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JOptics Curso de Óptica


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	Para más información: Grupo de Innovación Docente en Óptica Física y Fotónica Departamento de Física Aplicada y Óptica Universitat de Barcelona Martí i Franquès 1 08028 Barcelona Teléfono: 93 402 11 43 Fax: 93 403 92 19 optics at ub.edu

Índice

3.1 Coherencia

Subsecciones

3.1.1 Coherencia temporal y monocromaticidad

Un sistema físico aislado (piénsese en un átomo, por ejemplo), con sus niveles energéticos perfectamente definidos, es una idealización que permite explicar la existencia de ondas monocromáticas. Si este sistema se encuentra en el nivel de energía y pasa a un estado de energía tal que , la física cuantica predice que se genera un fotón cuya longitud de onda verifica $\lambda_0 = h c / (W_2-W_1)$ , donde es la constante de Planck. Si el sistema considerado no es ideal, sus niveles energéticos pueden estar degenerados, y los fotones que se emitan, tendrán una longitud de onda que fluctuará en el intervalo $[\lambda_0 - \Delta \lambda, \lambda_0 + \Delta \lambda]$ . Además, las transiciones energéticas posibles entre la banda de energía 2 y la banda 1 no tienen que ser equiprobables. Podemos definir, por lo tanto, una distribución $P(\lambda )$ que indique la probabilidad de generar un fotón con una cierta longitud de onda. Algunas causas que hacen que los niveles energéticos estén degenerados pueden ser el efecto Doppler como consecuencia de la agitación térmica o bien las colisiones entre las partículas que formen el material. En estos casos, la forma de $P(\lambda )$ es aproximadamente como la que muestra la figura 3.1, mientras que en el caso ideal $P(\lambda) = \delta(\lambda-\lambda_0)$ .

**Figura 3.1:** Distribución $P(\lambda )$
$\includegraphics[width=5cm, height=5cm]{gau.ps}$

El campo eléctrico asociado a una onda plana ideal es ${\vec E}={\vec a} \exp(i(wt-kx))$ , donde la amplitud $\vert{\vec a}\vert$ será constante, en valor y dirección. En el caso no ideal, la onda que obtendremos se escribirá como superposición (suma) de ondas monocromáticas, es decir:

$\begin{displaymath} {\vec E}= \sum_{\lambda_0 - \Delta \lambda}^{\lambda_0 + \D... ...bda} {\vec a(\lambda)} \exp(i(w(\lambda)t-kx)) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(3.1)

$\vert{\vec a(\lambda)}\vert$ se relaciona directamente con $P(\lambda )$ y, si la longitud de onda en el sumatorio anterior es una variable continua, la ecuación anterior se convertirá en una integral. Un análisis en profundidad de las matemáticas involucradas en la expresión anterior nos aportará un resultado muy interesante: una onda real, suma de diferentes contribuciones monocromáticas, está limitada en el espacio y constituye lo que se denomina un paquete de ondas. La longitud física del paquete de ondas se denomina longitud de coherencia, (véanse figuras 3.2 y 3.3). Cuando más monocromática es la onda (es decir, cuando más estrecha sea la distribución $P(\lambda )$ de la figura 3.1) mayor es : en el límite, una onda plana es perfectamente monocromática y su longitud de coherencia es infinita.

**Figura 3.2:** Longitud de coherencia finita
$\includegraphics[width=\linewidth, height=5cm]{loncohinf.ps}$

**Figura 3.3:** Longitud de coherencia infinita: onda plana
$\includegraphics[width=\linewidth, height=5cm]{loncohfin.ps}$

Cuando se genera un paquete de ondas, se introduce una fase inicial aleatoria $\phi$ . Dos paquetes de ondas tendrán fases iniciales diferentes. Es necesario utilizar iluminación láser en los experimentos de interferencias para evitar los problemas derivados de la coherencia. Los láseres presentan una alta monocromaticidad, y, por lo tanto, sus longitudes de coherencia son muy elevadas.

3.1.2 Condiciones para obtener imágenes de interferencia estables

En general, cuando dos ondas ${\vec E_1}$ y ${\vec E_2}$ se encuentran en el espacio, no interaccionan de forma apreciable. Ahora bien, si se verifican unas determinadas condiciones, estas ondas pueden generar una distribución de intensidad con zonas donde la energía se potencia y otras en las que la energía disminuye. Las condiciones para obtener imágenes de interferencia estables son cuatro:

Las ondas que interfieren deben ser coherentes.
Las ondas deben tener la misma frecuencia.
Los campos eléctricos deben ser paralelos.
Las amplitudes de los campos deben ser iguales.

Tomamos dos ondas planas de polarización, amplitud, frecuencia, fase inicial y dirección de propagación diferentes, que se superponen en un punto del espacio:

$\begin{displaymath} {\vec E_1} = {\vec A_1} \exp(i(w_1 t - k_1 {\vec r_P}{\vec ... ...xp(i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.2)

Si captamos la intensidad en este punto tendremos

$\begin{displaymath} I \propto \left \vert {\vec E_1} + {\vec E_2} \right \vert^... ...2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)) \right \vert^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(3.3)

y desarrollando,

$\displaystyle I$	$\textstyle \propto$	$\displaystyle \left \vert {\vec A_1} \right \vert^2 + \left \vert {\vec A_2} \r... ... + \phi_1)} e^{-i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)} \cos(\theta_{12})+$	(3.4)
$\displaystyle \left \vert {\vec A_1} \right \vert \left \vert {\vec A_2} \right... ... e^{i(w_2 t - k_2 {\vec r_P}{\vec s_2}+ \phi_2)} \cos(\theta_{12}) \vspace{5mm}$ ,

donde $\theta_{12}$ es el ángulo formado por los dos vectores campo eléctrico. Esta intensidad es función del tiempo. Las variaciones que presenta esta función serán muy rápidas en el rango de las frecuencias ópticas. Por lo tanto, la magnitud que se detectará será la media temporal de la intensidad. Para apreciar fenómenos interferenciales deben cumplirse las condiciones expuestas anteriormente:

Las ondas que interfieren deben ser coherentes entre si. Si los dos haces de luz que interactúan son incoherentes, las fases iniciales asociadas a cada onda irán cambiando aleatoriamente. Por lo tanto, la diferencia $\phi_1-\phi_2$ que aparece en los términos cruzados de la ecuación 3.4 variará aleatoriamente. Puesto que la media temporal de una fase que varía al azar es nula, los términos cruzados de la ecuación 3.4 también serán nulos. Este problema se evita cuando la diferencia $\phi_1-\phi_2$ es constante en el tiempo, es decir, cuando los paquetes de onda son coherentes. Esto se consigue a partir de un único haz de luz, dividiéndolo en dos y haciendo que cada uno acumule un camino óptico diferente. Los dos haces resultantes llegarán con un determinado desfase. Si la diferencia de camino óptico es inferior a la longitud de coherencia, durante una fracción de tiempo se verificará la condición $\phi_1-\phi_2 =$ constante y los dos paquetes de onda se superpondrán parcialmente (véase la figura 3.4). Los paquetes de onda que vengan a continuación también se superpondrán. Cuanto más largos sean los paquetes de onda y más se superpongan, los fenómenos interferenciales se observarán con mayor facilidad.

**Figura 3.4:** Superposición parcial de a dos paquetes de onda
$\includegraphics[width=12cm, height=5cm]{supcoh.ps}$

Las ondas deben tener la misma frecuencia. Si y son diferentes, la intensidad dependerá del tiempo y, en este caso, la media temporal también será cero.

Los campos eléctricos deben ser paralelos. Si los campos eléctricos no son paralelos, el término $\cos(\theta_{12})$ actuará haciendo que los términos cruzados tengan una importancia menor respeto los términos constantes $\left \vert {\vec A_1} \right \vert^2 + \left \vert {\vec A_2} \right \vert^2$ . En particular, cuando las polarizaciones están en cuadratura, los términos cruzados desaparecen. Éste es el caso que corresponde al estudio de la luz polarizada. Si $0<\theta_{12} < \pi/2$ , se superpone luz polarizada a las interferencias. La visualización de fenómenos interferenciales se optimiza cuando los campos eléctricos son estrictamente paralelos. La ecuación 3.4 de la intensidad, se escribe ahora (se verifica la condición de coherencia, la igualdad de frecuencias y el paralelismo de los campos)

$\begin{displaymath} I \propto A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos(k {\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.5)

Se ha prescindido del carácter vectorial de los campos para escribir las amplitudes. Esto es posible ya que se ha impuesto que los campos eléctricos deben tener todos la misma dirección. La polarización es una información que no aporta nada a la física del problema. Los planteamientos en óptica donde la dirección de polarización no es una información relevante conforman una parte de la óptica que se denomina teoría escalar de la luz.

Las amplitudes de los campos deben ser iguales: Si además, la amplitud los campos es la misma, (), entonces la distribución de intensidad se escribe

$\begin{displaymath} I \propto 4 A^2 \cos^2 \left (\frac{k {\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})}{2} \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(3.6)

Cuando se verifican las dos primeras condiciones, la figura de interferencia es estable. Si además se asegura el paralelismo de los campos, se puede observar claramente el comportamiento interferencial. La distribución de intensidad tiene un contraste óptimo cuando, además, las amplitudes de las dos ondas que interaccionas son iguales.

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