Pràctica 5. Distribució estadística en el tir a una diana: pràctica

1   Material

• Una diana (fulls quadriculat per registrar els impactes) que es posarà horitzontal al terra, al fons d'un recipient de protecció de seguretat.
• Un dard.

2   Recollida de dades

Es tracta de fer dues sèries de 50 llançaments del dard per tal de tenir una mostra de n = 100 impactes. Els llançaments es fan en vertical sobre la diana situada horitzontalment al terra, des de la distància aproximada d'un metre, deixant caure el dard i apuntant al centre de la diana. Cal ser el més acurats possible per evitar errors sistemàtics de procediment. Convé variar de posició en fer els llançaments, al voltant de la diana. Cada sèrie es fa en un full de diana diferent.

La diana porta una quadrícula amb línies cada 2 mm. De cada impacte s'ha d'anotar una dada numèrica par a l'abscissa i una per a l'ordenada. Mirarem l'abscissa d'un impacte: si aquest toca una ratlla vertical, li assignarem un nombre parell de mil·límetres, els que corresponen a la ratlla vertical; si queda entre ratlla i ratlla, li n'assignarem el corresponent nombre senar. Farem el mateix per a l'ordenada. Així haurem anotat les coordenades (x, y) dels 50 impactes en mil·límetres. Podríem anotar un error sistemàtic de resolució de l'ordre del mil·límetre, en les nostres dades, però l'ignorarem per centrar-nos només en l'error estadístic.

Abans de començar les sèries, és millor practicar una mica i utilitzar un full per fer proves; així assegurarem que les dues sèries es faran amb la màxima correcció.

3   Tractament de les dades i realització de l'informe

1. Considerarem que tenim una mostra de n = 100 impactes, que reuneix els resultats de les dues sèries. Treballarem sempre amb aquesta mostra.
2. Passarem totes les dades al full de càlcul. Prepararem tres columnes: la primera i la segona amb abscisses i ordenades (respectivament) de la mostra, i la tercera amb la coordenada radial  de les dades de la mostra. Farem una gràfica x, y (que reproduirà els resultats dels impactes obtinguts al paper mil·limetrat). Prepararem tres histogrames, un per cada columna de dades.
3. Calcularem la mitjana,   de les abscisses de la mostra, segons l'expressió 

   (1)

     

4. Calcularem la desviació típica sx per a les abscisses de la mostra, segons l'expressió per a la millor estimació

   	(2)

5. Amb la sx obtinguda a l'apartat 4, calcularem l'error en la determinació de la mitjana de la distribució a partir de les dades de la mostra, amb una fiabilitat del 95%, segons l'expressió (ignorem l'error sistemàtic)

(3)

on l'error estadístic , per tenir una fiabilitat del 95%, és (d'acord amb unes taules que consultem)
 

(4)

      
representa l'autèntica mitjana de la distribució de probabilitat i és la mitjana de la mostra. Expressarem i l'error que li associem, ,  en mil·límetres, arrodonint els resultats a una única xifra significativa.
 

Hem de valorar el resultat obtingut i en particular veure si el 0 és dins de l'interval    ; això hauria de passar aproximadament un 95% de les vegades.
 

(Nota: Que parlem d'error no vol pas dir que ens hàgim equivocat, sinó que tenim una estadística de resultats; en podem dir també incertesa.)

6)  Farem una estimació de la desviació típica de la distribució de les abscisses x de la mostra, exigint una fiabilitat (nivell de confiança) del 95%, segons l'expressió (que obtenim d'unes taules):

(5)

   
Ho expressarem tot en mil·límetres, arrodonint els resultats a una única xifra significativa.

7) Repetirem els apartats 3, 4, 5 i 6 per a les ordenades.

8) Calcularem el coeficient de correlació entre les abscisses i les ordenades de la mostra, segons l'expressió
 

(6)

Aquest coeficient pren valors numèrics en l'interval [–1, +1]. En el nostre cas esperem un resultat a prop del 0, que indicaria que no hi ha correlació lineal entre les abscisses i les ordenades de la mostra.

9)Amb les desviacions típiques , i les mitjanes , de la mostra, obtingudes als apartats 3, 4 i 7, millorarem l'estimació de segons l'expressió
 

(7)

     
Utilitzant aquesta nova estimació s de s, comptarem el nombre d'impactes ns i n2s continguts dins d'un cercle de radi s i 2s respectivament (el cercle el prendrem al voltant del centre de la diana), i calcularem els quocients   . Fixem-nos que n_s/n hauria de descriure la probabilitat que un impacte es produís dins del cercle de radi s, mentre que n_2s/n descriuria la probabilitat que un impacte es produís dins del cercle de radi 2s. Compararem els resultats amb les prediccions teòriques:
 
     

(8)

(Nota: Tenim raons diverses per esperar desviacions respecte d'aquestes prediccions: la primera és que els resultats obtinguts en un experiment, com ja hem vist, segueixen lleis estadístiques, i naturalment varien d'un experiment a l'altre; la segona és que la desviació típica que utilitzem en el càlcul és l'estimació s, i no la real, que desconeixem; la tercera és que per simplificar hem fet els cercles al voltant del centre el de la diana i no del punt   definit per les mitjanes de la mostra.)

5) En acabar l'informe de la pràctica, haurem de respondre les següents preguntes:

(a) Per què, si fem les coses sempre igual, els impactes es produeixen en llocs diferents?
(b) Com valorem els resultats obtinguts?
(c) Què esperaríem millorar si disposéssim de moltes més dades?