12. Se inicia hoy un plan de ahorro con el fin de disponer de 300.000 € dentro de 20 años. Las imposiciones se realizarán mensualmente y crecerán anualmente en 60 € cada mes respecto al mismo mes del año anterior.Si la cuenta se retribuye al 3,5% efectivo anual de interés compuesto, calcular el importe de la primera y última imposición.

 

Las características de la renta fraccionada son:

  • Periodo de la renta:
  • Periodo de la variación:
  • Número de términos de la renta:
  • Número de términos de cuantía diferente:
  • Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación:
  • Durante el primer año, cada término mensual asciende a . Durante el segundo año se incrementará cada término en 60 € con respecto al mismo mes del año anterior, siendo . Esto es, se cumplirá que con .
  • €, siendo H la diferencia de la variación de la renta auxiliar.
  • En cuanto a los términos de la renta auxiliar, el primer términose obtiene como que está situado precisamente donde se encuentra el último término de cuantía .                                                            El segundo término es . Como puede apreciarse, la variación del término de la renta auxiliar es la de la renta fraccionada multiplicada por el número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación que en este caso es 12. Este resultado puede generalizarse al resto de los términos de modo que con . La renta auxiliar es una renta de variación aritmética.

 

Los esquemas temporales correspondientes a la renta fraccionada y auxiliar son:

 

 

Para calcular el importe de la primera imposición mensual se deberá plantear la ecuación de equilibrio en el vigésimo año, ya que el capital que se desea constituir no es más que el valor de la renta en . En este caso, si se aplica la fórmulade la rentalineal, inmediata, vencida y temporalse obtiene el valor de la renta auxiliar un mes antes del origen, en , por tanto, para obtener el valor de la renta en se deberá capitalizar el resultado obtenido 241 meses y hacer la corrección por fraccionamiento:

 

despejando :

 

 

de donde resulta que el importe de la primera y última imposición son: