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3.2 Interferencias de Young

Subsecciones

3.2.1 Descripción del experimento

Consideremos el siguiente experimento: dos emisores puntuales $S_1$ y $S_2$, coherentes entre sí, emiten ondas esféricas con igual frecuencia y polarización: $a_1/r \exp(ikr -\omega t)$ y $a_2/r \exp(ikr -\omega t)$. Sea $d$ la separación entre las dos fuentes. Sea $z=-D$ el plano que contiene las dos fuentes. Consideramos un punto de observación $P$ situado en $(x, y, 0)$. Supongamos, sin perder generalidad, que el índice del medio es $n=1$.

Figura 3.5: Interferencia de dos ondas esféricas
\includegraphics[width=14cm]{young.eps}

La intensidad que detectaremos en este punto vendrá dada por la ecuación 3.6. Aunque las distancias $S_1P$ y $S_2P$ son diferentes, si $D$ es lo suficiente grande, las amplitudes de las ondas en el punto $P$ se pueden considerar iguales. Intentemos reescribir esta ecuación de forma que resulte más cómoda de utilizar. El producto escalar ${\vec r_P}({\vec s_1}-{\vec s_2})$ no es más que $d_1-d_2$, donde $d_1$ y $d_2$ son las distancias entre la fuente $S_1$ y el punto de observación $P$ y la distancia entre la fuente $S_2$ y el punto de observación $P$, respectivamente ($d_1$, por ejemplo, es la proyección del vector ${\vec r_p}$ según la dirección fijada por la fuente $S_1$ y el punto $P$). $d_1-d_2$ es la diferencia de camino óptico $\Delta$, mientras que $k(d_1-d_2) = \frac{2\pi}{\lambda}(d_1-d_2)$ es la diferencia de fase. Las fuentes $S_1$ y $S_2$ se encuentran en los puntos $(-d/2,0,-D)$ y $(d/2,0,-D)$, respectivamente. Aplicando la definición de distancia, tenemos que

\begin{displaymath} d_1-d_2 =\sqrt{(x+d/2)^2 + y^2 + D^2} - \sqrt{(x-d/2)^2 + y^2 + D^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}. (3.7)

En el experimento de Young se toma la distancia de observación $D$ mucho más grande que la distancia entre las fuentes $d$. Si se verifica esta condición $d << D$, entonces $d_1+d_2 \approx 2D$ y la diferencia $d_1-d_2$ puede escribirse

\begin{displaymath} d_1-d_2 = \frac{d_1^2 - d_2^2}{d_1+d_2} = \frac{2xd}{d_1+d_2} \approx \frac{xd}{D} \vspace{5mm} \end{displaymath}. (3.8)

y, por lo tanto, la ecuación de la intensidad se escribirá

\begin{displaymath} I \propto 4 A \cos^2 \left (\frac{k xd}{2D} \right ) = 4 A \cos^2 \left (\frac{\pi xd}{\lambda D} \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}. (3.9)

donde $A$ es la amplitud en el plano de observación, $A = a_1/d_1 = a_2/d_2$

3.2.1.1 Análisis de la figura de franjas de Young

  • Una vez se ha fijado la geometría ($d$, D ) y la longitud de onda, la intensidad que se registra es sólo una función de la variable $x$, $I(x)$: por lo tanto, todos los puntos con la misma intensidad estarán en rectas paralelas al eje $y$.
  • El perfil de la intensidad según el eje $x$ varia como un coseno al cuadrado. Se trata de una función que se hace máxima cuando $xd/D=m\lambda$ ($m$ entero) y se hace cero cuando $xd/D=\frac{2m+1}{2}\lambda$. El máximo de orden $m$ se encontrará en la posición
    \begin{displaymath} x_m=m\lambda \frac{D}{d} \vspace{5mm} \end{displaymath}, (3.10)

    y la distancia entre dos máximos (interfranja) será

    \begin{displaymath} x_m - x_{m-1} = \lambda \frac{D}{d} \vspace{5mm} \end{displaymath}. (3.11)

3.2.2 Dispositivos por obtener franjas de Young

Existen algunos dispositivos experimentales que permiten reproducir con facilidad el experimento de Young. Se trata de conseguir que los dos emisores puntuales sean coherentes entre sí, es decir, que la fase aleatoria sea la misma de manera que la diferencia de camino óptico $\Delta$ sea inferior a la longitud de coherencia $l_c$. La única posibilidad para conseguir esto es generar imágenes geométricas de un único foco puntual de luz.

  • Por ejemplo, el biprisma de Fresnel consiste en un dispositivo como el que se muestra en la figura 3.6. El ángulo $\alpha$ es muy pequeño. Sí colocamos una fuente de luz a distancia `$a$' del prisma, se puede demostrar que un observador situado al otro lado del prisma (a su derecha según la figura) verá dos fuentes de luz (coherentes entre si) correspondientes a las imágenes geométricas de la fuente de luz a través del biprisma.
    Figura 3.6: Biprisma de Fresnel
    \includegraphics[width=12cm]{biprisma.eps}
  • Otra posibilidad es utilizar el espejo de Lloyd. Se trata de colocar una fuente delante de un espejo. La imagen virtual de la fuente a través del espejo actuará como segunda fuente coherente con la primera. Si se trata de un espejo dieléctrico, el rayo reflejado tiene un cambio de fase $\pi$adicional. Se puede comprobar que esto implica que la figura de interferencias sea complementaria a la deducida anteriormente: allá donde había máximos tendremos mínimos y viceversa.
    Figura 3.7:Espejo de Lloyd
    \includegraphics[width=12cm]{lloyd.eps}

3.2.3 Coherencia espacial

En el apartado anterior hemos considerado que la fuente de luz original es puntual. En cambio, las fuentes de luz reales tienen unas determinadas dimensiones. Definimos el contraste de las franjas (también denominadofactor de visibilidad, $V$) como el cociente

\begin{displaymath} V=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m} \vspace{5mm} \end{displaymath}, (3.12)

donde $I_M$ e $I_m$ son las intensidades máxima y mínima en una distribución de interferencias. Para un experimento de Young ideal, $I_m=0$, por lo tanto, el contraste de las franjas será siempre óptimo, $V=1$. En cambio, si las amplitudes de las dos ondas que interfieren son diferentes, $I_m \neq 0$ y, en este caso, $V<1$. Si no se aprecian interferencias, $I_m=I_M$, entonces $V=0$. Si la fuente de luz que ilumina el sistema no es puntual, el factor de visibilidad también puede ser inferior a 1, incluso verificándose estrictamente las cuatro condiciones para obtener imágenes de interferencias estables. El fenómeno de la pérdida de contraste en las franjas a consecuencia de las dimensiones de la fuente está relacionado con el concepto de Coherencia espacial. El estudio de este fenómeno se hace considerando que cada punto de la fuente es un emisor puntual que genera su sistema de franjas de interferencia. Se puede demostrar que cada uno de estos emisores elementales genera un sistema de franjas con un origen diferente (posición del máximo $m=0$). La superposición de los diferentes términos $\cos^2$ de la ecuación 3.9, con un pequeño desplazamiento entre ellas, provoca la pérdida de contraste.

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DOI: 10.1344/401.000000050