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JOptics Curso de Óptica |
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1.1 Óptica Geométrica Paraxial
1.1.1 Postulados de la Óptica Geométrica Definimos el índice de refracción de un medio como el cociente , donde es la velocidad de la luz en el vacío y es la velocidad de la luz en el medio considerado. Los cinco postulados de la Óptica Geométrica se enuncian así:
Sea un medio homogéneo e isótropo de índice . La luz viaja entre los puntos A y B, siguiendo una trayectoria rectilínea. Definimos el camino óptico como el producto entre el índice de refracción y la distancia que recorre la luz entre los dos puntos, . Si la luz atraviesa diferentes medios, el camino óptico será
Si el medio es heterogéneo y el índice de refracción varía de punto a punto, la definición de camino óptico se convierte en la siguiente integral
El principio de Fermat dice que para ir de A a B, la luz sigue un camino extremal (es decir, un camino máximo o mínimo):
1.1.2.1 Teorema de Malus-Dupin Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, los puntos que limitan estos caminos generan una superficie que es normal a todos los rayos. Esta superficie se denomina frente de onda. 1.1.3 Conceptos. Convenio de signos Denominamos sistema óptico a un conjunto de superficies que separan medios con índices de refracción diferentes. Si las superficies son de revolución, y sus centros están alineados, la recta que los une se denominaeje óptico. El punto emisor de donde salen los rayos se denomina objeto; el punto donde se juntan los rayos, una vez pasado el sistema óptico es la imagen. Si los rayos pasan físicamente por un punto se denomina real. El punto es virtual si llegan o salen las prolongaciones de los rayos. El conjunto de puntos objeto forma el espacio objeto mientras que el conjunto de puntos imagen conforma el espacio imagen. 1.1.3.2 Sistema óptico perfecto Un sistema óptico es perfecto si se puede establecer una relación de semejanza entre todo el espacio objeto y todo el espacio imagen. Se puede demostrar que esta condición no es físicamente viable. Podemos determinar unas nuevas condiciones menos restrictivas (condiciones de Maxwell):
Definición de condición de stigmatismo: Un sistema se comporta stigmáticamente entre dos puntos cuando todos los rayos que salen de un punto objeto van a parar a un punto imagen (real o virtual).
1.1.3.4 Óptica paraxial. Definición Muchas de las situaciones que se estudian en la Óptica Geométrica presentan como particularidad que los ángulos con los cuales se trabaja son pequeños. Cuando se trabaja en estas condiciones se habla de Óptica de primer grado o bien Óptica Paraxial. En estos casos, la aproximación del seno o la tangente del ángulo por su arco es válida: , . En estas condiciones, la ley de la refracción se escribe .El invariante de Abbe da la posición de la imagen a partir de la posición de un punto objeto (emisor) cuando se produce una refracción a través de una superficie esférica de radio que separa dos medios de índices y ; y son las distancias del objeto a la superficie y de ésta a la imagen, respectivamente. La fórmula del invariante de Abbe indica que cualquier par de puntos objeto-imagen verifica la relación de stigmatismo. Esta relación es válida en condiciones paraxiales.
Esta fórmula se puede aplicar repetidamente para varias superficies aplicando la fórmula de paso:
que relaciona las distancias imagen y objeto de superficies consecutivas. Si la superficie es un espejo, entonces y la fomula se escribe
1.1.5 Aumentos. Planos focales y principales Se define el aumento como la relación de tamaño entre la imagen y el objeto: . Para un sistema con superficies que separan medios, el aumento se puede calcular como
donde y son las distancias objeto e imagen parciales referidas a la superficie . 1.1.5.2 Planos focales y planos principales
En un sistema óptico definido por las posiciones de los planos principales y focales, se verifican las siguientes relaciones
donde es la posición del objeto
referidada al foco objeto y
es la posición de la imagen referidada al foco imagen. Si los índices
extremos son iguales, caso habitual en las lentes y los instrumentos
ópticos,
,
En este caso, el aumento lateral es . Tenemos dos sistemas ópticos bien definidos por sus planos principales y focales, dispuestos según se indica en la figura 1.6. Se puede demostrar que es posible determinar un único sistema (sistema compuesto) de planos principales y focales conjuntos, calculados a partir de los de cada sistema. Por lo general, cualquier sistema óptico, con independencia de su complejidad, puede ser reducido a un único par de planos principales y focales. Esto supone una notable simplificación en el estudio paraxial de sistemas ópticos complejos, ie. formados por muchas lentes o espejos. A continuación se indican las fórmulas que permiten obtener la focal conjunta del sistema compuesto, así como las posiciones de sus planos principales y focales: Las lentes son la base de los instrumentos ópticos. Están formadas por dos superficies refractivas (que aquí tomaremos esféricas de radios y ), separadas una distancia , que encierran un medio de índice . Podemos estudiar su funcionamiento considerándolas como sistemas compuestos, puesto que a cada superficie esférica le podemos asignar sus planos principales y focales asociados. Aplicando las fórmulas de los sistemas compuestos podemos determinar estos valores. Sean y los índices de los medios inicial y final y, el índice del material del cual está hecha la lente: Si el grosor de la lente es pequeño frente a los radios de curvatura y , se verifica que
1.1.9 Formación de imágenes en una lente Fórmula de formación de imágenes en las lentes (índices extremos iguales): .
1.1.10 Formación de imágenes en un espejo esférico Fórmula de formación de imágenes en espejos esféricos: . 1.1.11 Limitaciones de luz y campo en sistemas ópticos
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