MÈTODES MATEMÀTICS DE LA FÍSICA II

Tipus d'assignatura: obligatòria

Crèdits: 9 (teòrics: 6; pràctics: 3)

Departament responsable: Física Fonamental

Semestre: 4t

OBJECTIUS DOCENTS

En aquesta assignatura s'acaba el tema de les solucions de les equacions diferencials de segon ordre i s'introdueixen les transformades integrals, que s'aplicaran a la major part de les assignatures de segon cicle. La introducció a la teoria de la probabilitat ha de servir per modelitzar i interpretar correctament una gran varietat d'experiments. Finalment, la part d'àlgebra tensorial completa l'assignatura d'àlgebra lineal de la manera requerida per les assignatures de física en què el coneixement dels tensors esdevé imprescindible.

CONTINGUTS

1. TEORIA DE STURM-LIOUVILLE. DESENVOLUPAMENT EN FUNCIONS PRÒPIES

1.1 Espais vectorials de funcions. Problema de contorn. Introducció a la teoria de Sturm-Liouville. Valors propis d'un operador diferencial. Ortogonalitat de les funcions pròpies i degeneració. Completesa de les funcions pròpies. Relacions de Bessel i Parseval.

1.2 Exemples d'interès en la física. i) Funcions periòdiques i sèries de Fourier. ii) Funcions de Legendre. Fórmules de recurrència i de Rodrigues. Funció generatriu. iii) Els harmònics esfèrics. iv) Funcions de Bessel. Fórmules de recurrència. Funció generatriu. Sèries de Bessel.

2. TRANSFORMADES INTEGRALS

2.1 La transformada de Fourier. Propietats. Transformada inversa. Relació de Parseval. Convolució de dues funcions. Teorema de la convolució.

2.2 La transformada de Laplace. Propietats. Aplicació a la solució d'equacions diferencials. Teorema de la convolució i transformada inversa.

3. INTRODUCCIÓ A LA TEORIA DE LA PROBABILITAT

3.1 Espais de probabilitat: àlgebres d'esdeveniments i mesura de probabilitat. Probabilitat condicionada. Teorema de Bayes. Independència estadística.

3.2. Variables aleatòries discretes i contínues. Funcions de distribució i de densitat. Càlcul de valors esperats. Funcions característica i cumulativa. Moments, corbes cumulatives i paràmetres estadístics (mitjana, variància, asimetria i curtosi). Exemples rellevants de variables aleatòries discretes i contínues. El teorema del límit central.

4. ÀLGEBRA TENSORIAL

4.1 Escalars, vectors i tensors. Fórmules de transformació dels components. Contracció d'índexs. Tensors simètrics i antisimètrics. Exemples.

4.2 El tensor mètric. Classes de tensors mètricament associats. Canvis de base associats a les transformacions de rotació i de Lorentz. Exemples.

BIBLIOGRAFIA RECOMANADA

1. ABRAHAM, R.; MARSDEN, J. E.; RATIU, T. Manifolds, tensor analysis and applications. 2a ed. Nova York: Springer-Verlag, 1988. Seccions 5.1, 5.2 i 6.1. <www.cds.caltech.edu/~marsden/bib_src/mta/Book/>.

2. APOSTOL, T. M. Calculus. Barcelona: Reverté, 1980, vol. 2.

3. ARFKEN, G. B.; WEBER, H. J. Mathematical methods for physicists. Nova York: Academic Press, 2001.

4. GNEDENKO, B. The theory of probability. Moscou: MIR, 1988. També hi ha la traducció al castellà: Teoría de las probabilidades. Madrid: Rubiños 1860, 1996.

5. KURMYSHEV, E. V.; SÁNCHEZ-YÁÑEZ, R. E. Fundamentos de métodos matemáticos para la física e ingeniería. Mèxic: Limusa, 2003.

6. McQUARRIE, D. A. Mathematical methods for scientists and engineers. Sansalito (Califòrnia): University Science Books, 2003.

7. PINKUS, A.; ZAFRANY, S. Fourier series and integral transforms. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

8. RILEY, K. F.; HOBSON, M. P.; BENCE, S. J. Mathematical methods for physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

9. SIMMONDS, J. G. A brief on tensor analysis. Nova York: Springer-Verlag, 1982.

10. SPIEGEL, M. R.; SILLER, J.; SRINIVASAN, R. A. Probabilidad y estadística. Mèxic: McGraw-Hill, 2001. (Schaum).

CRITERIS I FORMA D'AVALUACIÓ

Es farà un examen final escrit.