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Trazado de rayos

Esta aplicación permite estudiar el comportamiento de sistemas ópticos, como lentes, proyectores, telescopios, etc. Esto incluye tanto el cálculo de sus características (elementos cardinales) como la formación de imágenes, bien usando las aproximaciones de la Óptica paraxial o mediante fórmulas exactas. En este último caso se pueden visualizar y analizar las aberraciones ópticas del sistema.

La ventana inicial está dividida en dos pestañas, una pensada para diseñar "Sistemas de focal corta" y otra para "Sistemas de focal larga": en ambas se reproducen las mismas ventanas, y únicamente cambian la distancia máxima en el gráfico de trazado de rayos y el rango de focales de las lentes.

Anteproyecto (aproximación paraxial)

En esta ventana se puede definir el anteproyecto del sistema óptico que queremos estudiar, y se muestra su comportamiento en la aproximación de la Óptica paraxial. En la parte superior se muestra el trazado de rayos en dicha aproximación para los objetos seleccionados (hasta un máximo de dos) al atravesar las lentes y diafragmas que se hayan añadido al sistema (hasta seis).

Objetos

El programa permite estudiar el trazado de rayos de uno o dos objetos en eje o/y formando un cierto ángulo con el eje óptico (en campo). Al pulsar el botón "Objeto 1" u "Objeto 2" aparecen una serie de barras de desplazamiento con las que se pueden variar las características del objeto seleccionado: éste puede ser real o virtual, y se puede escoger su posición horizontal respecto al origen del sistema de coordenadas (al situar la barra de desplazamiento a la izquierda del todo, el objeto desaparece). Mientras la barra de desplazamiento "Semicampo" se mantenga a un valor nulo, el programa muestra únicamente el trazado de rayos del objeto en eje (en color verde o amarillo según sea el Objeto 1 o el 2, respectivamente). Al variar el valor del "Semicampo", se añade un objeto con el semicampo escogido (en azul para el Objeto 1 y en naranja para el 2).

Lentes y diafragmas

El programa permite añadir al sistema hasta seis elementos, que pueden ser lentes o diafragmas. Pulsando uno de los botones numerados del 1 al 6, se escogen las características del elemento en cuestión:

• Lentes: cuando el botón "Lente" está activado, el programa permite definir la posición horizontal de la lente respecto al origen y su potencia φ' o focal (f'), que están relacionadas según:



Cuando la focal f' se expresa en metros, la potencia φ' viene dada en dioptrías. Para lentes convergentes, f' y φ' son positivas, y negativas para lentes divergentes. Por otra parte, todas las lentes tienen un diafragma por defecto de 70 mm y están centradas respecto al eje óptico.

• Diafragmas: cuando el botón "Diafragma" está activado, el programa permite añadir un diafragma centrado en eje, que limite la marcha de rayos. Se puede definir tanto su posición horizontal como su diámetro. Siempre que la barra de desplazamiento de este último esté a la derecha del todo, el diafragma desaparece.

Una vez que se ha diseñado el sistema (se han añadido lentes, diafragmas y objetos), la semiventana superior muestra el trazado de rayos correspondiente. Cabe recordar que, en Óptica paraxial, la ley que rige para la formación de imágenes es la ley de Gauss: dado un objeto que se encuentra a una distancia s (distancia objeto) de una lente de focal f', su imagen se formará a una distancia s' (distancia imagen) de la lente, donde:

En esta fórmula (y en las que siguen) se supone que la lente se encuentra en un medio de índice de refracción igual a la unidad. Las lentes se consideran delgadas, por lo que las distancias se toman desde la superficie de las mismas. Además, el convenio de signos utilizado indica que las distancias son positivas para objetos/imágenes a la derecha de la lente, y negativas en caso contrario.

Por ejemplo, la imagen de un objeto en el origen a través de una lente de focal f'=200 mm, situada a 600 mm del origen viene dada por:

Es decir, se forma 300 mm a la derecha de la lente, que corresponde a una posición absoluta de 900 mm respecto al origen.

Si ahora se considera un objeto fuera de eje, el aumento lateral del sistema (β'), que es la relación entre el tamaño de la imagen (y') y el del objeto (y), viene dado por:

En el ejemplo anterior:

Es decir, si se considera un objeto con un semicampo de 4º, con un tamaño

por encima del eje (positivo), su imagen tendrá un tamaño:

Es decir, estará invertida y será la mitad de pequeña que el objeto.

En el caso de que el sistema esté compuesto por más de una lente (sistema compuesto), se debe considerar la formación de imagen a través de cada una de las lentes, una detrás de otra:

Los subíndices hacen referencia a la formación de imagen a través de la lente i de focal f'_i (se supone que hay N lentes), para un objeto situado a una distancia objeto s_i. La relación entre la distancia imagen respecto a la lente i, s'_i y la distancia objeto respecto a la lente siguiente, s_i+1, es:

donde d_i,i+1 es la distancia entre las dos lentes (posición de la lente i+1 respecto a la lente i), que será positiva si la lente i+1 se encuentra a la derecha de la lente i.

Los aumentos del sistema compuesto pueden obtenerse como el producto de los aumentos laterales de cada una de las lentes:

El programa muestra, en todos los casos, la posición y tamaño del diafragma de apertura (D.A.), de la pupila de entrada (P.E.) y de la pupila de salida (P.S.) del sistema. El diafragma de apertura de un sistema óptico es el elemento (orificio) que limita la extensión del haz que entra en el mismo procedente del objeto, situado en el eje óptico. La imagen del diafragma de apertura en el espacio objeto o imagen se denomina pupila de entrada y pupila de salida, respectivamente.

Por otra parte, tanto los objetos en estudio como sus correspondientes imágenes a través del sistema pueden ser reales (los rayos de luz convergen y se cortan realmente en un punto) o virtuales (las prolongaciones de los rayos se cortan en un punto). En éste último caso, los rayos convergen hacia o divergen desde un punto. Para conocer su posición exacta, es necesario pulsar el botón "Ver objeto virtual" o "Ver imagen virtual", en cuyo caso el trazado de rayos muestra la prolongación de los rayos con una línea punteada, hasta el punto en cuestión (posición del objeto o de la imagen virtual, según el caso).

Elementos cardinales

Si se pulsa el botón "Elementos cardinales", aparece en la parte inferior el trazado de rayos necesario para encontrar los elementos cardinales del sistema, que son los focos y planos focales (en rojo) y los planos y puntos principales (en magenta).

• Focos y planos focales: la imagen a través de un sistema óptico de un punto objeto situado en el infinito en eje se conoce con el nombre de foco imagen (F'). El plano perpendicular al eje que pasa por F' es el plano focal imagen. Análogamente, el foco objeto (F) de un sistema óptico es aquel punto para el cual todos los rayos emergen paralelos al eje (imagen en el infinito), y el plano focal objeto es aquél que lo contiene y es perpendicular al eje. La posición de F se puede encontrar gráficamente haciendo incidir al sistema un rayo paralelo al eje desde el espacio imagen (desde la derecha), y buscando su intersección con el eje después de atravesar el sistema (de derecha a izquierda). El foco imagen F' se halla de manera parecida.
• Planos y puntos principales: los planos principales (objeto e imagen, uno conjugado del otro) son aquellos planos normales al eje para los cuales el aumento lateral β' es la unidad. Sus puntos de intersección con el eje son los puntos principales H y H', respectivamente. Para obtener el plano principal imagen gráficamente es necesario trazar un rayo paralelo al eje (cuya intersección a la salida pasará por F') y estudiar el punto donde se corten las prolongaciones del rayo incidente y emergente. El plano que contiene a dicho punto y es perpendicular al eje será el plano principal imagen. El plano principal objeto se halla de manera similar, pero ahora el rayo paralelo al eje se traza de derecha a izquierda, de la misma manera que para encontrar F.

En el caso de tener una única lente, que se supone delgada, los planos principales objeto e imagen coinciden con la propia superficie de la lente, y la posición de F y F' viene determinada fácilmente a partir de sus focales objeto e imagen:

Las distancias focales objeto e imagen son iguales y de signo contrario porque estamos suponiendo que los índices antes y después de la lente coinciden.

Para un sistema compuesto por dos lentes de focales f'₁ y f'₂ inmersas en el mismo medio, las focales y posiciones de los planos principales del sistema se calculan según:

donde d_1,2 es, en la aproximación de lentes delgadas, la distancia entre la lente 1 y la 2 (positiva si 2 se encuentra a la derecha de 1). H₁ y H'₂ son el plano principal objeto de la primera lente e imagen de la segunda lente, respectivamente, y coinciden con las superficies de las mismas.

Cálculo exacto

En este apartado se estudia la formación de imágenes a través de un sistema óptico sin tener en cuenta las aproximaciones de la Óptica paraxial, que dejan de ser válidas cuando los campos y aberturas del sistema no son pequeños. En este caso, las imágenes presentan una serie de defectos, conocidos con el nombre de aberraciones (la imagen de un punto ya no es un punto).

El programa muestra el aspecto de la imagen real a través del sistema, tanto en eje como en campo. Pulsando el botón "Imagen" se pueden cambiar sus características: la distancia desde el plano paraxial hasta el plano imagen que se quiera estudiar, y la escala de la ventana de visualización. El programa muestra la posición del plano paraxial, en el que se formaría la imagen según las aproximaciones de la Óptica paraxial.

Por defecto (imagen "monocromática"), la imagen se calcula para una única longitud de onda,

(verde). En este caso se pueden estudiar las aberraciones de punto (esférica, coma y astigmatismo). El programa calcula una función de mérito tanto en eje como en campo, que da cuenta de la "calidad" de la imagen. Si se activa el botón "Color", aparecen también las imágenes para

en los correspondientes colores (azul y rojo, respectivamente), lo que permite estudiar la aberración cromática.

En este apartado, el programa permite retocar las características del objeto (posición y campo), de las lentes y de los diafragmas (posición y diámetro). El caso de las lentes requiere especial atención: puesto que en este caso el cálculo es exacto, además de la posición y la potencia de las lentes, es posible cambiar los radios de sus superficies externas y su índice de refracción. Para una focal o potencia fija, se puede ver cómo las aberraciones cambian según sean los radios escogidos. Además, en el caso de estudiar imágenes en color, se puede modificar el índice de refracción n_d (para la longitud de onda λ_d) de las lentes y el número de Abbe, definido como

donde n_F y n_C son los índices de refracción para λ_F y λ_C, respectivamente. El número de Abbe caracteriza la dispersión cromática de la lente.

Leer un fichero

El programa recupera los datos del Anteproyecto guardados previamente en un fichero (ver apartado siguiente).

Grabar un fichero

Al pulsar este botón, el programa graba en un fichero las características del sistema óptico diseñado en el Anteproyecto (objetos, lentes y diafragmas), de forma que puedan ser recuperadas posteriormente.