Pràctica 2. Estudi d'un pèndol mecànic

1 Fonaments

1.1 Pèndol simple

El pèndol mecànic més senzill (sovint conegut com a pèndol simple o matemàtic) està constituït per una vareta rígida, de longitud l i de massa nul·la que, en un extrem, incorpora un eix de gir (perpendicular a la vareta), mentre que l’altre està unit a un bloc, de massa M i geomètricament puntual. Si es penja el pèndol pel seu eix i el camp gravitatori atrau M (figura 1), en resultarà un parell de forces, de moment \| Γ \| = Mgl sinΘ, i la posició angular del pèndol en el temps, Θ(t), estarà governada per:		Figura1 . Pèndol simple; massa puntual m penjada d'un fil sense massa.
	(1)
on I és el moment d’inèrcia que presenta el sòlid respecte l’eix de gir i que, si es tracta d’un pèndol simple, val I = M l2. En el cas particular de que l'angle sigui d’amplitud petita (Θ < 0,1 rad), l'equació diferencial anterior és aproximadament
	(2)
i la seva solució, Θ(t), és harmònicament oscil·latòria
	(3)
En aquesta expressió, Θ0 és l’amplitud màxima de les oscil·lacions, Φ és la fase inicial, i totes dues constants venen determinades per les condicions inicials (posició i velocitat) del pèndol. La dependència Θ(t) mostra que el temps de durada d’un cicle -el període del cicle- és independent de la massa del pèndol i de les condicions inicials del moviment i val
(4)

1.2 Pèndol “físic”

A la pràctica, les condicions ideals del pèndol simple mai es donen de forma rigorosa, ja que:
els blocs no són puntuals, sinó que presenten diverses formes, amb dimensions finites
les varetes sempre tenen una certa massa que, a més, està distribuïda espaialment
A aquest pèndol, més complex i ajustat al comportament real, se l’anomena físic, i el seu període d’oscil·lació val:

(5)

on M és la massa total el pèndol (vareta inclosa), l és la distància de l’eix de gir al centre de masses, i I és el moment d’inèrcia de tot pèndol, que depèn de:

Les dimensions i forma en que està distribuïda la massa de tot el pèndol (bloc i vareta).
La posició de l’eix de gir.
Així doncs, per a estudiar la dependència T(l) d’un pèndol físic cal:
Conèixer la posició del centre de masses, per poder prendre-la com a referència (l=0).
Adonar-se de que modificant l estem modificant I i que, per tant, la representació T2 en funció de l s’apartarà de la forma lineal que presenta un pèndol simple.

Figura 2. Pèndol físic; massa distribuïda en tot el seu cos.

1.3 Estudi del pèndol físic

Si la massa de tot el pèndol és M, el seu moment d’inèrcia respecte el centre de masses és IC i, com en el cas del pèndol simple, la distància del centre de masses a l’eix de gir és l, el teorema dels eixos paral·lels (o de Steiner) proporciona:

(6)

De substituir (6) a (5) en resulta

(7)

expressió en la que, llevat de les variables T i l, solament apareixen magnituds constants i on es veu explícitament que T2 en funció de l no té forma de recta (es va corbant cap a T2 creixents a mesura que l es fa petit, ja que és la suma d'una recta i una hipèrbola), però que si que són rectes qualsevol de les dues representacions següents:
El producte T2 l en funció de l2
El quocient T2/l en funció de 1/l2

1.4 Tasques de la pràctica

Això planteja dues tasques de laboratori:

Comprovar que, mentre Θ < 0,1 rad, T no depèn de Θ0
Anar modificant la longitud de la vareta, l, i mesurant els corresponents períodes d’oscil·lació, T, del pèndol per tal de verificar que els valors obtinguts compleixen (7).

2. Dispositiu experimental

Pèndol de longitud variable constituït per:
Vareta
Bloc màssic fixat a un dels extrems de la vareta
Eix de gir que es pot fixar, mitjançant un cargol, a la vareta en un punt qualsevol
Suport, fixat a la part superior de la taula de treball, per a poder fer oscil·lar el pèndol
Regle i cinta mètrica
Cronòmetre
Sistema de suspensió per a determinar el centre de masses del pèndol

3. Procediment experimental

Es desenvoluparan dos estudis:

Comprovar que, mentre l'amplitud de les oscil·lacions sigui petita (Θ0 < 0,1 rad), el període, T, no depèn de Θ0.
Mostrar que el comportament del nostre pèndol s'ajusta a l'equació (7) i que aquest ajust ens proporciona una mesura del valor de g en el laboratori.

3.1 Període independent de l'amplitud

Fixeu l'eix de gir del pèndol en un punt qualsevol de la vareta, preferentment una longitud llarga.
Aparteu una distància d = 6 cm (aprox.) el bloc del pèndol de la seva posició d'equilibri.
Deixeu anar el bloc de tal forma que el pèndol oscil·li .
Mesureu el període d'oscil·lació, T, preferentment comptant la durada, t, de n oscil·lacions (mínim n = 40).
Anoteu les dades de la mesura: d, t, n.
Repetiu el procediment dels 4 punts anteriors per a d = 4 cm i d = 2 cm.

3.2 Dependència T(l)

Aquest estudi comença per obtenir la posició del centre de masses (CDM) del pèndol (bloc + vareta, sense la peça que conté l'eix de gir). En el nostre cas i degut a la simetria cilíndrica, el CDM està sobre l'eix i solament cal determinar la distància, d0, del CDM a un punt de referència (per exemple la base del pèndol; vegeu figura 3). Per fer-ho, determineu mitjançant prova/error quin és el punt de suport pel qual podem aixecar el pèndol en posició horitzontal en equilibri tal com mostra la figura 3. Anoteu d0.
La dependència T(l) s'obté seguint el següent procediment:

Afluixeu, si cal, el cargol que fixa l'eix de gir a la vareta.
Desplaceu l'eix de gir fins al punt de la vareta desitjat, i fixeu-lo mitjançant el cargol.
Mesureu la distància, l', de l'eix a la base del pèndol. La longitud del pèndol efectiva, que figura a l'expressió (7), és l = l'-d0.
Pengeu el pèndol, situant el seu eix en el suport i feu-lo oscil·lar amb una amplitud petita, evitant que la vareta vibri (vegeu figura).
Mesureu el període d'oscil·lació, T, preferentment comptant la durada, t, de n oscil·lacions. Un nombre raonable d'oscil·lacions és el corresponent a 60 s < t < 90 s.
Anoteu les dades de la mesura: l', t, n.
Repetiu el procediment dels 6 punts anteriors per tal d'obtenir una col·lecció d'un mínim de 12 mesures (l', t, n) ben distribuïdes al llarg de la vareta.

Figura 3 : Esquema del pèndol; d és la distància del centre de masses del cilindre cm0 a l'eix de rotació O

Realització de l'informe

(a) Presenteu, en una taula, els resultats de l'apartat 3.1
(b) A partir de les dades de l'apartat 3.2, presenteu la gràfica T(l). Cuideu els aspectes formals.
(c) A partir de les dades de l'apartat 3.2, presenteu la gràfica T2(l). Cuideu els aspectes formals. Escriviu, de forma breu, les vostres observacions respecte com queden d'alineats els punts de la gràfica. Feu l'ajust lineal dels punts que creieu veure ben alineats i presenteu el valor de g obtingut en aquest ajust, juntament amb els altres paràmetres de l'ajust.
(d) A partir de les dades de l'apartat 3.2, presenteu la gràfica del producte T2l en funció de l2. Cuideu els aspectes formals. Escriviu, de forma breu, les vostres observacions respecte com queden d'alineats els punts de la gràfica. Feu l'ajust lineal dels punts que creieu veure ben alineats i presenteu el valor de g obtingut en aquest ajust, juntament amb els altres paràmetres de l'ajust.
(e) A partir de les dades de l'apartat 3.2, presenteu la gràfica del quocient T2/l en funció de 1/l2. Cuideu els aspectes formals. Escriviu, de forma breu, les vostres observacions respecte com queden d'alineats els punts de la gràfica. Feu l'ajust lineal dels punts que creieu veure ben alineats i presenteu el valor de g obtingut en aquest ajust, juntament amb els altres paràmetres de l'ajust.
(f) Escriviu un resum de tota la pràctica, de forma semblant als resums (abstracts) dels articles, i situeu-lo al principi de l'informe, just per darrera del títol i el nom de l'autor.
(g) Contesteu les qüestions que es plantegen a continuació.

5. Qüestions

(a) Justifiqueu si, en el cas del pèndol simple (I = M l2), la representació T2l en funció de l2 té forma de recta. I la de T2/l en funció de l-2?
(b) Justifiqueu si, a la vista del que s’ha exposat, podrien utilitzar-se pèndols físics d’altres formes, diferents de la bloc/vareta, i obtenir una bona mesura de g.

Draft
És a dir, que una representació l(T) té forma de paràbola. Com a mètode -i degut a que una paràbola es pot confondre visualment amb altres corbes, mentre que una línia recta és més evident- resulta millor representar T2 en funció de l, amb la qual cosa els punts queden alineats, amb un pendent que val 4π2/g, que podrà ser utilitzat com a mesura de g.
Determineu el valor numèric del moment d’inèrcia del pèndol de la pràctica respecte el seu centre de masses, IC.