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JOptics Curso de Óptica


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	Para más información: Grupo de Innovación Docente en Óptica Física y Fotónica Departamento de Física Aplicada y Óptica Universitat de Barcelona Martí i Franquès 1 08028 Barcelona Teléfono: 93 402 11 43 Fax: 93 403 92 19 optics at ub.edu

Índice

2.3 Propagación, reflexión y refracción

Subsecciones

2.3.1 Deducción de las leyes de la Óptica Geométrica
2.3.2 Fórmulas de Fresnel
- 2.3.2.1 Campo E paralelo al plano de incidencia $\vec E_{\vert\vert}$
- 2.3.2.2 Campo E perpendicular al plano de incidencia $\vec E_{\perp}$
2.3.3 Análisis de los coeficientes de transmisión y reflexión
- 2.3.3.1 Estudio de los casos de incidencia rasante y normal
2.3.4 Factores de transmisión y reflexión en intensidad
2.3.5 Estudio de la reflexión total

2.3.1 Deducción de las leyes de la Óptica Geométrica

Una onda incide sobre una superficie que separa dos medios dieléctricos isótropos de índices y (véase la figura 2.7). Al interaccionar con la superficie de separación, parte de la energía vuelve al primer medio y parte se transmite al segundo medio. Puesto que en la superficie de separación se verifican las condiciones de contorno 2.4 y, en el caso particular que estamos considerando la densidad superficial de carga y las corrientes superficiales son nulas, podemos escribir la continuidad de las componentes del campo:

$\displaystyle \textrm{Componentes normales:}\quad D_2^n = D_1^n \quad B_2^n = B_1^n$	(2.33)
$\displaystyle \textrm{Componentes tangenciales:}\quad E_2^t = E_1^t \quad H_2^t = H_1^t \vspace{5mm}$ .	(2.34)

Si tomamos, por ejemplo, la continuidad de la componente tangencial de los campos eléctricos en la superficie de separación de medios (que por comodidad tomaremos en), podremos escribir: , Desarrollando esta expresión tenemos

$\begin{displaymath} A_y e^{ip(ct - n (\alpha x + \beta y))} + A_y'' e^{ip''(ct ... ... = A_y' e^{ip'(ct - n' (\alpha' x + \beta' y))} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.35)

donde , y son las amplitudes tangenciales de los campos incidente, transmitido y reflejado y $p=\omega/c$ , $p'= \omega'/c$ y $p''=\omega''/c$ . El punto considerado es un punto de la superficie de separación de los medios. Los vectores que indican la dirección de propagación de la fase son ${\vec s}=(\alpha, \beta, \gamma)$ , ${\vec s' } =(\alpha', \beta', \gamma')$ , ${\vec s''} = (\alpha'', \beta'', \gamma'')$ .

**Figura 2.7:** Deducción de las leyes de la reflexión y de la refracción
$\includegraphics[width=12cm]{8_1.eps}$

La expresión de continuidad se debe verificar en cualquier momento y para cualquier punto. Por lo tanto, no puede depender de las variables espaciales o temporales. La única manera de que las variables no estén presentes en la ecuación es que las tres fases sean iguales y, por lo tanto, se puedan cancelar. Esto pasa si se verifica:

: la frecuencia no cambia al cambiar de medio la onda, ni al producirse una reflexión. Sin embargo, dado que la velocidad de la luz es dependiente del medio, la longitud de onda cambia, al cambiar de medio. La longitud de onda de un campo propagándose en un medio de índice se relaciona con la longitud de onda en el vacío ( $\lambda_0$ ), mediante la relación $\lambda = \lambda_0 /n$ .
$n\beta = n' \beta' = n\beta''$ : Si se hace una rotación de ejes de manera que $\beta=0$ , esto implica necesariamente que $\beta'=\beta''=0$ , con lo que se prueba que el rayo incidente, el reflejado y el transmitido están en el mismo plano.
$n\alpha = n' \alpha' = n\alpha''$ : como la luz que se refleja vuelve al primero medio, obtenemos que $\alpha = \alpha''$ . Proyectando esta componente sobre el eje , tenemos que $\epsilon=\epsilon''$ (ley de la reflexión). Por otra parte, como se verifica que $n\alpha = n' \alpha'$ , entonces tenemos $n \sin(\epsilon) = n'\sin(\epsilon')$ (ley de la refracción).

2.3.2 Fórmulas de Fresnel

En esta sección estudiaremos los valores que toma la amplitud del campo al cambiar de medio o reflejarse, en función de la amplitud incidente. Sea un frente de onda que avanza según la dirección ${\vec s}$ . Consideremos un campo eléctrico polarizado linealmente, que vibra en el plano definido por el frente de onda. Para hacer que el planteamiento del problema sea más claro, proyectaremos el vector campo eléctrico sobre dos ejes: un eje en el plano (eje paralelo) y un eje perpendicular al anterior, que es paralelo al eje (eje perpendicular) y analizaremos cada caso por separado. El plano es el plano de incidencia.

2.3.2.1 Campo E paralelo al plano de incidencia $\vec E_{\vert\vert}$

**Figura 2.8:** Fórmulas de Fresnel. Campo E paralelo al plano de incidencia
$\includegraphics[width=10cm]{fres2db.eps}$

Consideremos el primero caso, indicado en la figura 2.8. Tomemos la proyección del campo eléctrico sobre el plano . La dirección del campo magnético queda definida por la relación ${\vec H} = n {\vec s} \wedge {\vec E}$ . Puesto que no hay otros campos presentes en el problema que puedan modificar la dirección de los campos, las direcciones de éstos son las que se muestran en la figura 2.8. El sentido del campo eléctrico es tal que la componente sea positiva. Los campos se escriben de la manera siguiente

$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}} = {\vec A_{\vert\vert}} \exp (ip(ct - n {\vec r}{\vec s}))$	(2.36)
$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}''} = {\vec A_{\vert\vert}''} \exp (ip''(ct - '{\vec r''}{\vec s'}))$
$\displaystyle {\vec E_{\vert\vert}'} = {\vec A_{\vert\vert}'} \exp (ip'(ct - {\vec r'}{\vec s''})) \vspace{5mm}$ .

Para simplificar la nomenclatura escribiremos los módulos de la siguiente manera $A_{\vert\vert}=\Vert{\vec A_{\vert\vert}}\Vert$ , $A_{\vert\vert}'=\Vert{\vec A_{\vert\vert}}'\Vert$ y $A_{\vert\vert}''= \Vert{\vec A_{\vert\vert}''}\Vert$ . Para deducir la relación entre las amplitudes, operaremos de la manera siguiente:

Se proyecta la componente tangencial del campo eléctrico y se aplica la condición de continuidad.
Se proyecta la componente tangencial del campo magnético y se aplica la condición de continuidad.
Se escribe el campo magnético en términos del campo eléctrico. De esta manera se obtiene un sistema de ecuaciones lineal con dos incógnitas ( $A_{\vert\vert}'$ y $A_{\vert\vert}''$ ), la solución del cual es

$\begin{displaymath} A_{\vert\vert}' = A_{\vert\vert} \frac{2 \sin(\epsilon') \c... ...psilon' + \epsilon)\cos(\epsilon'-\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ (2.37)

$\begin{displaymath} A {\vert\vert}'' = A {\vert\vert} \frac{\tan(\epsilon'-\epsilon)}{\tan(\epsilon'+\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ . (2.38)

2.3.2.2 Campo E perpendicular al plano de incidencia $\vec E_{\perp}$

El segundo caso a considerar es análogo al anterior, pero ahora el campo eléctrico es perpendicular al plano , según se indica en la figura 2.9. El campo eléctrico se ha tomado en el sentido positivo del eje . Operando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene la relación entre la amplitud de los campos eléctricos transmitido y reflejado en función del incidente, para el caso de polarización perpendicular.

**Figura 2.9:** Fórmulas de Fresnel. Campo E perpendicular al plano de incidencia
$\includegraphics[width=10cm]{fres2d.eps}$

$\begin{displaymath} A_{\perp}' = A_{\perp} \frac{2 \sin(\epsilon') \cos(\epsilon)}{\sin(\epsilon + \epsilon')} \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(2.39)

$\begin{displaymath} A_{\perp}'' = A_{\perp} \frac{\sin(\epsilon'-\epsilon)}{\sin(\epsilon+\epsilon')} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.40)

Las ecuaciones 2.37-2.40 reciben el nombre de Fórmulas de Fresnel. Habitualmente se trabaja con los coeficientes de reflexión y transmisión, que se definen

$\displaystyle r_{\vert\vert} = \frac{A_{\vert\vert}''}{A_{\vert\vert}} \quad t_{\vert\vert} = \frac{A_{\vert\vert}'}{A_{\vert\vert}}$	(2.41)
$\displaystyle r_{\perp} = \frac{A_{\perp}''}{A_{\perp}} \quad t_{\perp} = \frac{A_{\perp}'}{A_{\perp}} \vspace{5mm}$ .

2.3.3 Análisis de los coeficientes de transmisión y reflexión

A continuación se muestra la variación de los cuatro coeficientes de Fresnel en función del ángulo de incidencia $\epsilon$ . Algunos casos de particular interés son:

Incidencia normal ( $\epsilon=0$ ):

$\begin{displaymath} t_{\vert\vert} = t_{\perp} = \frac{2n}{n+n' } \vspace{5mm} \end{displaymath}$ (2.42)

$\begin{displaymath} r_{\vert\vert} = r_{\perp}= \frac{n- n'}{n+n' } \vspace{5mm} \end{displaymath}$ . (2.43)
Ángulo de Brewster. Tenemos incidencia con ángulo de Brewster cuando $A''_{\vert\vert} =0$ . En este caso, la componente reflejada presenta exclusivamente polarización perpendicular. Esto pasa cuando

$\begin{displaymath} \tan(\epsilon_B) = \frac{n'}{n} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ . (2.44)
Ángulo límite: ángulo de incidencia para el que $\epsilon'=\pi/2$ :

$\begin{displaymath} \sin(\epsilon_l) = \frac{n' }{n} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ . (2.45)

Este ángulo sólo tiene sentido cuando .

**Figura 2.10:** Coeficientes de transmisión y reflexión. Caso y
$\includegraphics[width=\linewidth]{coefic.eps}$

**Figura 2.11:** Coeficientes de transmisión y reflexión. Caso y
$\includegraphics[width=\linewidth]{Coefic2.eps}$

Cuestiones interesantes que podemos extraer del análisis de las figuras:

En incidencia normal y para valores pequeños del ángulo de incidencia, los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son iguales. Lo mismo pasa con los coeficientes de transmisión.
Valores negativos. La presencia de estos valores en los coeficientes indica que el sentido arbitrario que atribuimos a los campos al hacer la deducción de las fórmulas de Fresnel no es apropiado en este caso.
Para ángulos superiores al límite, no existe onda transmitida.
La amplitud transmitida puede superar el valor de la incidente. Esto no viola ningún principio de conservación, ya que no debe confundirse la amplitud de la onda con su energía, la cual, obviamente, si se conservará.

Además se puede verificar que

$\displaystyle r_{\vert\vert} = -r_{\vert\vert}' \quad r_{\perp} = -r_{\perp}'$	(2.46)
$\displaystyle t_{\vert\vert}t_{\vert\vert}' = 1 - r_{\vert\vert}^2 \quad t_{\perp}t_{\perp}' = 1 - r_{\perp}^2 \vspace{5mm}$ ,

donde los coeficientes $r_{\vert\vert}$ , $t_{\vert\vert}$ , $r_{\perp}$ y $t_{\perp}$ se calculan pasando la luz del medio de índice al de , mientras que los coeficientes $r_{\vert\vert}'$ , $t_{\vert\vert}'$ , $r_{\perp}'$ y $t_{\perp}'$ se calculan haciendo el paso en sentido inverso, es decir, de a .

2.3.3.1 Estudio de los casos de incidencia rasante y normal

El estudio de los cambios de signo en el factor de reflexión paralelo debe ser realizado con atención. Analizaremos los casos extremos de incidencia rasante ( $\epsilon = \pi/2$ ) e incidencia normal ( $\epsilon=0$ ). Es necesario tener presente las figuras 2.8 y 2.9.

CASO A: :
- Incidencia normal. Los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son negativos; el vector campo eléctrico reflejado apunta siempre en sentido contrario al del dibujo (véanse las figuras 2.8 y 2.9). Observamos que entre el campo incidente y el reflejado hay un cambio de fase $\pi$ para los casos $\vert\vert$ y $\perp$ .
- Incidencia rasante. El coeficiente paralelo es positivo, por lo tanto el sentido del vector es correcto. En el caso perpendicular el sentido no es correcto. Por lo tanto, el campo incidente y el reflejado están siempre en oposición de fase. Por tanto, si extrapolamos estos argumentos para ángulos de incidencia intermedios, se puede inferir que siempre se tiene un cambio de fase $\pi$ en la reflexión.
- Transmisión. Los coeficientes son siempre positivos. No hay ningún cambio en la orientación arbitraria de los vectores y, por lo tanto, podemos asegurar nunca hay cambio de fase $\pi$ .

CASO B: : Haciendo el mismo razonamiento que en el caso anterior, podemos asegurar que, en estas condiciones, nunca se produce un salto de fase $\pi$ , ni en reflexión ni en refracción.

2.3.4 Factores de transmisión y reflexión en intensidad

Definimos los factores de transmisión como el cociente entre la intensidad transmitida y la incidente. Es necesario definir un factor para la componente paralela y otro para la perpendicular. Recordemos que la intensidad se define como la media temporal de la energía radiada por unidad de tiempo y de superficie. La definición de intensidad exige que la detección se realice con un detector situado normalmente a la dirección de propagación Recordemos que la intensidad detectada vale: $I = \frac{cn}{8 \pi} A^2$ .

**Figura 2.12:** Obtención de los factores de transmisión en intensidad
$\includegraphics[width=12cm]{8_4.eps}$

Consideremos la situación de la figura 2.12. Una onda plana incide sobre una superficie de separación de medios con un ángulo $\epsilon$ respecto a la normal y se refracta formando un ángulo $\epsilon'$ . La comparación entre los vectores de Poynting se hará en la superficie de separación de los medios, aplicando el principio de conservación de la energía. $\Vert{\vec S}\Vert\cos(\epsilon)$ es la energía que incide en la superficie de separación por unidad de superficie. Análogamente, $\Vert{\vec S' }\Vert\cos(\epsilon')$ es la energía transmitida. Por lo tanto, el factor de transmisión en intensidad de la componente paralela será

$\begin{displaymath} T_{\vert\vert} = \frac{I_{\vert\vert}'}{I_{\vert\vert}} = \... ...(\epsilon')}{A {\vert\vert}^2 n \cos(\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(2.47)

y, para la componente perpendicular,

$\begin{displaymath} T_{\perp} = \frac{A_{\perp}'^2 n'\cos(\epsilon')}{A_{\perp}^2 n \cos(\epsilon)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.48)

Si consideramos el factor de reflexión, $\epsilon=\epsilon''$ y , y por lo tanto, se puede escribir

$\begin{displaymath} R_{\vert\vert} = \frac{A_{\vert\vert}''^2 }{A_{\vert\vert}^... ..._{\perp} = \frac{A_{\perp}''^2 }{A_{\perp}^2 } \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.49)

Como es natural, se debe verificar que

$\begin{displaymath} R_{\vert\vert}+ T_{\vert\vert} = 1 \quad R_{\perp}+ T_{\perp} = 1 \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(2.50)

y, en el caso de incidencia normal,

$\begin{displaymath} T_{\vert\vert}= T_\perp = \frac{4nn'}{(n+ n')^2} \quad R_{\... ..._\perp = \left (\frac{n-n' }{n+n' } \right) ^2 \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.51)

2.3.5 Estudio de la reflexión total

Cuando la luz llega a una superficie de separación de medios () con un ángulo superior al ángulo límite, toda la luz vuelve al primer medio. Recordemos que el ángulo límite se obtiene cuando se verifica que $n \sin(\epsilon_l) = n' \sin(\pi/2)$ . Definamos como, $N =\sin(\epsilon_l) = n'/n$ . La ley de Snell tiene un claro significado geométrico cuando trabajamos con medios dieléctricos y en las condiciones habituales. Podemos hacer la hipótesis siguiente: la ley de la refracción tiene una validez formal más allá de su significado intuitivo. Consideremos una onda plana incidente sobre una superficie de separación de medios con un ángulo $\epsilon > \epsilon_l$ y . Aceptando la validez formal de la ley de Snell podremos escribir $\sin(\epsilon') = \sin(\epsilon) / N$ . En el estudio que estamos realizando, $\sin(\epsilon') > 1$ , y el valor de $\cos(\epsilon')$ será, por lo tanto,

$\begin{displaymath} \cos(\epsilon') = \pm \frac{i}{N} \sqrt{\sin^2(\epsilon)-N^2} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.52)

$\cos(\epsilon')$ es una magnitud imaginaria. Más adelante, por consideraciones de conservación de la energía, se despreciará el signo . Conociendo el valor de $\sin(\epsilon')$ y de $\cos(\epsilon')$ podemos aplicar ahora las fórmulas de Fresnel. Analizando la figura 2.11, puede comprobarse que los factores de reflexión perpendicular y paralelo toman el valor y respectivamente, para ángulos de incidencia superior al límite. Podemos estudiar con mayor detalle estos valores del ángulo de incidencia: las fórmulas del factor de reflexión para los dos casos de polarización son:

$\begin{eqnarray*} && r_{\vert\vert}'' = \frac{\tan(\epsilon'-\epsilon)}{\tan(\e... ...in(\epsilon'-\epsilon)}{\sin(\epsilon'+\epsilon)} \vspace{5mm} \end{eqnarray*}$ ,

Puesto que conocemos los valores de $\sin(\epsilon)$ , $\cos(\epsilon)$ , $\sin(\epsilon')$ y $\cos(\epsilon')$ , podemos escribir las fórmulas de Fresnel en términos de valores conocidos. Después de hacer unas cuántas operaciones obtenemos que:

$\begin{displaymath} r_{\vert\vert}'' = -e^{i\phi(\epsilon,n,n' )} \quad r_{\perp}'' = e^{i\theta(\epsilon,n,n')} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.53)

Éste es un resultado interesante: los coeficientes de reflexión son complejos y de módulo . El valor de la amplitud no varía pero la onda incidente y reflejada estén desfasadas. La onda reflejada paralela tendrá por ecuación

$\begin{displaymath} {\vec E_{\vert\vert}''} = {\vec A_{\vert\vert}} r_{\vert\ve... ...rt}} \exp(ip(ct - n {\vec r}{\vec s''})+ i\phi) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ ,

(2.54)

mientras que la componente perpendicular será

$\begin{displaymath} {\vec E_{\perp}''} = {\vec A_{\perp}} r_{\perp} \exp(ip(ct ... ...} \exp(ip(ct - n {\vec r}{\vec s''})+ i\theta)} \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.55)

La onda reflejada estará polarizada eliptícamente y sus componentes estarán desfasadas $\phi - \theta$ . Este desfase depende de y y puede variarse en función del ángulo de incidencia $\epsilon$ .

**Figura 2.13:** Reflexión total
$\includegraphics[width=0.8\linewidth]{8_6ii.eps}$

**Figura 2.14:**Reflexión total frustrada
$\includegraphics[width=0.8\linewidth]{8_6iii.eps}$

¿Tiene sentido hablar de luz transmitida? A simple vista, puesto que toda la luz vuelve al primero medio, parece una pregunta sin sentido. No obstante, intentemos escribir la onda en el segundo medio:

$\begin{displaymath} {\vec E'} = {\vec A'} \exp(ip(ct - {\vec r}{\vec s' })) = ... ...p(ct - n'(x\sin(\epsilon') + z\cos(\epsilon'))) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.56)

También podemos escribir el valor de $\sin(\epsilon')$ y $\cos(\epsilon')$ en términos del $\sin(\epsilon)$ ,

$\begin{displaymath} {\vec E'} = {\vec A} \exp \left ( ip \left (ct - n' \left (... ...sin^2(\epsilon)-N^2} \right ) \right ) \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}$

(2.57)

y operando,

$\begin{displaymath} {\vec E'} = {\vec A} \exp \left (\pm \frac{pn'\sqrt{\sin^2... ...(ct - x \frac{ \sin(\epsilon)}{N}n' ) \right ) \vspace{5mm} \end{displaymath}$ .

(2.58)

La interpretación de esta ecuación es la siguiente:

El término de amplitud presenta una caída exponencial a medida que se penetra en el segundo medio. Despreciamos el signo de la exponencial real ya que se trata de una solución sin sentido físico, que daría lugar a una onda que aumentaría indefinidamente su amplitud.
La dirección del vector de fase es ${\vec s} = (1,0,0)$ : la onda se propaga en la interfase de los dos medios.

El modelo demuestra la existencia de una onda que penetra unas pocas longitudes de onda en el segundo medio. Esto se corrobora experimentalmente mediante un fenómeno denominado Reflexión total frustrada o Efecto Túnel Óptico: cuando el segundo medio es una lámina de grosor muy pequeño, y se envía una onda con un ángulo superior al límite, se puede observar que ésta se transmite completamente sin reflejarse. La explicación satisfactoria de este fenómeno debe buscarse en la Física Cuántica, que elimina las inconsistencias de nuestro razonamiento: la onda de la interfase es la misma que después se detecta como reflejada.

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