Pràctica 3. Estudi d'una lent convergent

1 Fonaments

1.1 Lent òptica

Una lent òptica està constituïda per peça de feta de vidre (o d'un altre material transparent), d'índex de difracció n, limitada per dues superfícies esfèriques coaxials (figura 1). Té la propietat que, situant un objecte a una distància s del centre de la lent, es forma una imatge a una distància s'. Si la lent és prima (les dues superfícies estan separades per una distància d molt més petita que s i s') i si solament es tenen en compte els rajos de llum que formen angles petits amb l'eix òptic (aproximació coneguda com a òptica paraxial on), la relació entre s i s' ve donada per

(1)

on f és una constant, anomenada distància focal de la lent, que depèn de la naturalesa del material de la lent (del seu índex de refracció) i dels radis de curvatura de les seves dues superfícies límit.

Atenent al signe de f existeixen dos tipus de lents: les convergents (f >0) i les divergents (f<0). La figura 1 mostra el diagrama de rajos de llum en el cas d'una lent convergent quan s i s' són positives.

Figura 1. Sabrem que hem situat la pantalla just en la posició s' quan la imatge projectada estigui ben enfocada. En canvi, si no posem la pantalla exactament a la posició s', la imatge resulta borrosa, ja que els diferents rajos procedents d'un cert punt de l'objecte no van a parar a un mateix punt sinó que determinen una “taca” de llum

1.2 Mesura de s i s'

És de destacar que tot i que, en la igualtat (1), s i s' són equivalents, a l'hora de fer mesures no podem tractar de la mateixa forma l'objecte i la imatge. El primer sol ser un objecte físic, la posició del qual, s, no presenta cap indeterminació en ser mesurada, llevat de la pròpia resolució del sistema de mesura. En canvi, per a poder mesurar s' cal que utilitzem una pantalla on es projectarà la imatge i això comporta una certa indeterminació en la posició de la pantalla (i en la mesura de s'), ja que és observant la imatge, amb el criteri de qui fa la mesura, que s'ha de decidir en quina posició de la pantalla la imatge està ben enfocada (figura 1). L'interval de posicions de la pantalla on podem considerar que la imatge està ben enfocada rep el nom de profunditat de focus i, des del punt de vista de la mesura de s', constitueix la seva principal incertesa, δs'.

1.3 Augment lateral

Un altre aspecte que apareix a la figura 1 és que la grandària de l'objecte, y, i de la imatge, y', generalment no és el mateix. Per caracteritzar aquest fet es defineix com a augment lateral el quocient

(2)

En el cas particular de la figura 1, y > 0 i y' < 0 (imatge invertida) per la qual cosa m < 0.
Per semblança de triangles, i degut a que el raig que passa pel centre de la lent no es desvia, tenim

(3)

igualtat que ens permet expressar m en funció de s i s'

(4)

1.4 Equació del constructor de lents

És l'expressió matemàtica que proporciona el valor de la focal d'una lent, a partir dels radis de curvatura (R1 i R2) de les dues superfícies i de l'índex de refracció, n, del vidre

(5)

1.5 Dispersió cromàtica

L'index de refracció de la llum depèn lleugerament de la seva longitud d'ona (http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index). Això fa que la focal, f, no sigui exactament la mateixa per als diferents colors sinó que, a partir de la dependència n(λ) i de (5)

(6)

tot i que sovint les diferències són mot petites. No obstant això, aquest efecte provoca la que es coneix com a aberració cromàtica, caracteritzada per que les imatges presenten els contorns acolorits amb els colors de l'arc de Sant Martí. En els bons sistemes òptics comercials aquesta aberració es corregeix mitjançant els anomenats doblets acromàtics.

2 Dispositiu experimental

Lent convergent muntada sobre un suport mòbil que la manté amb el seu eix en posició horitzontal. El diàmetre de la lent és de 4 cm.
Tres objectes òptics disposats en un mateix pla vertical i muntats sobre un suport mòbil. Cadascun d'ells és un petit cercle opac imprès sobre un full transparent, està disposat en un dels vèrtex d'un triangle equilàter de 12 mm de costat, i està il·luminat amb un LED monocromàtic: vermell (λ = 650 nm), verd (λ = 510 nm) i blau (λ =480 nm).
Font d'alimentació dels LED's de colors. Tingueu present, a l'apartat de procediment experimental, que no s'han de superar ni els 6 V de tensió ni els 80 mA d'intensitat.
Pantalla blanca (muntada sobre un suport mòbil que la manté en posició vertical) per a recollir la imatge.
Elements de mesura de distàncies: cinta mètrica, regle i peu de rei.
Regle pla, fixat a la taula de treball, per a facilitar l'alineament dels elements de l'experiment.
Diafragma per afegir a la lent.

3 Procediment experimental

3.1 Connexió dels LEDs a la font d'alimentació

Assegureu-vos que la font no està engegada
Assegureu-vos que els reguladors de tensió i intensitat estan en la posició de mínim (completament girats en sentit antihorari).
Engegueu la font i comproveu que les pantalles de tensió i intensitat indiquen zero.
Connecteu el bloc dels LEDs a la font d'alimentació (vermell amb vermell i negre amb negre). Incrementeu el voltatge i la intensitat usant solament els botons FINE fins que el corrent sigui d’uns 0,02 – 0,04 A i el voltatge de 3-4 V. Amb aquest voltatge podem veure amb suficient intensitat de llum la imatge vermella projectada a la pantalla. Quan treballeu amb la imatge blava pot ser que us calgui augmentar V fins a uns 4,5 – 5,5 V. No supereu mai els 6 V doncs faríeu malbé els LEDs.

3.2 Mesura de les distàncies imatge

Amb ajud del regle d'alineament fixat a la taula, situeu el suport amb els tres objectes, la lent i la pantalla coaxialment.
Ajusteu les posicions de l'objecte i de la lent per a que la distància entre ells, s, sigui la que vulgueu estudiar, i mesureu-la.
Movent la pantalla, tracteu de que la imatge de l'objecte vermell que s'hi forma estigui el màxim de ben enfocada.
Mesureu i anoteu la distància entre la lent i la pantalla per a l'objecte vermell, s'vermell.
Movent la pantalla, tracteu de que la imatge de l'objecte verd que s'hi forma estigui el màxim de ben enfocada.
Mesureu i anoteu la distància entre la lent i la pantalla per a l'objecte verd, s'verd. No us amoïneu si s'vermell i s'verd us surten molt semblants.

3.3 Mesura de la incertesa de la distància imatge

Movent la posició de la pantalla determineu δs', el marge de distàncies imatge en el que es pot considerar que la imatge en la pantalla està ben enfocada. Aquesta mesura solament es fa per un dels colors (el verd), ja que per a l'altre el resultat és aproximadament el mateix.

3.4 Mesura de la grandària de la imatge

Anoteu la mesura, sobre la pantalla, de la distància entre el centre de la imatge verda i la vermella, y'.

3.5 Obtenció de la col·lecció de mesures

Repetiu 3.2, 3.3 i 3.4 per a diferents distàncies objecte, s, fins a completar unes 12 mesures (s, s'vermell, s'verd, δs' i y'). Procureu que els valors de s que trieu facin que els corresponents 1/s resultin espaiats uniformement (vegeu figures).

Figura . Mesures obtingudes prenent valors equidistants en s.
Figura . Mesures preses per valors equidistants en 1/s.

3.6 Diafragma i profunditat de focus

Afegiu un diafragma a la lent.
Per a una distància objecte qualsevol de les obtingudes a l'apartat anterior, s, repetiu la mesura de s' i mesureu i anoteu el nou valor de la incertesa δsdiafragma'. Comproveu que δsdiafragma' > δs'.

4. Realització de l'informe

4.1 Dependència entre la distància objecte i la imatge

Per al color vermell, representeu en una gràfica la dependència s'(s). Cuideu els aspectes formals de la representació.

4.2 Càlcul de la distància focal del color vermell

Per al color vermell, presenteu la gràfica de la dependència de 1/s' en funció de 1/s. Cuideu els aspectes formals de la representació.
Feu l'ajust lineal en aquesta representació i presenteu els valors del pendent, la ordenada a l'origen i el coeficient de correlació de la recta obtinguda. Vigileu de no incloure en els càlculs els punts que no resultin ben alineats.
Determineu el valor de la focal de la lent per al color vermell.

4.3 Càlcul de la distància focal del color verd

Repetiu 4.2 amb els valors corresponents al color verd.

4.4 Augment de la lent

Determineu, per a cada s, l'augment obtingut a partir de (4) i l'obtingut a partir de (2), tenint present que el valor de la grandària de l'objecte sempre és y = 12 mm.
Presenteu la gràfica de l'augment obtingut a partir de (2) en funció de l'obtingut a partir de (4). Comproveu que la dependència és lineal i calculeu els paràmetres de l'ajust lineal.
Presenteu la gràfica de l'augment, m, en funció de s.

4.5 Incerteses

Presenteu una taula amb les incerteses de les mesures de la variable dependent

on les incerteses en 1/s' s'obtenen, a partir de les incerteses en s', tot aplicant l'algorisme de la propagació d'errors.

Repetiu la gràfica obtinguda a l'apartat 4.3 afegint-li les barres d'error corresponents (obtingudes al punt anterior). En l'informe, feu que aquesta gràfica sigui prou gran (ocupi una pàgina sencera) per tal de que les barres d'error siguin prou visibles.
Presenteu la comparació numèrica entre δs'diafragma i δs' de l'apartat 3.6.

4.6 Resum de tota la pràctica

Escriviu un resum, de com a màxim mitja pàgina, de tota la pràctica, de forma semblant als resums (abstracts) dels articles, i situeu-lo al principi de l'informe, just per darrera del títol i el nom de l'autor.
Contesteu les qüestions que es plantegen a continuació.

5 Qüestions

(a) Procediment de comprovació de que, efectivament, tota la pràctica s'ha desenvolupat dins dels marges on és vàlida l'aproximació paraxial: a partir del diàmetre de la lent i d'alguna de les mesures efectuades (de s i s'), feu una estimació de quin és el més gran dels angles, entre un raig de llum i l'eix del sistema. Compareu el valor d'aquest angle, en radiants, amb el de la seva tangent.
(b) Justifiqueu numèricament, i utilitzant el formalisme de propagació d'errors, si és d'esperar que hagi molta diferència entre les distàncies focals corresponent al LED blau i al LED verd.