dialèctica de l’individu i el col·lectiu
• Dialèctica de l’anàlisi-síntesi praxiològica i de l’anàlisi-síntesi didàctica
• Dialèctica de circumscriure’s i sortir del tema
• Dialèctica del paracaigudista i del cercador de tòfones
• Dialèctica de les caixes negres i caixes clares
• Dialèctica del medi i els media
• Dialèctica de la lectura i de l’escriptura
• Dialèctica de la difusió i recepció de respostes
• Dialèctica dels sistemes i els models

Activitat que implica enfrontar-se a una qüestió problemàtica, amb l’objectiu de construir una resposta. L’estudi pot incloure la utilització, l’aprenentatge, l’ensenyament o la creació de nous coneixements matemàtics.

Estudiar és molt més que “aprendre continguts”; implica emprendre un procés sistemàtic d’investigació i producció de sabers. Estudiar significa comprometre’s amb una qüestió que afecta el món, organitzar mitjans per donar-hi resposta, analitzar les respostes disponibles i produir coneixement nou o reorganitzat.

Aquest concepte és fonamental en els recorreguts d’estudi i recerca (REI), on estudiar és una pràctica col·lectiva, orientada per una qüestió generadora que activa múltiples dialèctiques. Per exemple, estudiar com calcular l’àrea d’una figura irregular implica experimentar, conjecturar, formalitzar i validar.

Vegeu també: qüestionament del món, REI, praxeologia.

Els conceptes d’ensenyament i aprenentatge no s’aborden com a processos individuals ni merament psicològics, sinó com a fenòmens intervinguts institucionalment i estructurats per praxiologies. “Ensenyar” i “aprendre” no són oposats, sinó funcions complementàries dins del sistema didàctic.

Veure també: relació a un objecte, sistema didàctic, estudi.

Aquesta dialèctica aborda la tensió entre allò que pertany a l’experiència i coneixement individual i allò que es construeix, negocia i valida col·lectivament.

En un REI, per exemple, els estudiants poden partir d’idees pròpies (individuals) però el procés d’estudi els condueix a confrontar-les, ajustar-les i reconfigurar-les en funció de criteris compartits. Aquesta tensió és present en totes les situacions didàctiques: s’aprèn com a individu en un procés col·lectiu. La noció d’“obra” també recull aquesta idea, ja que tota producció de saber és individual i col·lectiva alhora.

Vegeu també: obra, qüestionament del món, estudiar.

Els media són totes les fonts possibles d’informació, instruments creats expressament per transmetre coneixement, dades, etc. Actualment, Internet és el media que més consultem, però també els llibres, articles, notícies, vídeos són media, així com persones expertes quan transmeten els seus coneixements. Hi ha media més fiables que altres però, en general, quan indaguem hem de qüestionar sempre les respostes que ens aporten els media i contrastar-ne la validesa i la veracitat.

És un dels tres tipus de gènesis didàctiques que descriu la TAD (juntament amb la cronogènesi i la topogènesi).

La mesogènesi fa referència a la gènesi i evolució del “medi” del sistema didàctic, és a dir, a com es va construint el conjunt d’objectes i recursos que permeten abordar qüestions i generar coneixement. Funciona a través de la dialèctica medis-media.

Veure també: Medi, Cronogènesi, Topogènesi, Dialèctiques de la indagació.

Procés de construcció i ús de models per estudiar sistemes, tant matemàtics com no matemàtics.

La modelització no es limita a traduir un problema a llenguatge matemàtic, sinó que s’entén com un procés complex que implica una qüestió sobre un sistema, una delimitació d’aquest sistema, la construcció d’un model, la seva utilització i evolució, fins a la producció de noves informacions o coneixements sobre el sistema.

Modelitzar és decidir quins aspectes d’una situació són rellevants, com representar-los i com operar sobre aquestes representacions.

Per exemple, modelitzar el creixement d’una població pot implicar usar funcions exponencials, ajustar dades reals i reflexionar sobre els límits del model.

Vegeu també: Obra, Praxeologia, Recorregut d’Estudi i Investigació.

Representació simplificada d’un aspecte de la realitat que s’utilitza per comprendre-la o per resoldre problemes. Un sistema és un conjunt d’elements (paraules, idees o “coses”) interrelacionats que formen un tot, mentre que un model és una representació del sistema. Les nocions de “model” i “sistema” són relatives al paper que desenvolupen en un procés de modelització. Així, el model d’un sistema en un procés de modelització pot assumir el paper de sistema en un altre procés.

A més, un model és una construcció conceptual que representa certs aspectes d’una realitat o fenomen, amb propòsits explicatius, predictius o exploratoris. En didàctica, un model pot referir-se tant al model matemàtic d’una situació (per exemple, una funció) com al model didàctic d’una classe o seqüència.

També es parla de sistemes (didàctic, institucional, de pràctiques) que interaccionen i que es representen mitjançant models. Per exemple, el sistema didàctic es pot modelitzar com una tríada (professor, alumne, saber). Comprendre un model implica identificar-ne els supòsits, els límits i els propòsits.

Vegeu també: Sistema Didàctic, Modelització, Obra.

Entorn amb el qual les persones interactuen i que no té intencions concretes sobre les accions d’aquestes persones. El medi pot ser físic (materials) o conceptual (coneixements previs).

En el context escolar, el medi és el conjunt de recursos materials, simbòlics i institucionals que una persona pot mobilitzar en una situació per realitzar una activitat.

El medi és una construcció situada: depèn del context, del subjecte, de l’objecte d’estudi i de les normes institucionals. Un medi pot incloure eines físiques (com una calculadora), sabers institucionalitzats (com una fórmula) o fins i tot formes de validació acceptades. El medi no està donat: es construeix i evoluciona a mesura que avança el procés d’estudi.

Per exemple, resoldre una equació quadràtica pot requerir com a medi l’ús de la fórmula general, la factorització o un mètode gràfic.

Vegeu també: Praxeologia, Relació a un objecte, Mesogènesi.

Són fases identificables dins d’un procés d’estudi, especialment en els Recorreguts d’Estudi i Investigació (REI).

Inclouen:

• el moment del primer encontre amb la tasca que es vol realitzar o la qüestió que s’ha d’estudiar,
• el moment de l’exploració que permet que sorgeixin tècniques per abordar la qüestió o realitzar la tasca,
• el moment tecnològic-teòric per descriure, explicar i justificar el que es fa,
• el moment de la institucionalització per fer balanç del que s’ha fet i fins on s’ha arribat de cara a nous possibles usos i
• el moment d’avaluació per contrastar i validar el resultat final obtingut.

Els moments de l’estudi no tenen un caràcter cronològic; s’han de considerar més aviat com a dimensions del procés d’estudi. Cada moment es caracteritza pe diferents tipus d’activitats i de relacions amb el coneixement.

Vegeu també: Cronogènesi, Medi, Dialèctiques de la indagació

Aquesta dialèctica dels processos d’indagació descriu la tensió entre els “medis” que l’estudiant pot mobilitzar i els “media” que pot consultar buscant resposta a les qüestions que es planteja (per exemple, Internet, ChatGpt, el professor o un llibre). Aquesta dialèctica és essencial per al progrés d’una indagació: allò que un estudiant pot fer (els seus medis) es construeix en relació amb els missatges obtinguts dels media. Quan la informació del media s’ha validat i es considera segura, s’integra al medi per poder generar nou coneixement. En la indagació, els elements dels media s’han d’integrar en el medi i els elements del medi han de poder generar nova informació, funcionant com un media. La dialèctica es torna problemàtica quan sempre es necessita la intervenció d’una persona (per exemple, el professor) per validar els media i integrar-los en el medi.

Vegeu també: Medi, Dialèctiques de la indagació.

Paradigma pedagògic en què els objectius de l’estudi es defineixen a partir d’una selecció prèvia d’obres acabades (les matemàtiques, l’anglès, la geografia, l’àlgebra, les equacions de segon grau, la fórmula del determinant, etc.) amb què els estudiants han de familiaritzar-se i “conèixer” (poder-les utilitzar, poder dir coses sobre elles, etc.). Una deriva d’aquest paradigma és el “monumentalisme”, quan les obres per estudiar es converteixen en “monuments” que s’assumeixen com a importants, sense qüestionar-ne el valor, la utilitat o la rellevància.

Veure també: Obra, Paradigma del qüestionament del món

Paradigma que proposa que l’estudi parteixi de qüestions significatives sobre el món, en lloc de la visita d‟obres matemàtiques preestablertes.

Implica una actitud proactiva, problematitzant, herbartiana, exotèrica i enciclopedista.

El qüestionament del món és una noció central a la TAD que fa referència a l’actitud de posar en qüestió aspectes de l’entorn, de la cultura o del saber instituït, com a punt de partida per a l’estudi. A diferència de les situacions tancades, el qüestionament del món promou un saber obert, inacabat, que es construeix a partir de preguntes rellevants. És el motor epistemològic del REI i un dels fonaments duna didàctica no dogmàtica.

Per exemple, qüestionar “per què hi ha diferents alfabets però tothom utilitza el sistema de numeració decimal?” pot portar a investigar diferents tipus de sistemes de numeració (històrics i actuals) i comprendre’n la racionalitat.

Vegeu també: qüestió generatriu, recorregut d’estudi i investigació, actituds del qüestionament del món.

Model o patró (sovint implícit) que regeix la manera com s’interpreten els sabers i el seu estudi en una institució determinada.

Al nivell pedagògic, identifiquem el paradigma de la visita de les obres, on les obres s’estudien de forma preestablerta, i el paradigma del qüestionament del món, on l’estudi parteix de preguntes significatives.

En el nivell disciplinar (matemàtic) la TAD assumeix el paradigma de la modelització matemàtica i en els nivells subdisciplinaris construeix paradigmes didàctics alternatius als vigents a les institucions escolars.

Veure també: Qüestionament del món, Estudiar, REI.

Una qüestió generatriu és una pregunta amb un poder heurístic fort que serveix com a punt de partida per a un procés d’estudi en un REI. Aquesta qüestió ha de ser genuïnament problemàtica, tenir interès i sentit per als estudiants i permetre el desplegament de múltiples camins de recerca.

Per exemple, en un REI sobre demografia, la qüestió “pot una població créixer indefinidament?” podeu activar l’exploració de models matemàtics, aspectes ètics i dades reals. Les qüestions generatrius activen el qüestionament del món i orienten el disseny del medi didàctic.

Vegeu també: recorregut d’estudi i investigació, qüestionament del món.

Aquesta dialèctica fa referència a la relació dinàmica entre les preguntes que es formulen en un procés destudi i les respostes que es construeixen.

En el marc dels recorreguts d’estudi i investigació (REI), les preguntes no són simplement una excusa per arribar a una resposta preestablerta o per utilitzar una eina de saber, sinó que generen noves preguntes, retroalimenten el procés i orienten l’estudi cap a noves direccions. Aquesta dialèctica implica reconèixer que el coneixement no avança linealment, sinó mitjançant cicles d’interrogació i producció de respostes provisionals. Per exemple, respondre la pregunta “pot una població créixer indefinidament?” pot generar noves preguntes com “quins factors limiten aquest creixement?”.

Vegeu també: qüestió generatriu, qüestionament del món, estudi.

L’expressió “raó de ser” designa el fonament funcional d’un objecte de saber o d’una pràctica: per a què serveix?, per què va aparèixer?, quin problema resol? Tot saber té una raó de ser que, en l’àmbit escolar, sovint queda oculta pel mode en què es presenta.

Recuperar la raó de ser d’un contingut implica connectar amb el seu origen, la seva funció social o el seu paper en la resolució de problemes.

Per exemple, la raó de ser del sistema decimal és la necessitat de representar eficientment quantitats grans i operar amb elles.

En un Recorregut d’Estudi i Investigació (REI), descobrir o reconstruir aquestes raons de ser és una part fonamental de l’estudi.

Vegeu també: Qüestionament del món, Obra, Estudiar.

La TAD concep el coneixement com una relació entre un subjecte i un objecte. Aquesta relació pot ser personal o institucional, i s’expressa a través del conjunt de tasques, tècniques, creences, expectatives i discursos que el subjecte té respecte a aquest objecte.

Per exemple, un estudiant pot tenir una relació instrumental amb la divisió (com a operació útil per repartir) mentre que la institució escolar pot exigir una relació tècnica i simbòlica (amb ús de l’algorisme). Analitzar aquestes relacions permet comprendre resistències, malentesos o ruptures en el procés daprenentatge.

Veure també: Medi, Sistema Didàctic, Obra.

Coneixement produït en un context acadèmic o científic, sense tenir en compte la seva ensenyabilitat. És el punt de partida de la transposició didàctica. No tot saber savi pot ni ha de ser ensenyat tal com és a l’escola.

La TAD distingeix entre saber savi (el produït en contextos acadèmics o professionals), saber per ensenyar (el saber que se selecciona per a l’escola) i saber ensenyat (el que realment es transmet a l’aula). Aquesta distinció permet analitzar com es transforma el saber en el seu pas per les diferents instàncies institucionals.

Per exemple, el càlcul de probabilitats pot tenir un estatus rigorós en la matemàtica acadèmica, però a l’aula de secundària s’ensenya de forma elemental, i el que finalment s’aprèn pot ser encara diferent.

Vegeu també: Transposició Didàctica, Obra, Saber per ensenyar

Saber que es selecciona, s’organitza i es transforma amb l’objectiu de ser ensenyat. Sorgeix del procés de transposició didàctica.

Per exemple, una selecció de propietats dels triangles que es presenten de forma progressiva a l’educació secundària constitueixen saber per ensenyar. És saber que circula a l’escola abans de ser efectivament ensenyat. Veure també: Saber savi, Transposició Didàctica.

Un sistema és un conjunt d’objectes (paraules, idees o coses) que tenen certes propietats i que mantenen relacions entre si. Un model és una representació simplificada d’un sistema construït amb la intenció de respondre qüestions plantejades en el sistema i la resposta de les quals no es pot obtenir directament amb els elements del sistema.

Veure també: Model.

Nocions de la Teoria de les Situacions Didàctiques. Són contextos o escenaris on es desenvolupa l’estudi i es posa en joc el coneixement a través de la interacció amb un medi.

Les situacions poden ser didàctiques, adidàctiques o no didàctiques. Una situació didàctica és aquella en què el professor intervé directament per guiar l’aprenentatge de l’alumne. Una situació adidàctica, en canvi, és aquella en què l’estudiant interactua amb el medi sense la intervenció directa del docent, tot i formar part d’un projecte didàctic d’ensenyament. La “didacticitat” no té un caràcter absolut: les situacions són no-didàctiques, didàctiques o adidàctiques segons les accions i perspectives dels seus actors i dels observadors. Un pot aprendre d’una situació no didàctica, transformant-la en adidàctica.

Vegeu també: Medi, Sistema Didàctic, Contracte didàctic.

Són el primer element de la praxi d’una praxeologia, juntament amb les tècniques que permet dur a terme les tasques dels diferents tipus.

Cada tipus de tasques té associades una o diverses tècniques, que es justifiquen alhora amb elements tecnològics i teòrics que formen el logos de la praxeologia.

Identificar el tipus de tasques permet analitzar quina praxis està en joc i com s’espera que l’estudiant actuï.

Per exemple, el tipus de tasca “calcular el perímetre d‟una figura” implica certes tècniques (sumar longituds), tecnologies (ús de definicions geomètriques) i teories (propietats de les figures). Les tasques també poden ser problemàtiques quan no hi ha una tècnica disponible per dur-la a terme o quan la tècnica existeix però no resulta eficaç.

Veure també: Praxeologia, Tècnica, Tecnologia, Teoria, Moments didàctics.

La teoria correspon al nivell últim de justificació d’una praxeologia.

Es refereix al discurs que justifica la tecnologia. Serveix per organitzar, justificar i donar sentit a un conjunt de tecnologies, tècniques i tipus de tasques. Les teories poden ser explícites (com el càlcul infinitesimal) o implícites (per exemple, la noció d’igualtat en àlgebra escolar). No tenen per què correspondre a una organització de saber ben elaborrada i estructurada. Una teoria permet connectar diferents praxeologies aportant-los una fonamentació comuna.

Veure també: Praxeologia, Tipus de tasques, Tècnica, Tecnologia.

En el marc d’una praxeologia, la tecnologia és el discurs que descriu, explica i justifica una tècnica.

Busca fer-la intel·ligible, per a un mateix i per als altres. No fa referència a artefactes digitals o coses concretes, sinó a tot allò que fa que les accions siguin comprensibles. Els elements de les tecnologies, la seva justificació i la fonamentació formen part de la teoria d’una praxiologia. Les tecnologies estan a mig camí entre les tècniques i les teories, i el desenvolupament és fonamental en l’evolució de la relació de l’alumne amb el saber.

Vegeu també: Tipus de tasques, Tècnica, Teoria, Praxeologia.

Una tècnica és el procediment que s’aplica per resoldre un tipus de tasca.

Juntament amb els tipus de tasques, formen el component pràctic —la praxi— d’una praxeologia. Qualsevol saber fer, encara que no sigui sistemàtic, es considerarà una tècnica (més o menys rutinària o desenvolupada). Una tècnica és allò que es fa. Per descriure i explicar el que es fa i com es fa, cal un discurs anomenat “tecnologia” que, juntament amb la teoria, formen el logos de la praxeologia. És molt difícil estudiar les tècniques sense tenir en compte les tecnologies que les acompanyen, encara que aquestes estiguin poc desenvolupades.

Vegeu també: Praxeologia, Tecnologia, Teoria, Tipus de tasques.

Una de les tres gènesis didàctiques descrites per la TAD (juntament amb cronogènesi i mesogènesi).

La topogènesi fa referència a la distribució dels rols entre els actors del sistema didàctic: qui ensenya, qui aprèn, qui valida, qui pregunta. Aquests rols es poden desplaçar o redistribuir durant el procés d’estudi.

Per exemple, en un REI, els alumnes poden assumir temporalment el rol dels qui investiguen o validen, cosa que transforma la topogènesi tradicional en què el docent valida el que fa l’alumne. L’anàlisi topogenètica permet comprendre els equilibris o tensions en la interacció didàctica.

Veure també: Contracte didàctic, Qüestionament del món.

Organització i gestió del temps en el procés destudi, incloent la durada de les tasques, els ritmes de treball i la seqüència dactivitats.

Vegeu també: Cronogènesi

En grec, topos significa “lloc”. El terme s’utilitza per designar la posició que ocupen les persones en una institució o procés.

En particular, en un procés d’estudi, el topos de l’alumne i el del professor remeten a les responsabilitats que assumeix cadascú. L’ensenyament és, en particular, un transvasament de responsabilitats. Per tant, els topos d’alumnes i professors evolucionen constantment, donant lloc a la topogènesi.

Vegeu també: Contracte didàctic, Dialèctica individu-col·lectiu, Topogènesi

Moment del procés d’estudi en què es practica, es refina i s’adapta una tècnica per resoldre un tipus de problemes o tasques.

Implica tant l’aplicació rutinària d’una tècnica com l’exploració de les possibilitats i els límits. És l’activitat reflexiva mitjançant la qual els subjectes transformen una tècnica per anàlisi. En lloc d’usar una tècnica automàticament, se n’interroga el funcionament, la validesa, els límits. Aquest treball permet passar duna relació instrumental a una relació teòrica amb el saber.

Per exemple, deixar d’aplicar mecànicament la fórmula de l’àrea del triangle i analitzar per què funciona i en quines condicions és vàlida. El treball de la tècnica és essencial en la construcció de tecnologies i teories dins una praxiologia.

Vegeu també: Moments didàctics, Tècnica, Tasca, Praxeologia